新高考数学一轮复习专题1.1 集合（七类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习专题1.1 集合（七类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。

重难点题型1 元素与集合的关系
1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合
【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.
【详解】依题意可得，所以.
故选：A.
2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知且
解得.
故选：C.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（ ）
①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集
A．1B．2C．3D．0
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类
【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断.
【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错；
对于②，若，当时，，故②错；
对于③，集合，只有一个元素，故③错；
对于④，集合是无限集，故④错；
综上，正确的命题有0个.
故选：D.
4．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合的分类
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得且，解得．
故选：A
7．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
8．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】，
则，
其周期为，而，即最多3个不同取值，
集合有且仅有两个元素，设，
则在中，或，
或，又，即，
所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为,
于是有，即有，解得，
不相等的两项为，
故，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得答案.
重难点题型2 集合与集合间的关系
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
2．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可.
【详解】由得.
当时，，满足；
当时，因为，
所以或，
解得或.
故选：C.
3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．
【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.
4．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【详解】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C.
5．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】由，且，
当时，，则，即，
当时，若，则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
6．（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值.
【详解】因为，所以或，或，
又由集合中元素的互异性可知且且，且，
综上.
故答案为：.
重难点题型3 有限集合的子集问题
1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）满足的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．6D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意可得：，分析可知集合的个数即为集合的子集个数，即可得结果.
【详解】因为，
，
由题意可得：，可知集合必有元素，可能有元素，
满足条件的集合的个数即为集合的子集个数，有个.
故选：A.
2．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.
【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，
①当时，即当时，则，合乎题意；
②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，
则，解得.
综上所述，或.
故选：D.
3．（2022·广东·一模）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、其他排列模型、计算古典概型问题的概率
【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.
【详解】解：集合的非空子集有共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，
因为，
当时，则可为共3种，
当时，共1种，
同理当时，则可为共3种，
当时，共1种，
则符合的共有种，
所以的概率为.
故选：A.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．3个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、余弦函数图象的应用、由标准方程确定圆心和半径
【分析】数形结合，判断方程组解的个数，即中元素的个数，再根据集合中元素的个数确定其真子集的个数即可.
【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图：
观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集．
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．8B．3C．2D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断直线与圆的位置关系、判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算
【分析】集合都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交点，有个子集.
【详解】集合A表示直线上的所有点的集合，集合B表示圆上所有点的集合，
因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故中只有一个元素，故的子集个数为．
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则的子集个数为 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、由指数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算
【分析】根据题意先求集合B，进而可得，根据元素个数求子集个数.
【详解】令，即，可得，解得，
则，
可得，共两个元素，
所以其子集的个数为.
故答案为：4.
重难点题型4 集合的交并补混合运算
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2．（2024·广东·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、复合函数的值域
【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
3．（2023·北京·三模）已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案
【详解】集合,解得,
,即,解得,故,
所以
故选：C
4．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、分式不等式
【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．
【详解】函数的定义域为，
不等式，可化为或，所以，
所以，，
所以．
故选：A．
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
6．（2023·广东佛山·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合再求交集即可.
【详解】，，
则.
故选：B.
重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是：（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、由对数函数的单调性解不等式
【分析】化简集合A，根据集合交集不为空集建立不等式即可得解.
【详解】因为，
，，
所以且，解得：，
故选：C
2．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，且满足，，
所以当时满足，
此时，解得，
当时，则有，
解得,综上，，
即实数的取值范围为．
故选：A．
3．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合，，
则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当时，集合为，
而令，可得不为整数，故不含有7，
可得中不含有7，故C错误，
故选：D
4．（2014·全国·一模）设集合，，且，则满足条件的实数的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个.
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据并集结果求集合或参数
【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A∪B={1，4，x}，得x2=x或x2=4，可解出符合题意的x有0，2，-2共3个．
【详解】，，
所以由集合的互异性可得且，
，则或
解之得或
满足条件的实数有共3个，
故选C.
【点睛】本题给出含有未知数x的集合A、B，在已知它们并集的情况下求实数x值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．
5．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案为：
6．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式、公式法解绝对值不等式
【分析】先求集合，对分类讨论，并结合，数形结合求出的取值范围，注意端点值能否取到．
【详解】因为，
当时，，若，则．
在数轴上表示出集合，，如图，
则；
当时，，此时不成立，
当时，，此时不成立．
综上，的最大值为．
故答案为：
重难点题型6 韦恩图在集合中的应用
1．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合
【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以或，
又由，可得且，
又因为.
故选：B.
2．（2019·北京朝阳·一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6B．5C．7D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合
【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可.
【详解】作维恩图，如图所示，
则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，
周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.
则，得，
得，当时，x取得最大值6.
故选：A
3．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合
【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.
【详解】因为或，或，
所以或或或，
或或或.
由题意可知阴影部分对于的集合为，
所以，
或.
故选：D.
4．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
重难点题型7 集合的新定义问题
1．（24-25高三上·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3B．4C．14D．16
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划分的个数.
【详解】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故选：B.
2．（2023·河南郑州·模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、集合新定义
【分析】根据题意列举出满足条件的集合，然后根据题意结合古典概型公式求解.
【详解】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论
和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.
【详解】对于①：，所以，所以，
又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②：，即，
所以，所以必为偶数，又，
当时，，不符合，
所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，
所以，③正确；
对于④：当{物理，地理，历史}时，
，
满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.
故选：①③
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.
4．（2022·湖南长沙·一模）对于集合的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0．
（1）子集的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若的子集的“特征数列”，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ．
【答案】 3 33或34
【难度】0.65
【知识点】集合新定义、数列新定义
【分析】（1）根据“特征数列”的定义写出子集的“特征数列”再求解即可；
（2）根据所给信息直接写出P，Q的“特征数列”分析即可
【详解】（1）子集的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以．
（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0， Q的“特征数列”满足，且，或，故为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，0，1或1，0，1，1，0，1，…，0，1，1，
则，或.考虑P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，一个周期内的元素个数为2，且共，故的元素共或，即33或34个．
故答案为：3,33或34.
序号
题型
重难点题型1
元素与集合的关系
重难点题型2
集合与集合间的关系
重难点题型3
有限集合的子集问题
重难点题型4
集合的交并补混合运算
重难点题型5
根据集合的交并补运算求参数范围
重难点题型6
韦恩图在集合中的应用
重难点题型7
集合的新定义问题