新高考数学二轮复习高分突破训练第20讲 求数列的通项公式（2份，原卷版+解析版）

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1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如的形式
思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出
（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题进行转化
（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式
（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式
4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。
5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。
6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明
典型例题：
例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系可得，数列是首项为1，公差为2的等差数列，即求；
（2）利用错位相减法即求.
(1)
∵，
当时，，解得，
当时，，
∴，即，
∴，即，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
故数列的通项公式为.
(2)
∵，设数列的前项和为，
∴，
，
∴
，
∴，
∴数列的前项和为.
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
(1) 由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式.
(2) 由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案.
(1)
由，得，
所以是等比数列.
所以
从而
所以，．
(2)
设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．
例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和项和．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）选①：令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
选②：利用累加法可求得数列的通项公式；
选③：令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
(1)
解：选①：当时，由可得出，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故；
选②：由已知可得，
所以，，，，，，
上述个等式相加得，
；
选③：当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得且，
所以，数列数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
(2)
解：，，
所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)设数列的通项公式，求；
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据数列通项与前项和的关系可求得数列的通项公式，设数列的公差为，根据，是和的等比中项，求得首项与公差，即可求出的通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出答案；
（3）利用分组求和法即可求出答案.
(1)
解：（1）当时，有，解得，
，
，
两式相减，整理得：，
数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，
设数列的公差为，
，是和的等比中项，，
即，解得或2，
公差不为0，，
故；
(2)
解：，
；
(3)
解：，，
∴
．
例5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则，根据已知条件可得出关于的方程，求出的值，利用等比数列的通项公式可求得的通项公式，利用前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；
（2）分析可知，当时，，当时，，化简的表达式，利用分组求和法可求得数列的前项和.
(1)
解：设等比数列的公比为，则，
因为，
所以（舍去），所以，
当时，，则，
当时，因为，①
得，②
①②得：，所以，，
也满足，所以，对任意的，.
(2)
解：令，则，
所以，数列为单调递减数列，所以，，
故当时，，则，
此时，，
且，
当时，，则，
此时，
.
综上所述，.
例6．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的通项公式为，由，可求得，即可求出；由等价于，再根据数列通项公式与前项和的关系，即可求出，进而求出数列的通项公式；
（2）因为，可得，由此即可证明结果.
(1)
解：设等差数列的通项公式为
由，所以，又，得，
.
等价于.
当时，，；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，
.
(2)
解：，
，即命题得证.
例7．（2022·河南平顶山·高三期末（文））已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
【答案】(1)；
(2)570.
【解析】
【分析】
(1)由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解.
(2)根据给定条件求出数列的通项即可计算作答.
(1)
由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
(2)
由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
例8．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.
(1)求证：存在实数，使得；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先假设存在，再通过变形论证存在即可；
（2）通过（1）先得到，再变形为即可求解.
(1)
证明：由变形整理得：，
所以，解得或，经检验，或都满足题意.
故存在实数，使得.
(2)
由（1）不妨取，则有，
而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
设其可变形为，解得，
即有，而，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
经检验，也满足上式，故.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数列的前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】
解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列递推关系利用累加法可知，
进而化简的表达式，利用基本不等式计算即得结论.
【详解】
由，得
，累加可得
，
又，.
当，，也满足上式.
所以数列的通项公式为.
，
令，
在单调递减，在单调递增.
因为.
故选：C.
3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
题意可知点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，那么 ,那么 ，利用这一结论可得到，构造等比数列即可求得.
【详解】
因为，所以，
又因为点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，
故，即，
所以，即数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
故 ，则，
故选：C.
二、双空题
4．（2022·广东·广州市协和中学高三阶段练习）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，可求得的值，再利用裂项相消法可求得.
【详解】
解：由题意可知，第代龙曲线是在将个第代龙曲线的首尾顶点相接，
则，所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，则，
，则，
，
因此，.
故答案为：；.
三、填空题
5．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用构造数列法求解数列的通项公式，然后利用分组求和法求解前n项和.
【详解】
因为，设存在实数，使得，
解得，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
所以，得，
所以.
故答案为：
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列通项与前项和的相互关系解之即可.
【详解】
由，得，两式相减得
又由，，可得，即
故数列从第二项起为公比为4的等比数列，
则的通项公式为
故答案为：
7．（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法可求得数列的通项公式，利用错位相减法可求得，即可求得所求代数式的值.
