（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练4.7正弦函数的图像与性质（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练4.7正弦函数的图像与性质（讲义）（2份，原卷版+解析版），共9页。
\l "_Tc195099876" 2知识点02正弦型函数的性质 PAGEREF _Tc195099876 \h 2
\l "_Tc195099877" 3题型一、正弦函数的周期性 PAGEREF _Tc195099877 \h 3
\l "_Tc195099878" 4题型二、正弦函数的奇偶性 PAGEREF _Tc195099878 \h 6
\l "_Tc195099879" 5题型三、正弦函数的对称性 PAGEREF _Tc195099879 \h 10
\l "_Tc195099880" 6题型四、正弦函数的单调性 PAGEREF _Tc195099880 \h 14
知识点01正弦函数的图像和性质
知识点02正弦型函数的性质
注意：对于fx=asinωx+bcsωx ，周期T=2πω
题型一、正弦函数的周期性
1．函数fx=sinπx−2π3，x∈R的最小正周期是（ ）
A．1B．2C．πD．2π
【答案】B
【分析】由周期公式可得.
【详解】由fx=sinπx−2π3，
则f(x)的最小正周期是T=2ππ=2，
故选：B.
2．若a>0,b>0，则函数fx=asinbx的最小正周期为（ ）
A．2πB．2abπC．2πbD．2πa
【答案】C
【分析】利用正弦函数的周期公式即可求解.
【详解】∵a>0,b>0
∴函数fx=asinbx的最小正周期为2πb.
故选：C.
3．函数fx=sin−x3+cs−x3的最小正周期是（ ）.
A．6πB．−6πC．−3π2D．3π2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】由题意，fx=sin−x3+cs−x3 =−sinx3−csx3 =−2sinx3−π4，
所以fx的最小正周期是2π13=6π.
故选：A.
4．函数f(x)=3sin2x−π3的最小正周期为（ ）
A．3πB．2πC．πD．π2
【答案】C
【分析】由正弦函数的周期公式求出即可；
【详解】由周期公式可得最小正周期为T=2π2=π，
故选：C.
5．函数fx=−3sinπ3−π2x的最小正周期是（ ）
A．4πB．6πC．4D．6
【答案】C
【分析】根据T=2πω求函数的最小正周期.
【详解】因为fx=−3sinπ3−π2x，所以函数fx的最小正周期T=2ππ2=4．
故选：C
6．已知函数fx=sin2ωx−π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω=（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】由三角函数周期公式可得.
【详解】由题可知2π2ω=π5，则ω=5，又ω>0，则ω=5．
故选：B.
7．y=2sin12x+π3的最小正周期为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】D
【分析】根据T=2πω求最小正周期即可.
【详解】函数的最小正周期T=2π12=4π，
故选:D.
8．函数fx=sin2x3的最小正周期为（ ）
A．3πB．2πC．3π2D．π
【答案】A
【分析】利用三角函数的周期公式求解.
【详解】fx=sin2x3的最小正周期为2π23=3π.
故选：A
9．函数y=2sin3xcs3x的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．2，π3B．1，2π3C．1，π3D．2，2π3
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数为y=sin6x，根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】函数y=2sin3xcs3x=sin6x，
当6x=π2+2kπ,k∈Z ，即x=π12+kπ3,k∈Z时，sin6x取最大为1，
所以函数y取最大值为1，
T=2π6=π3 ，所以函数y的周期为π3.
故选：C.
10．设k为正数，若函数fx=sinkx−π6的最小正周期为2π3，则k=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可.
【详解】由fx=sinkx−π6，且k为正数，可得T=2πω=2πk=2π3，解得k=3.
故选：C.
11．函数f(x)=sin2x−π3的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】C
【分析】根据y=Asin(ωx+φ)的周期概念求解．
【详解】由已知最小正周期是T=2π2=π，
故选：C．
题型二、正弦函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=sin3xB．y=−sin5xC．y=sinxD．y=sinx−3
【答案】C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A选项，fx=sin3x的定义域为R，
且f−x=sin−3x=−sin3x=−fx，故fx=sin3x为奇函数，A错误；
B选项，gx=−sin5x的定义域为R，
且g−x=−sin−5x=sin5x=−gx，故gx=−sin5x为奇函数，B错误；
C选项，hx=sinx的定义域为R，
且hx=sin−x=sinx=hx，故hx=sinx为偶函数，C正确；
D选项，ux=sinx−3的定义域为R，
且u−x=sin−x−3=−sinx−3≠ux，故ux=sinx−3不是偶函数，D错误.
故选：C
2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sinxB．y=sin2x
C．y=csxD．y=cs2x
【答案】B
【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解.
