新高考数学一轮复习专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（八类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（八类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了动直线l等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
2．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A．12B．9C．D．
4．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（2025·甘肃金昌·三模）设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）.
A．B．C．D．
7．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 .
8．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ．
9．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
重难点题型2 弦长与面积问题
1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
2．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．10
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
6．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．4D．
7．（2025·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．
8．（2025·云南玉溪·二模）已知点，，若直线l过且平分的面积，则l被外接圆截得的弦长为 ．
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，圆心的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于A、两点．则 ．
10．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ．
重难点题型3 切线问题与切线长问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
2．（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2025·辽宁锦州·二模）设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ．
6．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
7．（2025·山东·模拟预测）已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则 ．
8．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 .
9．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 .
重难点题型4 圆上的点到直线距离的个数问题
1．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
6．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型5 直线与圆的位置关系判断最值（范围）问题
1．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·陕西西安·一模）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是 .
6．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ．
7．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 .
8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
重难点题型6 圆与圆的位置关系
1．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5B．C．D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
2．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可.
【详解】圆即，圆心为，半径为；
圆即，圆心为，半径为；
圆心距为，因为，所以两个圆外离.
故选：B
3．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
4．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 与圆 相交于 两点，则四边形 的周长为（ ）
A．4B．7C．8D．10
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据题意，可得，，得解.
【详解】圆的圆心为，半径为3，
如图，，，
所以四边形 的周长为.
故选：C.
5．（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【详解】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选：A
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得.
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，
圆心为，半径.
两个圆的方程相减并化简得，将代入得，
此时圆，，
，满足两圆相交，符合题意.
故选：B
7．（2024·福建龙岩·三模）已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、相交圆的公共弦方程
【分析】先根据两圆相交求得，求出点P的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解.
【详解】根据题意，曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
曲线即，是以为圆心，半径为3的圆，
由两圆相交得，解得，又，所以，
两圆相减得直线AB方程，令得，
令，则，所以在单调递增，
所以.
所以点的横坐标的取值范围为.
故选：D
重难点题型7 两圆的公共弦长问题
1．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确.
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，

点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选：ABD
2．（2025·甘肃白银·三模）（多选题）已知圆与圆相切，则的取值可以为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则，
两边平方后，解得或3；
若这两个圆内切，则，
解得.
故选：BC
3．（2025·天津北辰·三模）已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为，若与抛物线交于两点，则 .
【答案】20
【难度】0.65
【知识点】相交圆的公共弦方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求出.
【详解】已知圆，圆，将两式相减消去二次项可得直线的方程：，即.
联立直线与抛物线方程联立，将代入可得：
，即，
设，，由韦达定理可得，.
根据弦长公式（其中为直线的斜率），直线的方程为，其斜率，则：

故答案为：20.
4．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
5．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为，
又知，，则到直线的的距离为：
，所以公共弦长为，
故答案为：.
重难点题型8 两圆的公切线问题
1．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程、圆的公切线长
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点，
又圆的半径为1，所以切线长为，
故选：C．
2．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围.
【详解】由圆方程知：圆心，半径；
由圆方程知：圆心，半径；
圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切，
，即，
设，则，，
即，，解得：，
的取值范围为.
故选：D.
4．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的公切线方程
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
5．（24-25高二上·广东·期末）已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A．5B．16C．32D．36
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.
【详解】由可知圆心为，半径为2；
由可知且圆心为，半径为.
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即，
解得：.
故选：C.
6．已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（ ）
A．（5，9）B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解.
【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和，
以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线，
因此这两个圆相交，即，而，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
7．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】将圆的方程化为标准方程,
圆，将其配方可得.
此时圆的圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
根据两点间距离公式，两圆的圆心距.
两圆半径之和，两圆半径之差.
因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条.
故选：B.
8．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键.
9．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的公切线方程
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6，
因为，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆化为一般式得：
，，
两式相减得，即，
所以圆的公切线的方程为.
故答案为：
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程
【分析】由已知直线与平行或直线过的中点，设出直线方程，根据结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或.
由于弦到圆心的距离，故或.
这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或.
分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和.
则直线需要满足：与或相切，与或相切.
首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在.
①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，；
④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心.
对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得；
对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，.
综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，.
故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，.（答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法.
11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．．
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、圆的公切线条数
【分析】①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”；
②，其中，，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③，即，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，
所以切线的斜率，解得：，
则，故，
化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.
④，
当，则，当，则，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
12．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
两圆外切，则，即，
故，
又，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为10.
故答案为：10
序号
题型
重难点题型1
直线与圆的位置关系的判断
重难点题型2
弦长与面积问题
重难点题型3
切线问题与切线长问题
重难点题型4
圆上的点到直线的距离的个数问题
重难点题型5
直线与圆的位置关系的判断的最值（范围）问题
重难点题型6
圆与圆的位置关系
重难点题型7
两圆的公共弦长问题
重难点题型8
两圆的公切线问题