【详解】
因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，.
令，则，
可得，
上述两个等式作差得，
所以，，
因此，.
故答案为：.
8．（2022·湖北·高三开学考试）已知数列为的前项和，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由求得数列从第二项起是等比数列，求出通项公式，再由求得后比较可得结论．
【详解】
，①
，②
①-②得：，
，
又，所以
所以
故答案为：
9．（2022·湖南永州·二模）已知数列、满足，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，进而可求得，即可得解.
【详解】
因为，则，则，
因为，，可得，则，则，，
所以，，则，以此类推可知，所以，，
且，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，，
所以，，故，因此，.
故答案为：.
四、解答题
10．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推关系可得，再由累乘法求数列的通项公式；
（2）根据裂项相消法求数列的和即可.
(1)
∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
当时，也满足上式，
∴.
(2)
由（1）知，，
∴，
则
11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，，，，其中为常数.
(1)证明：；
(2)若为等差数列，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用关系可得，结合已知条件即可证结论.
（2）由题设及（1）结论，可得、，应用等差中项的性质求参数，进而判断为等差数列并写出通项公式，最后利用等差数列前n项和公式求.
(1)
由题设，，，
两式相减得，又，
所以.
(2)
由题设，，，可得，由(1)知：.
由为等差数列，则，解得λ＝4，故.
由此，是首项为1，公差为4的等差数列，则；
是首项为3，公差为4的等差数列，则；
所以是首项为1，公差为2的等差数列，即，
故.
12．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，代入计算可得，由代入得到，从而证明数列是等比数列，求出通项公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通项公式可得，计算可求出前项和.
(1)
，算得
当时，；得到，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，得到
(2)
由，得到.
则，
.
13．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，两式作差可得出的表达式，然后就是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.
(1)
解：因为，所以.
当时，．
当时，由得．
上述两个等式作差得，即，
又因为满足，所以.
(2)
解：因为，所以.
所以，
所以．
所以，即．
14．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.
(1)
当时，，
得
即，即
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(2)
由（1）知，则
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
15．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）项和转换可得，验证，分析即得解；
（2）项和转换可得，转化，裂项相消法求和即得解
(1)
当时，由
得，
两式相减可得．
因为，符合上式
所以，故，
(2)
由（1）得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故数列的通项公式为．
因此．
故当时，．
当
．
令，得，符合上式
综上所述，．
16．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知函数的图象过点，且关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若，.
①求数列的通项公式；
②若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由题意，，代入求解即可；
（2）①由题意，可转化为，故是以为首项，2为公比的等比数列，求解即可；
②，裂项相消法求和即可
(1)
由已知得
又的图像关于点对称，
有，
即
解得
所以
(2)
①，，
则，
故是以为首项，2为公比的等比数列，
有
所以数列的通项公式为；
②
数列的前n项和为，
则
17．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.
(1)求与的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
(1)
设的公差为d，因为，
所以，解得，
所以.
数列的前n项和为，且，①
当时，，②
①-②，得.
当时，，满足，所以.
(2)
因为，
所以.③
，④
③-④，得，
所以.
18．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选①，可得，再利用累加法求出数列的通项公式；若选②：由计算可得；若选③：由计算可得；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
(1)
解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的
又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
(2)
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
19．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)先用通项公式和前n项和公式的关系求出和的关系，再利用前n项积得到另外一组和的关系，由此即可求出两个数列的通项公式；
(2)由错位相减法求，代入参变分离得，求最小值即可.
(1)
时，①，②，
①-②得，
当时，③，④，
③÷④得.
由上可得，即，化简得.
当时，，，两式相等得，.
故，因此且，故.
综上，.
(2)
，
⑤
⑥
⑤－⑥得：，
，
将代入得，
化简得，
因在单调递增，故的最小值为－4，
故.
20．（2022·福建宁德·模拟预测）在下列条件：
①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．
【答案】选①，，；选②，，；选③，，.
【解析】
【分析】
选①：由常数列的性质得出，再由等比数列的定义证明是等比数列，最后分组求和得出前n项和；选②：由与的关系得出，以下同①；选③：先证明是等比数列，进而得出，再由与的关系得出.
