新高考数学一轮复习方法技巧与题型归纳训练 专题12 导数中的“距离”问题（2份，原卷版+解析版）

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题型一：曲线与直线的距离
题型二：曲线与点的距离
题型三：曲线与圆的距离
题型四：曲线与抛物线的距离
题型五：曲线与曲线的距离
题型六：横向距离
题型七：纵向距离
【典例例题】
题型一：曲线与直线的距离
例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是 ．
【解答】解：，
函数可看作动点与动点之间距离的平方，
动点在的图像上，在的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由，得，则，
故曲线上的点，到直线距离的最小值是，
则，根据题意若存在，使得，
则，此时恰为垂足，
由，故，解得：，
故答案为：．
例2．已知函数，若存在，使得，则实数的值为 ．
【解答】解：函数，
函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，
根据题意，要使，则，
此时恰好为垂足，由，解得．
故答案为：．
例3．若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：实数，，，满足，
，．
分别设，．
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．
点到直线的距离．
则的最小值为．
故答案为：．
例4．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是 ．
【解答】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由可得
，实数的值是5
故答案为：5
例5．已知函数的最小值是，则的值是
【解答】解：函数
，
可得表示两点，的距离的平方，
即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，
设直线与函数的图象相切，
设切点为，可得，解得，
即有切点为，
则，
解得，
则的值为0.3．
例6．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是
A．B．C．D．1
【解答】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
曲线上点到直线的距离，
则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．
故选：．
例7．设函数 ，其中，，存在使得成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．1
【解答】解：函数可以看作动点， 与点的距离的平方，点在曲线 上，点在直线上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由 求导可得，令，解得，此时 ，则，所以点到直线的距离即为直线与曲线之间最小的距离，故．
由于存在使得，则，即，
故选：．
例8．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，
又对任意的正实数，在上都是增函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
的几何意义为动点到直线，即上点的距离的平方，
其最小值为．
令，，
当时，，当时，，
（1），则的最小值为．
实数的取值范围是．
故选：．
例9．已知实数，，，满足，则的最小值为
A．B．8C．4D．16
【解答】解：由题意可知，，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：．
题型二：曲线与点的距离
例10．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
【解答】解：设点坐标为，，其中，
，过点的切线斜率为，
当直线与过点的切线垂直时，点与点间的距离最小，此时，，
点与点间的距离最小值，
即，解得：，又，，
，
故选：．
例11．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A．B．C．D．
【解答】解：的导数为，
设，可得过的切线的斜率为，
当垂直于切线时，取得最小值，
可得，
且，
可得，
解得舍去），
即有，解得，
，
故选：．
题型三：曲线与圆的距离
例12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心，
到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，
由的导数为，
即有切线的斜率为，
可得，
即有，
由，可得，
当时，，递增．
又（e），
可得处点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，即．
故选：．
例13．已知点为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．
C．D．
【解答】解：设，又圆的圆心为，
令，
，．
，
单调递增，而（e）．
在递减，在递增，
（e），
，
则线段的长度的最小值为，
故选：．
例14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心，到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，
由的导数为，即有切线的斜率为，
可得，
即有，
由，可得，
当时，，递增．
又（e），
可得处点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为．
故选：．
例15．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．1C．D．
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，
由的导数为，
即有切线的斜率为，
可得，
即有，
由，可得，递增．
又，
可得处点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：．
题型四：曲线与抛物线的距离
例16．设，，当，变化时的最小值为 ．
【解答】解：设，则表示函数上一点与函数上一点之间的距离，
又函数表示焦点为，准线为的抛物线，由抛物线的定义可得，
，的几何意义即为，
作出示意图如下，
由图观察可知，当点运动至点，且垂直于过点的函数的切线，点为线段与函数的交点时，最小，
设，，，则，解得，即，
的最小值为．
故答案为：．
例17．设．，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【解答】解：，其几何意义为：
两点．，的距离的平方，
由的导数为，
点在曲线上，
，，
令，，
则，
而是抛物线上的点到准线的距离，
即抛物线上的点到焦点的距离，
则可以看作抛物线上的点，到焦点距离和到上的点的距离的和，
即，
由两点之间线段最短，得的最小值是点到上的点的距离的最小值，
由点到直线上垂线段最短，这样就最小，
即取，，
则，垂直，
则，解得，
到的距离就是点到上的点的距离的最小值，
的最小值为．
故选：．
题型五：曲线与曲线的距离
例18．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． 2B． C． 2D．
【解答】解：，该函数的定义域为，值域为，，
函数与互为反函数，
其图象关于直线对称，
两曲线上点之间的最小距离就是与上点的最小距离的2倍．
设上点，处的切线与直线平行，
则，
，，
点，到的距离为，
则的最小值为．
故选：．
例19．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：与互为反函数，它们图象关于直线对称；
又，由直线的斜率，得，
，
所以切线方程为，
则原点到切线的距离为，
的最小值为．
故选：．
例20．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：解：与互为反函数，
