新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点11利用导数解决直线与曲线间距离问题（讲义+精练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点技巧精讲与题型归纳培优点11利用导数解决直线与曲线间距离问题（讲义+精练（2份，原卷版+解析版），共5页。
\l "_Tc201699443" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201699443 \h 2
\l "_Tc201699444" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201699444 \h 3
\l "_Tc201699445" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201699445 \h 4
\l "_Tc201699446" 题型一：曲线上一点到定点的距离最短 PAGEREF _Tc201699446 \h 4
\l "_Tc201699447" 题型二：曲线上一点到直线的距离最短 PAGEREF _Tc201699447 \h 5
\l "_Tc201699448" 题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短 PAGEREF _Tc201699448 \h 7
\l "_Tc201699449" 题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短 PAGEREF _Tc201699449 \h 10
\l "_Tc201699450" 题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短 PAGEREF _Tc201699450 \h 14
\l "_Tc201699451" 题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短 PAGEREF _Tc201699451 \h 16
\l "_Tc201699452" 题型七：水平方向距离最短 PAGEREF _Tc201699452 \h 18
\l "_Tc201699453" 题型八：竖直方向距离最短 PAGEREF _Tc201699453 \h 21
\l "_Tc201699454" 题型九：平移切线法 PAGEREF _Tc201699454 \h 23
\l "_Tc201699455" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201699455 \h 26
高考中导数中的“距离”问题常结合函数与几何，考查化归转化与数形结合能力。核心思路为将距离问题转化为函数最值问题，常见题型包括曲线与直线距离、两曲线间距离等。例如，求曲线上的点到直线的最小距离时，可通过导数求曲线的切线，使切线与给定直线平行，进而确定切点，再利用点到直线距离公式计算最小距离。此外，还可通过构造函数，利用导数研究函数单调性，进而求解距离的最值。此类问题需考生熟练掌握导数的几何意义、函数单调性与极值，以及距离公式等知识点，通过综合运用这些知识，灵活解决高考中的“距离”问题。
在导数涉及的“距离”问题求解中，化归转化与数形结合思想是重要工具，可将问题转化为点到直线距离或两点间距离问题，再借助导数法求距离最值。
方法一是转化化归。当处理动点间距离问题时，可将其转化为点到直线的距离问题。这里的“点”通常通过导数求得切点。例如，已知曲线和直线，要求曲线上一点到直线的最小距离，可先对曲线求导，找到与直线平行的切线，进而确定切点，再计算切点到直线的距离，此距离即为所求最小距离。
方法二是构造函数。根据距离问题的条件，构造合适的函数，然后求该函数的导数，通过分析导数的正负性，确定函数的单调性，进而找到函数的极值点，该极值点对应的函数值就是距离的最值。这两种方法巧妙结合导数知识，为解决导数中的“距离”问题提供了有效途径。
题型一：曲线上一点到定点的距离最短
【例1】（2025·广东广州·一模）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以
，选D.
【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【变式1-2】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
题型二：曲线上一点到直线的距离最短
【例2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【解析】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
【变式2-1】函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，令，得（负值已舍去）．
因为，所以曲线在点处的切线与直线平行．
因为点到直线的距离为，所以所求最小值为．
故选：C.
【变式2-2】动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】设过曲线上的点的切线方程与直线平行，
则，所以，解得或（舍），
即，则切点为，
切线方程为，化简可得，
则的最小值即为切线与直线的距离，
所以.
故选：C
【变式2-3】已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【解析】由题意可知在的图象上，
在的图象上，
由，得，
所以可转化为函数图象的点到直线上的点的距离，
对于，，
当时，，当时，，
当时，；当时，由于增加的速度小于x增加的速度，故；
由此可作出和的图象，如图：
结合图象可知有最小值，无最大值，AB错误；
又因为与直线平行的直线的斜率为，
令，解得，
则的与平行的切线的切点坐标为，
所以到直线的距离为，
所以的最小值为，此时，所以D正确，C错误，
故选：D
题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短
【例3】（2025·安徽·三模）已知且，若定义，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】
设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点，
易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点，
所以.
故选：D.
【变式3-1】（2025·湖南衡阳·二模）设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
【变式3-2】（2025·湖北·一模）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，
故选：B.
【变式3-3】（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：
则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短
【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】易知点在函数上,
设,化简得,即
则点在以为圆心,半径为1的圆周上,
如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可.
设圆心为,可知,
设函数,求导得
易知为单调增函数,且,
所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增,
在上有最小值,最小值,
所以的最小值为.
故答案为: .
【变式4-1】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【变式4-2】（2025·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设圆圆心为，如下图所示，
由题意可知，取得最小值时，取得最小值，
当垂直于曲线在点处的切线时，最小，
设，则对求导得，
所以，即，
由于时满足上式，且在单调递增，
所以有唯一解，
所以，此时，所以
故答案为：
【变式4-3】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
【变式4-4】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，
则，
设，
，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故，
所以时，且，
所以时，，函数单调递减，
当时，令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，
所以时，单调递增，即单调递增，
所以，故当时，函数单调递增，
所以，
故的最小值为，
则线段的长度的最小值为．
故选：B．
题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短
【例5】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
又，即点在函数的图象上，
所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍，
由，则，
函数在点处的切线斜率为，令，解得，，
所以点到直线距离的最小值为，
所以这，两点之间距离的最小值为.
