2026湖北省云学联盟高一下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2026湖北省云学联盟高一下学期期中联考数学试题含解析，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 角的终边落在第（ ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用终边相同的角的表示方法，即可求解.
【详解】由，所以和的终边相同，其终边落在第二象限.
2. 已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用扇形面积公式计算求解.
【详解】扇形的面积.
3. 已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由A、B、C三点共线可得，求出、后，利用向量共线性质计算即可得.
【详解】，，由A、B、C三点共线，
则，故，解得.
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数.
【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴.
5. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵、是方程的两个实根，
∴，，
∴，
中.
6. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，根据三角形的性质，得到，再由，求得，过点作，得到，结合向量数量积的几何意义，即可求解.
【详解】由分别表示与向量同向的单位向量，
所以表示的角平分线上的向量，
因为，可得，
又因为，可得，
因为，可得，
如图所示，过点作，垂足为，可得，即，
所以向量在向量上的投影向量为.
7. 函数的零点个数为（ ）.（参考数据：）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，转化为与图象的交点个数，画出两个函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数的零点个数，即方程解的个数，
即函数与图象的交点个数，
又由，所以函数的零点位于，
在同一坐标系下画出两个函数的图象，如图所示，
可得函数与图象共有7个交点，
即函数的零点个数为7个.
8. 已知函数是定义在上的递增函数，且对，都有，若关于的方程的两个根分别为和，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，可得出，根据函数为增函数，可得出，结合函数的单调性求出，可得出，再由、结合对数的运算性质可得出的值.
【详解】由题意，设，则，
令，得，即，所以，
因为函数是定义在上的递增函数，所以，从而，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上为增函数，
由可得，所以，
因为的两个根分别为和，所以，
即，
即，即，故.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 复数的实部为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】由得，所以A正确；
可算得，，所以B错，C正确；
，D正确.
10. 在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】AB
【解析】
【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由函数，
对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B，函数的最大值为，所以B正确；
对于C，令，可得，
其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误；
对于D，由，可得，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，所以D错误.
11. 在中，已知，D为的中点，记，从0°到180°连续变化，记，，的内切圆半径为r，外接圆半径为R.下列结论正确的是（ ）
A. h随的增大而减小B. 的最大值为
C. 为定值D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立与的函数关系，可判断A的真假；推导关于的函数关系，由正切函数性质可判断B的真假；先利用正弦定理表示出，计算，判断C的真假；先利用三角形的面积公式与内切圆半径的关系表示出，再结合的表达式，得到关于的函数关系，利用基本不等式求其最大值，判断D的真假.
【详解】对于A，因为，，
由余弦函数性质可知，随的增大而减小，A正确；
对于B，，，而，
由正切函数性质可知无最大值，B错误；
对于C，由正弦定理得，故而，C正确；
对于D，由等面积法得，
则，
当且仅当即时，等号成立，故而D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：的结果为_______.
【答案】
【解析】
【详解】依题意，.
13. 已知向量的夹角为，，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简求得，结合，即可求解.
【详解】由向量，的夹角为，，，
可得，
则，所以.
14. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和余弦定理，求得，得到，设的外接圆半径为，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由，
可得
所以，
由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以，
设的外接圆半径为，由为的外心，
则，且，即，
因为，且，
所以，
，
则
，
所以当，即时和面积之差的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足为纯虚数，且.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据复数的概念，结合复数模的公式列方程求解即可；
（2）根据复数运算法则得到，根据复数的几何意义列不等式求的范围；
【小问1详解】
设，，
因为为纯虚数，所以，即且，
又，即，
联立解得，，
则.
【小问2详解】
由（1）知，
因为复数在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
16. 已知函数（其中，，），函数图象与y轴的交点为，距离轴最近的最高点为，且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的递增区间.
【答案】（1）
（2）和.
【解析】
【分析】（1）根据周期得出，再代入点结合得出或，最后代入检验即可得出解析式；
（2）先根据解析式得出单调增区间再结合即可求解.
【小问1详解】
由已知可得，，，
将，代入可得，或，
时，，此时，不合题意，
时，，此时，符合题意，
故，函数解析式为.
【小问2详解】
令得，
时，，
时，，
所以函数在区间上的递增区间为和.
17. 在中，，，，设点D为边BC上一点，且满足，点E为线段上一点（不含端点），且，其中.
（1）用表示，并求；
（2）设F为线段的中点，若，求的值.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，化简得到，结合向量数量积的运算律，即可求解；
（2）根据题意，求得，，由，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
根据向量的线性运算法则，可得，
因为，且，
可得，且，
则，
所以.
【小问2详解】
由向量的线性运算法则，可得，
且，
因为，可得，
即，
所以，
即，解得.
18. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，.
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面积；
（3）记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意及正弦定理得，化简即得；
（2）化简得到，即，又由，得到，从而得到，进而得到是等边三角形，即可求其面积；
（3）先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
即，
∴,
又∵，∴，
∵，∴.
【小问2详解】
，
∵，∴，∴，
又∵，∴，从而，，
由（1）知，∴是等边三角形，面积为.
【小问3详解】
由题得到，
∵，
∴，
，
在锐角中，∵，∴，，
∴在上单调递减，
从而，
即，
∴.
19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量.
（1）求函数的和谐向量；
（2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且.
（i）若点为的重心，求的最大值；
（ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简得到，结合和谐向量的定义，即可求解；
（2）根据题意，得到，由，求得，（ⅰ）利用余弦定理和基本不等式，求得，结合，即可求得的最大值；（ⅱ）由，求得，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量为和谐函数的和谐向量，
因为，
所以的和谐向量为.
【小问2详解】
解：由和谐向量的和谐函数为，
因为，可得，其中，可得
所以，解得.
（ⅰ）在中，因为，由余弦定理得，
又因为，则，即，当且仅当时“=”成立，
因为点为的重心，可得，
所以
，即的最大值为.
（ⅱ）因为平分且与交于点，可得，
即，
即，即，所以，
由正弦定理，可得，
则
，
因为则为锐角三角形，可得，解得，
令，可得，则，
所以
，
由，可得，由于函数在上单调递增，
当时，，当时，，所以长度的取值范围是.