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，
，解得
．
得到切点，到直线的距离，
的最小值为，
故选：．
例21．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：与互为反函数，
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，到直线的距离．
最小值为．
故选：．
例22．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线，，若在区间，内，曲线，有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为
A．4B．C．D．
【解答】解：，
，，
依题意，曲线，曲线，
其中曲线可化为：，其图象如图，
要使在区间，内曲线，有两个交点，
则必有曲线在取时的值需小于或等于，
故要使得最大，只需，
解得：，
故选：．
题型六：横向距离
例23．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则 ．
【解答】解：设，，，，可设，
则，
，
，
令，
则，
由的最小值为2，
可得，
函数在上单调递减，在，上单调递增，
时，函数取得极小值，且为最小值2，
即有，
解得，
由，
则，
可得．
故答案为：2．
例24．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则 ．
【解答】解：设，，，，，
则，
则，
则，
设，，
则，
的最小值为3，
的根为，且函数在，上递增，则上递减，
则函数的最小值为
即即，则得，，
此时，则，
即，
故答案为：1
例25．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：直线直线与函数，的图象分别交于，两点，
，，，其中，且，
，设函数（a），
（a），，
令（a），解得，
当（a），即时，函数在，单调递增，
当（a），即时，函数在单调递减，
故时，函数有最小值，最小值为，
故线段的长度的最小值为．
故选：．
例26．已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为
A．1B．C．D．
【解答】解：由题意，，，，，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，，
则在上单调递减，在，上单调递增，
所以当时，，
故选：．
题型七：纵向距离
例27．直线分别与直线，曲线交于、两点，则最小值为 ．
【解答】解：令，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，即时，取得最小值（1），
的最小值为4．
故答案为：4．
例28．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为
A．3B．2C．D．
【解答】解：令，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，即时，取得最小值（1），
的最小值为3．
故选：．
例29．直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为
A．1B．2C．D．
【解答】解：令，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，即时，取得最小值（1），
的最小值为2．
故选：．
【过关测试】
一、单选题
1．若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可知，问题可转化为圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的最小值，即求函数y＝lnx上动点到圆心距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx在处的切线与和连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案．
【详解】
由可得在以为圆心，1为半径的圆上，
表示点与点的距离的平方，
即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，
即有，
由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，
圆心与切点的距离为，
由此可得的最小值为．
故选：C．
2．已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.
【详解】
，
令 ，则，
其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，
设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，
显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设 ，则 ，
，设 ， ，
当 ， ，在x=1处取得最小值 ，
即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，
的最小值为 ；
故选：D.
3．设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
列出的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可．
【详解】
由题意，，
所以，令，则，
当时，，当时，，所以，
即的最小值为，
故选：A.
4．已知函数，，若成立，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
5．设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】
【详解】
由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
点睛：本题的解题关键是要将题意转化为抛物线上的点到lnx上的点距离与焦点的距离之和，然后借助导数求最值即可解决问题，此题较难
6．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意设两交点分别为，，可得，，长度，考查函数求最值即可得解.
【详解】
已知直线与直线，曲线分别交点，，
设，，则有，
变形可得，
又由，
设，，
则当时，，函数在为减函数，
当时，，函数在为增函数，
则有最小值，且，
则，
即线段长度的最小值是.
故选：A.
7．已知函数，，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
设换元，问题转化为对任意，存在，使得，则的最小值，利用的关系把转化为一元函数，然后求最小值．
【详解】
设，设，，，对任意，存在，使得，即，，
所以，，
令，，
易知是增函数，，时，，，递减，时，，，递增，
所以时，，所以的最小值是1，的最小值是2．
故选：D．
【点睛】
本题考查用导数求最值，解题关键是化二元函数为一元函数，题中解法是换元后直接利用把用表示，然后转化为一元函数，另外也可以设（），把都用表示，化为的一元函数，然后由导数得最小值．
8．已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对任意，，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，，推出，；证明，得到，推出，分离参数得，构造函数求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为当时，对于任意，都有恒成立，
所以有：，，
，
，
令，则，
所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
因此，即显然恒成立；
因为，所以，即；
为使恒成立，只需恒成立；即恒成立；
令，则，
由解得；由解得；
所以在上单调递增；在上单调递减；
所以；
，因此的最小值为.