故选：D
【变式5-1】（2025·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点分别是曲线和曲线上的任意一点，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为与互为反函数，所以其图象关于直线对称，
先求出曲线上的点到直线的最小距离，该距离的2倍即为所求.
设与直线平行且与曲线相切的直线切点为，
因为，所以，解得，
所以，即切点为，
点P到直线的距离，
所以线段的最小值为.
故选：B
【变式5-2】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
【变式5-3】设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 .
【答案】-1
【解析】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，
，解得，所以，
得到切点，点到直线即的距离，
解得或3.
当时，过点和，过点和，
又，，所以与相交，不符合题意；
当时，令，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即恒成立，
所以与不相交，符合题意.
综上，.
故答案为：-1.
题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短
【例6】设是曲线上的动点，是曲线上的动点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】设，，
则
所以，当且仅当时，．
【变式6-1】已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】D
【解析】（1）曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.
下面证明恒成立：
构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增.
故函数，即恒成立，有为下凸曲线
（2）曲线：，求导得，当时，，且过点
故在点处的切线方程为.
下面证明在上恒成立：
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，即在上恒成立，有为上凸曲线
（3）由在处切线与在B处的切线，知：它们相互平行
又直线AB的斜率k = -1，即可知：直线AB与两条切线同时垂直
∴综上，知：最小时，A即为P点，B即为Q点，故
∴
故选：D
【变式6-2】（2025·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又，在定义域上分别单调递增、单调递减，所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，设动点，，当且仅当满足：时，取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组，，所以，，所以的最小值为．
故答案为：.
题型七：水平方向距离最短
【例7】已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为 .（其中常数，是自然对数的底数）
【答案】
【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，
得，由，易得恒成立，
即曲线在直线的上方，
设，则
设，则，
则，
，，
当时，，当时，，
故函数在为减函数，在为增函数，
即.
故答案为:
【变式7-1】（2025·陕西安康·三模）已知直线分别与直线、曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】令，则，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
所以直线在曲线的上方，由，则，
由，则，则．
令，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，．
故选：C．
【变式7-2】已知函数，的图象与直线分别交于，两点，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．，曲线在点处的切线总与曲线在点处的切线相交
C．的最小值为1
D．，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【答案】B
【解析】设A，B两点的横坐标分别为，，则.
由于，故.故选项A正确.
当时，，.因为，，所以，
，所以曲线在点A处的切线总与曲线在点B处的切线斜率相等，两切线不相交.故选项B错误.
，由，得，，
当且仅当时取等号，由于，所以，
当且仅当时取等号，所以.故选项C正确.
曲线在点A处的切线方程为，
若此切线同时也是曲线的切线，可设切点为，则
消去，得，设，则，
，.
因为的图象是连续的，所以至少有两个零点，故有解，
进而得到的值存在且大于零，故选项D正确.
故选：B.
【变式7-3】直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】直线分别与曲线，与交于点，
设.
有：，
所以
所以.
令
当时，,单调递增；
当时，,单调递减；
.
即的最小值为1.
故选B.
题型八：竖直方向距离最短
【例8】直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.直线分别与曲线和曲线交于，两点，
设，，
且，，
，．
，，，
令解得，（舍），
当时，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
所以，
综上可知的最小值为．
故选：D.
【变式8-1】动直线与函数，，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
故选：A.
【变式8-2】动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时取得最小值，
所以的最小值为，
故选：A
【变式8-3】设动直线与函数，的图象分别交于点，已知，则的最小值与最大值之积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设函数，
所以，
令，则，在，，所以函数在上单调递减；
在，，所以函数在上单调递增；
所以当时，，
又当时，，
时，，因为，所以，
所以，故的最小值与最大值之积为：.
故选：D.
题型九：平移切线法
【例9】已知点，点在曲线（）上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出曲线与直线平行的切线方程，写出中点所在的直线方程，再利用两条平行线间的距离公式进行求解．
因为，
所以，
令，得或，
则与直线平行，
且与的图象相切的直线为或，
则的中点所在直线为或，
则点到直线和的距离为
或，
即的最小值为.故选B．
【变式9-1】已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
【答案】B
【解析】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
【变式9-2】已知直线分别与直线：及曲线：交于两点，则两点间距离的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
∴，
令，则，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴当时，取得最小值18，
∴的最小值为.
故选：A.
【变式9-3】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】B
【解析】设与直线垂直，且与相切的直线为，
设与直线垂直，且与相切的直线为，
所以，，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
此时，
所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.
故选：B
1．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，点，，向量，且，若为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为，且，
所以，
消去得：即.
因为抛物线，即，则，
由，此时.
因为点到直线的距离为：，即为的最小值.