【详解】
选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且
所以数列为
所以，即，
所以，又．
所以是以为首项.公比为的等比数列，所以，
即；
所以
选②：因为，易知，
所以两式相减可得，即
以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，故是以为首项，2为公比的等比数列，
故，即
当时，，
又也满足上式.
综上所述：，.
21．（2022·河南·高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定递推公式结合“当时，”求出等差数列的公差计算作答.
(2)利用(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.
(1)
因为，则当时，，即，
而等差数列公差，即不恒成立，从而有，即，解得，
当时，，即，有，解得，因此，，
所以的通项公式是：.
(2)
由(1)知，，
则
.
22．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））已知等比数列{an}满足条件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据题意可得的两个方程即可解出，从而得到数列{an}的通项公式；根据累加法可求出{bn}的通项公式；
（2）由得，两式作差可求得，咋根据错位相减法即可求出{cn}的前n项和Tn．
(1)
设{an}的通项公式为，n∈N*，
由已知a2+a4＝3（a1+a3），，得q＝3，
由已知，即，解得q＝3a1，a1＝1，
所以 {an}的通项公式为.
因为b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*），
.
(2)
当n＝1时，，c1＝1，
当n≥2时，①，
②，
由①﹣②得到，，n≥2，也满足，
综上，，n∈N*.
③，
④，
由③﹣④得到
，
所以.
23．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））设，有以下三个条件：
①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
若数列的前n项和为，且 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)选①由条件可得，估计可求数列的通项公式；选②由条件结合求数列的通项公式；选③根据等比数列通项公式可求数列的通项公式；(2)由(1)可得，结合已知求数列的通项公式，利用错位相减法求其前项和.
(1)
若选择①：因为是2与的等差中项，所以，
当时，解得．
当时，由，，
两式相减得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择②，由，，则，，
两式相减得，
又因为，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择③，设正项等比数列的公比为，
则，
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为．
(2)
因为是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以．
由（1）知，所以．
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得
，
所以数列的前n项和．
24．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.
(1)
因为=-n.
所以=-n-1，
所以
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
所以；
(2)
即证明： ，
，

.
25．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对已知的式子变形得，则，从而可得数列是以4为公比的等比数列，进而可求出的通项公式；
（2）由（1）求出，从而可求出，进而可求出
(1)
由可知，，即，
由可知，，
所以是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以的通项公式为.
(2)
由（1）知，，
所以
,
又符合上式,所以,
所以，
所以的前20项和.
26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项可求得数列的通项，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）证明出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
解：当时，，因为，解得；
当时，由可得，
上述两个等式相减可得，所以，，
对任意的，，故且，
故数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，故，
所以，.
(2)
证明：，
因为
，
所以，，
因此，.
27．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））已知数列是等比数列，其前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据是等比数列，且，再写，两式相减即可得到之间的关系，从而求出表达式
（2）写出的表达式，是等差乘以等比数列，所以可以用错位相减求和
(1)
为等比数列，设其公比为q.
因为，①
当时，，②
由①-②，得，
解得.
当时，，即，则，
所以的通项公式为.
(2)
因为，则，
，③
，④
由③-④，得，
，
所以数列的前n项和
28．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列前20项的和．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）在已知条件中分别取,可求得的值，当时利用和与项的一般关系得到，从而判定数列为等差数列，然后得到通项公式；
（2）利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列前20项的和．
(1)
解：由题可知，，解得.
在中令,得,解得；
∵①,
∴②,
由①－②得：，即,
∴．
∴数列是首项与公差都为2的等差数列,
∴.
(2)
解：题可知，当时，,
∴.
当时，,
∴,
∴.
29．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简，再推导出等于一个常数，即可求解；
（2）结合第一问，先求出数列的满足的规律，然后再求和.
(1)
由已知有：
所以，
，
其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列.
所以，得.
(2)
由（1）知：，
，
所以
.
30．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；
（2）求得数列的前n项和的解析式，求其最值后即可解决.
(1)
数列中，＝2，2()＝6－
当时，2()＝6－
则2()-2()＝6－－（6－），整理得
当时，由2()＝6－，可得，满足
综上，数列是首项为2，公比为的等比数列，
(2)
由（1）可知，等比数列的前n项和为
当n为奇数时，，则
当n为偶数时，，则
综上得，数列的前n项和的最大值为2，最小值为
故M－m