故选：
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于将问题转化为不等式恒成立求参数范围的问题，根据，只需，分离参数后，即可根据导数的方法求解.
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】
令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
10．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，，构造函数，利用导函数求出最小值即可得解.
【详解】
由题设，即，
所以，，
令，，，
所以在单调递增，且，
所以由得，由得，
所以在单调递减，单调递增，
所以
即的最小值.
故选：B
【点睛】
此题考查利用导函数求最值，关键在于根据题意准确转化，对于导函数的零点不易求解的情况，考虑“试根”结合单调性解不等式.
11．设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P，Q两点，表示的最小值，则下列描述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件将表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析的取值范围.
【详解】
根据条件可知，所以，
不妨令，则，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上递减，在上递增，
所以在处取得最小值，且，
根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减，
所以，所以有，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.
12．设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
函数表示点和的距离加上的横坐标，根据抛物线定义转化求最小值，设函数，计算得到，得到答案.
【详解】
，
函数表示点和的距离加上的横坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
且恒成立，故单调递增，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
，故.
综上所述：的最小值是.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.
13．已知函数，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
设，则，令，，又是增函数，在上递减，在上递增，，即的最小值为，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.
14．直线分别与曲线交于点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析:设,则,
,令,则,函数在上单调递减,在上单调递增,时,函数的最小值为，所以A选项是正确的.
考点：导数与函数的单调性．
二、填空题
15．若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
由目标式的形式：可看作两点的距离，而可看作两点的距离，问题转化为的最小值；是上的点，对于在坐标系存在使得，可联想抛物线：以为焦点，为准线的抛物线，即问题最终为求抛物线上一点到定点与上的一点的距离之和最小，结合抛物线、函数图象及利用导数求最小值.
【详解】
由，记，
则，即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小，
，当且仅当共线时等号成立.
令，则且，
由于单调增，则是唯一零点，即有在上单调递减，在上单调递增，则，即最小值为.
则．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研究函数最值的应用，属于难题.
16．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
求出圆心到曲线上的点的距离最值后可求的最小值.
【详解】
因为实数满足，故在圆：上.
而，设，
则表示到曲线上的点的距离的平方.
又，
因为在为增函数，且，
故当时，即；当时，即；
故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为.
故到曲线上的点的距离最小值为，
而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为，
故的最小值 为.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.
17．设，则的最小值为______________．
【答案】
【解析】
设点、，则表示再加上点的横坐标，利用抛物线的定义可得出（其中为抛物线的焦点），利用导数求出的最小值，即可得解.
【详解】
.
设点、，则表示再加上点的横坐标，
其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.
作出函数与抛物线的图象如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，
则，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，
，
构造函数，其中，
，且函数单调递增，
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
，，因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解的最值时，充分利用了导数来求解.
18．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得，圆的半径．设，令，首先求得的最小值，然后求解线段的长度的最小值即可.
【详解】
由题可得，圆的半径．设，
令，则，
所以．
令 ，易知函数在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以线段的长度的最小值为．
【点睛】
本题主要考查等价转化的数学思想，导函数求解函数的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
函数表示点和的距离加上的纵坐标，计算得到，设函数，计算得到，得到答案.
【详解】
，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.
20．已知分别为函数，上两点，则两点的距离的最小值是__________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据函数与函数互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点P到直线y=x的最短距离d的2倍，利用导数求出d即可．
【详解】
∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线y=x对称，
设，则
令,得x=ln2+，
又为增函数
∴在在单调递减，在在单调递增
∴的最小值为
即，使得
即函数图象与直线y=x有交点，
即函数与函数的图象有公共点在直线y=x上
故的最小值是0
故答案为：0．
【点睛】
本题考查反函数的概念，导数的几何意义，两个图象的位置关系，属于中档题．
21．设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是________．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：因为 ，由得，，即曲线在处的切线与直线平行，所以到直线的距离就是两点间的距离的最小值，由点到直线的距离公式得，故答案为．
考点：1、利用导数求切点坐标；2、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．属于难题．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题讲两点间的最值问题转化为，切点到直线的距离是解题的关键．