故选：A
2．已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】联立得，则，
所以直线与曲线不相交，
因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小.
因为，直线的斜率，所以，解得，则，
所以到直线的距离最小，最小值为.
故选：C
3．已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
作出和的图象如图：
令，可得，（舍去），
所以曲线上斜率为3的切线的切点为，
该切线方程为，与直线平行，
两平行线间的距离即为到直线的距离，
即的最小值即为．
故选：A．
4．（2025·高三·辽宁鞍山·期末）已知，若实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】C
【解析】由题意，点在曲线上，点在直线上，
的几何意义就是曲线上的点与直线上的点两点间的距离的平方.
当点为曲线平行于直线的切线的切点，
且直线垂直于直线时，两点间的距离才可能最小.
又，令，解得或（舍去），
所以切点为.切点到直线的距离
就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，
故的最小值为.
故选：C.
5．已知A是函数图象上的一点，点B在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】设上一点处的切线与平行，
则，则，
令，显然，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，易知只有1个零点，即0，
所以，故点坐标为，
的最小值为到直线的距离，即，
故选：D
6．已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由已知，
则，即为直线上的点，
为函数上的点，
则，
设与相切，由，
则，可得，所以切点为，则，
则切点到直线的距离为，
所以最小值为2.
故选：B.
7．（2025·高三·天津河东·期中）设动直线与函数，的图象分别交于点，，则能取最小值时，以下符合条件的的区间为( ).
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，
不妨令，则，易知在上单调递增，
因为，，
所以，使得，
从而当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，此时，
即.
故选：A.
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题意得的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，
此时点就是曲线与直线相切的切点，
对求导有，由可得，即，
故.
故答案为：.
9．若，分别是函数与圆上的点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】设圆的圆心为，半径为，
当垂直于抛物线在点处的切线时，取得最小值，为，如图所示，
设点，则直线的斜率为，且，
由知，，
所以在点处的切线的斜率为，
因为直线与切线垂直，所以，所以，
所以，即，
因为恒成立，所以，即，
此时，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
10．设，当a，b变化时，的最小值为 .
【答案】.
【解析】，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
11．点是曲线上任意一点则点到直线的最短距离为 ．
【答案】
【解析】设直线与函数的图象相切于点．
∵，∴，，解得，，
∴点到直线的距离为最小距离．
故答案为：．
12．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为
【答案】2
【解析】由题意，圆可化为,
∴圆C是以为圆心，半径的圆，
∵，点Q为线段中点，
∴，
即Q在以为圆心，1为半径的圆上，
∴求的最小值，转化为求的最小值，
∵圆心到直线距离，
∴，
∴，
故答案为：2.
13．已知直线，分别与直线和曲线交于点M，N两点，则线段MN长度的最小值是 ．
【答案】
【解析】设与平行且与相切的直线的切点为，
因为，，切点为，
切线方程为，即，
长度的最小值就是被与截得的弦长，
则有，
故答案为：.
14．若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】，其中.
【解析】设，，则，故，，，.
故，
设，
则在区间上为增函数，且当时，，且，
故在区间上存在使得，即，故
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故有最小值，其中
故答案为：，其中.
15．已知直线与函数，若直线与直线、曲线分别交于点，则当取最小值时， ．
【答案】
【解析】易知直线与直线垂直，
所以当与直线平行的直线与曲线相切于点时，取最小值，
由，得，
设，则，解得，
则，所以，
又切点在直线上，所以，则.
故答案为：.
16．已知直线y = a分别与曲线y = 3x + 2，y = 2x + ln x交于A，B两点，则∣AB∣的最小值为 ．
【答案】1
【解析】设，，则，
所以
令，则
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴时函数的最小值为 ，
故答案为：．
17．（2025·湖北·一模）已知直线与曲线分别交于两点，则的最小值为 ．
【答案】1.
【解析】令，
，显然为增函数，且
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
故答案为1.
18．设动直线与函数，的图象分别交于点，，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】构造函数，
则，
所以在上递增，令解得.
所以在上递增，在上递减，
所以的最小值为.
也即的最小值为.
故答案为：
19．（2025·高三·辽宁锦州·期末）实数，满足，，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】
.
对于，，则在R上单调递增，
又，则，故，
表示函数图象上一点到直线上一点距离的平方，
则最小值为函数图象与直线平行切线上一点到直线的距离的平方.
，令，
则与直线平行切线对应的切点为：，其到直线距离为.
则最小值为2.
故答案为：2
20．（2025·高三·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】，
设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称，
所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，
，令，则，由对称性可得最小时，，
，
所以的最小值为.
故答案为：2.
21．已知实数，且函数，则函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
设，，
则点在曲线上，点在抛物线上，
的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．
设抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义知，
所以，
所以，
问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值，
设曲线上的点，到点的距离最小，
则与曲线在点处的切线垂直，
即，
所以，
作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点，
所以方程的解为，则．
所以，
所以函数的最小值为．
故答案为：．
22．设，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，
而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，
所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，
显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
所以，所以题设式子的最小值为.
故答案为：.