新高考数学一轮复习专题8.5 椭圆方程（九类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

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重难点题型1 椭圆的定义与标准方程
1．（2025·四川乐山·三模）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·云南红河·三模）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 .
6．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 .
7．（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 .
8．（2025·河南·模拟预测）已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为 .
重难点题型2 椭圆方程的充要条件
1．（2025·山东·一模）已知曲线，则命题“”是命题“曲线的焦点在轴”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
重难点题型3 利用第一定义求椭圆的轨迹方程
1．（2025·甘肃甘南·三模）如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（ ）

A．直线B．圆C．抛物线D．椭圆
2．（2025·湖北·三模）已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
4．（2023·上海浦东新·模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是 .
重难点题型4 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖南·二模）若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
6．（2025·山东临沂·三模）已知为坐标原点，点为椭圆上任意一点，，为圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 .
7．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积）
8．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
9．（2024·辽宁丹东·二模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为 ．
重难点题型5 椭圆中的最值与范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ．
4．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ．
5．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
重难点题型6 求椭圆的离心率及离心率的取值范围
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为 ．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
7．（2025·江西萍乡·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为 .
8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为 ．
重难点题型7 直线与椭圆的位置关系
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
2．（2025·广东佛山·三模）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
4．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
重难点题型8 定点与定值问题
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若.
(1)求轨迹的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
4．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．
5．（2025·重庆·三模）已知椭圆的离心率，其上、下顶点分别为，右焦点为，斜率为的直线交于不同的两点、.当过点且时，.
(1)求的方程；
(2)当直线、的斜率都存在时，若，求证:直线过定点；
(3)在（2）的条件下，当的面积取得最大值时，求的值.
6．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长.
(1)求的离心率.
(2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值.
（i）求的方程；
（ii）建立与之间的恒等关系.
重难点题型9 椭圆中的探索性问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率；
(3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
2．（2025·湖北武汉·三模）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点．
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.
序号
题型
重难点题型1
椭圆的定义与标准方程
重难点题型2
椭圆方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求椭圆的轨迹方程
重难点题型4
椭圆中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
椭圆中的最值与范围问题
重难点题型6
求椭圆的离心率与离心率的取值范围
重难点题型7
直线与椭圆的位置关系
重难点题型8
定点与定值问题
重难点题型9
椭圆中的探索性问题