新高考数学一轮复习专题8.6 双曲线方程（十类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

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重难点题型1 双曲线的定义与标准方程
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（ ）
A．10或4B．13或1C．10D．13
2．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·贵州安顺·二模）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川宜宾·三模）复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ）
A．圆B．双曲线的一支
C．椭圆D．抛物线
5．（2025·浙江·一模）双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为 .
6．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 .
7．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .
8．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
重难点题型2 双曲线方程的充要条件
1．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2025·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ．
6．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 .
7．若曲线是双曲线，则其焦距为 .
8．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
重难点题型3 利用第一定义求双曲线的轨迹方程
1．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
2．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
4．（2024·河南·一模）已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A．B．
C．（）D．（）
5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．
6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于，两点．若的重心为，点，则的最小值 ；
重难点题型4 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
2．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江西南昌·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ）
A．20B．12C．24D．10
5．（2024·辽宁·模拟预测）（多选题）已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D．的最小值为
6．（2024·广东广州·二模）（多选题）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
7．（2024·山西太原·一模）已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 .
8．（2025·河南信阳·二模）已知正方形的边长为，两个点，(两点不重合)都在直线的同侧(但，与在直线的异侧)，，关于直线对称，若，则面积的取值范围是 .
9．（2025·江西鹰潭·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ．
10．（2025·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为 ．
重难点题型5 双曲线的渐近线
1、（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川成都·一模）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·二模）已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·海南三亚·一模）已知是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于异于原点的两点，若，则双曲线的渐近线方程是 .
6．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ．
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 .
8．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为．为坐标原点，点在双曲线的一条渐近线上，且，若，则双曲线的渐近线方程为 .
重难点题型6 双曲线中的最值与范围问题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行，若点在的右支上，点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．8
3．（2023·宁夏中卫·一模）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
4．（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（）
6．（2025·河北唐山·三模）（多选题）已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．点为的重心
C．D．为等边三角形
7．已知，分别为双曲线的左右焦点，为的右支上一点，，若的一条渐近线方程为，则实数的取值范围是 .
8．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为 ．
重难点题型7 求双曲线的离心率与离心率的取值范围
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
2．（2025·江西吉安·模拟预测）已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃白银·三模）已知是双曲线在第一象限上的一点，点与点关于原点对称，过点作，与的另外一个交点为，连接，与轴交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
4．（2025·云南昭通·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作互相垂直的直线，，与的右支交于，两点，，若与的左支交于点，且，，三点共线（是坐标原点），则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
7．（2025·湖北荆州·模拟预测）过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 .
8．（2025·上海杨浦·模拟预测）设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交的两支于点，若，则的离心率为 .
重难点题型8 直线与双曲线的位置关系
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
2．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，
(1)求动点的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线.
4．（2025·河北保定·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程.
重难点题型9 定点与定值问题
1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)当时，求的面积.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知等轴双曲线的焦点分别在轴上，经过，的焦距为．
(1)求的方程；
(2)为直线上一点，相互垂直且斜率均存在的直线交于点，与交于两点，与交于两点．设直线与关于直线对称，证明：
①直线与关于直线对称；
②．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)证明：直线的斜率为定值．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，直线与直线交于点.
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求面积的最小值.
重难点题型10 探索性问题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
(3)直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线.
2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，．
(1)求的方程；
(2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
(3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线，直线，动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂线，垂足分别为D，E，O为坐标原点，若四边形的面积为，设动点M的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题：
(1)求C的方程；
(2)若C交x轴正半轴于点A，C上一点B和直线上一点Q满足是以为底的等腰直角三角形．
（ⅰ）求直线的斜率：
（ⅱ）若B在第一象限，记点B关于的对称点为K，点B关于原点的对称点为，若动点M不与，B重合，设动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点，求证：成等比数列．
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，，二者相交于，离心率为．
(1)求的方程；
(2)记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于．
（i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时， (所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
序号
题型
重难点题型1
双曲线的定义与标准方程
重难点题型2
双曲线方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求双曲线的轨迹方程
重难点题型4
双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
双曲线的渐近线
重难点题型6
双曲线中的最值与范围问题
重难点题型7
求双曲线的离心率与离心率的取值范围
重难点题型8
直线与双曲线的位置关系
重难点题型9
定点与定值问题
重难点题型10
双曲线中的探索性问题