湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某校高一年级有1800名学生，其中男女生人数之比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，其中身高在以下的女生人数为32，则该校高一年级女生身高在以下的人数为（ ）
A.320B.360C.420D.480
2.如图，△AOB的斜二测画法的直观图为等腰直角，其中，则下列说法中错误的是（ ）
A.B.
C.的面积为D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.用一个平面去截棱锥，截面与棱锥底面之间的部分是棱台
B.垂直于同一直线的两条直线平行
C.若两个相交平面垂直于同一平面，则相交平面的交线垂直于这个平面
D.若直线与平面平行，则直线平行于平面内的任一直线
4.已知函数将的图像向左平移个长度单位后得到的图像，若函数为偶函数，则φ的最小值为（ ）
A.B.C.D.
5.已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.如图，在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，D､E分别在边､上，设，则（ ）
A.B.
C.D.x与y的大小与θ取值有关
7.如图所示，圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面为，过O作于点C，线段绕旋转一周所得的曲面将圆锥分成上下两部分，则这两部分几何体的体积之比为（ ）
A.B.C.D.
8.在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若则面积的最大值为（ ）
A.B.C.3D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A.B.的虚部为
C.是个纯虚数D.复数z对应的点位于复平面的第一象限
10.正方体.的棱长为2，E为的中点，P为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.与平面所成角的余弦值为
C.若过点E的截面与平面平行，则截面多边形的周长为
D.若点E在平面₁内的投影为点M，则点M的轨迹为圆弧
11.设，若，，，且则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
三､填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.
12.已知向量若平行于，则实数__________.
13在中，角A､B､C满足，其外接圆半径为1，则__________.
14.正方体的棱长为2，其内切球为球O，若球与球O及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）如图，在中，，D､E分别为边､上的动点.
（1）若求λ的值；
（2）若在方向上的投影向量为求t的最小值.
16.（本小题15分）在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.
（1）若B为锐角，试判断的形状；
（2）若B为钝角，
（i）D在上，且，求角C；
（ii）求的最大值.
17.（本小题15分）如图，正方体.的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点.
（1）求异面直线与AC所成角的大小；
（2）证明：平面
18.（本小题17分）已知
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在锐角中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，，求边上的高的取值范围.
19.（本小题17分）如图所示，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱的母线，为下底面圆O的直径，D为上的动点（异于B，C）.
（1）若点M为的中点，证明：点M为三棱锥的外接球的球心；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值；
（3）若P为圆柱侧面上的动点，求的最小值.
高一数学学科素养测评
评分细则
1.【答案】D
【解析】由题意可知，女生人数为720，由比例分配的分层随机抽样方法可知，120人的样本中女生人数为48，所以高一年级女生身高在以下的人数为.故选D.
2.【答案】D
【解析】在等腰直角中，因为，所以，
由斜二测画法可知，，所以正确，D错误；
的面积为，C正确.故选D.
3.【答案】C
【解析】对于A，截面与底面位置关系未知，错误；对于B，垂直于同一直线的两条直线平行､相交或异面：对于D，由线面平行的性质知，错误，故选C.
4.【答案】A
【解析】由题意可得，其为偶函数，所以，故的最小值为.故选A.
5.【答案】C
【解析】由题意可知与不共线，可以作为平面内的一个基底，所以（1）正确；，所以，所以，所以（2）正确；，所以，所以（3）错误；因为，所以（4）正确.故选C.
6.【答案】B
【解析】在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以.故选B.
7.【答案】B
【解析】因为圆锥SO的侧面展开图为半圆，所以其轴截面为等边三角形，设其边长为.过C作与点D，则曲面是CD为底面半径，OC为母线的圆锥的侧面.在中，；
在中，.圆锥SO的体积为，曲面上方的几何体的体积为，所以两部分的体积比为.故选B.
8.【答案】C
【解析】由得，
即，所以，即，所以，
又，所以，
所以.故选C.
9.【答案】ACD
【解析】因为，所以，D正确；，A正确；虚部为-1，B错误；，C正确.故选ACD.
10.【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，面对角线面面，所以正确；对于B，连接，在正方体中，面，即在平面内的射影为AE，所以即为所求的线面角.在中，，故；在中，，故，B错误；对于C，过点E与平面平行的截面为正六边形，其边长为正确；对于D，是以为直径的球的公共点，D正确.故选ACD.
11.【答案】ABD
【解析】对于A，由得，所以，而，故，即，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.故选ABD.
12.【答案】-2
【解析】由题意，若与平行，则，解得.
13.【答案】
【解析】在中，由得，故，所以.
14，【答案】
【解析】如图，是正方体的对角面，圆是球O与球的大圆，
设球与球的半径分别为，由题意可得，由及相似关系可得，
，故，
所以球的表面积为.
15.【解析】
（1），即E为靠近C的三等分点，，
所以，又因为三点共线，
所以
所以，解得，所以，故；
（2）为等腰直角三角形，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设，则，
故在方向上的投影向量为，令，
所以时，，
时，（当且仅当时等号成立），
所以t的最小值为.
16.【解析】
（1）在中，由得，又，故，显然C为锐角.
若B为锐角，由得，即，所以为直角三角形.
（2）若B为钝角，则，
（i）设，在中，，
在中，，由正弦定理可得，即，所以①，
在中，由正弦定理可得，即，所以②，
由①②得，因为C为锐角，所以.
（ii）为钝角，
，
当且仅当时，等号成立.故的最大值为.
17.【解析】
（1）取AB中点P，连接，
因为E为BC的中点，所以PE为的中位线，
所以，
所以即为异面直线与所成角（或其补角）.
在中，，所以，连接AE，
在中，，所以，
在中，，所以，
在中，由余弦定理可得.
所以异面直线与所成角的大小为.
（2）在正方体中，面，
又，所以面，
因为面，所以.
取的中点G，连接，
因为面面，所以.
在正方形中，为的中点，G为的中点，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以面，
因为面，所以，
因为，所以平面
18.【解析】
（1）因为
所以的最小正周期为.
由得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为，所以，又，所以.
因为，故的外接圆直径为.
又，
故
，
因为为锐角三角形，所以故，
所以.
19.【解析】
（1）因为为圆柱的母线，为底面圆的直径，所以.
在中，M为斜边AC的中点，所以.
又为上的动点，BC为底面圆O的直径，所以.
又因为，所以面ABD，故，
在中，M为斜边AC的中点，所以.
所以，所以为三棱锥的外接球的球心.
（2）由（1）知，为直角三角形，斜边，
所以，故时等号成立）.
又时等号成立），
所以为的中点时三棱锥的体积最大.
连接DO，则面ABC，过O作于点P，连接DP，
则为所求二面角的平面角，
又，所以.
故当三棱锥的体积最大时，二面角的正弦值为.
（3）过点P作与轴垂直的平面圆N，母线AB与圆N交于，过D的母线与圆N交于，过P的母线与上底交于，与下底交于，则，
所以
设，则，
所以，
因为
（当且仅当，即时，等号成立），
又（当且仅当时等号成立）.
所以，
即的最小值为.