【详解】函数y=sinx、y=csx的最小正周期为2π，AC不是；
函数y=cs2x是偶函数，D不是，y=sin2x是奇函数，且最小正周期为π，B是.
故选：B
3．函数fx=2cs2x+π2是（ ）.
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为fx=2cs2x+π2=−2sin2x，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，且为奇函数.
故选：C
4．下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（ ）
A．y=sinxB．y=cs2x
C．y=sin2x+π4D．y=tanx
【答案】D
【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；
【详解】对于A.y=sinx周期是2π，A错误；
对于B.y=cs2x周期是2π2=π，因为cs(−2x)=cs2x是偶函数，B错误；
对于C.y=sin2x+π4周期是2π2=π，因为y=sin2x+π4=sin(2x+π2)=cs2x是偶函数，C错误；
对于D.y=tanx周期是π，又是奇函数，D正确；
故选：D.
5．函数y=cs2(x−π4)−sin2(x−π4)是（ ）
A．最小正周期为π2的偶函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π的奇函数
【答案】D
【分析】由二倍角公式、诱导公式得y=sin2x，结合三角函数的周期性、奇偶性即可判断.
【详解】y=cs2(x−π4)−sin2(x−π4)=cs2x−π2=sin2x，
由于sin−2x=−sin2x，且y=sin2x的定义域为全体实数，
所以y=sin2x是奇函数，
注意到它的周期为2π2=π.
故选：D.
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．fx=sinxB．fx=csxC．fx=tanxD．fx=2x
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数fx=sinx为奇函数；
对于B选项，函数fx=csx为偶函数；
对于C选项，函数fx=tanx为奇函数；
对于D选项，函数fx=2x为非奇非偶函数.
故选：B.
7．函数f(x)=22sin4x是（ ）
A．周期为π2的奇函数B．周期为π2的偶函数
C．周期为π4的奇函数D．周期为π4的偶函数
【答案】A
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质求出周期，并判断奇偶性.
【详解】函数f(x)=22sin4x的定义域为R，
由f(−x)=22sin(−4x)=−22sin4x=−f(x)，得f(x)为奇函数，其周期T=2π4=π2.
故选：A
8．已知f(x)=sin2(x+π4)−12，则f(x)是（ ）
A．奇函数且最小正周期为πB．偶函数且最小正周期为πC．奇函数且最小正周期为2πD．偶函数且最小正周期为2π
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数f(x)化简为12sin2x，即可判断奇偶性和周期性.
【详解】因f(x)=sin2(x+π4)−12=1−cs(2x+π2)2−12=12sin2x，
故f(x)为奇函数，且最小正周期为T=2π2=π.
故选：A.
9．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y=tan2xB．y=tanx+π4
C．y=cs2x+32πD．y=sin2x+π2
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A，y=tan2x的最小正周期T=π2，故A错误；
对于B，y=tanx+π4为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，y=cs2x+32π=sin2x为奇函数，且最小正周期为T=2π2=π，故C正确；
对于D，y=sin2x+π2=cs2x为偶函数，故D错误.
故选：C.
10．函数y=sin3xcs3x是（ ）
A．最小正周期为π3的奇函数B．最小正周期为π3的偶函数
C．最小正周期为2π3的奇函数D．最小正周期为2π3的偶函数
【答案】A
【分析】利用二倍角正弦公式化简得y=sin3xcs3x=12sin6x，由此判断.
【详解】因为y=sin3xcs3x=12sin6x，
所以函数y=sin3xcs3x为奇函数，且周期为2π6=π3.
故选：A.
题型三、正弦函数的对称性
1．函数y=sin2x−π3图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x=π6B．x=512π
C．x=π3D．x=π2
【答案】B
【分析】易知正弦函数的对称轴，因此用整体的思想可以列出方程求解.
【详解】令2x−π3=π2+kπ,k∈Z,
解得x=5π12+kπ2,k∈Z,
所以y=sin(2x−π3)的对称轴方程为x=5π12+kπ2,k∈Z
当k=0时，其对称轴方程为x=5π12，故B正确；
因为A，C，D均不满足对称轴方程，所以A，C，D错误.
故选：B.
2．函数y=sin2x+π4的一个对称中心的是（ ）
A．−π2,0B．0,0C．π8,0D．3π8,0
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心计算求解.
【详解】令sin2x+π4=0，则2x+π4=kπ,x=−π8+kπ2,k∈Z,
当k=1时，对称中心为：3π8,0，结合选项，ABC错误，
故选：D.
3．函数fx=sin2x+π3的一个对称中心的横坐标是（ ）
A．0B．π2C．πD．π3
【答案】D
【分析】由fx=0可求得对称中心的横坐标.
【详解】由fx=sin2x+π3=0，可得2x+π3=kπ，k∈Z，
所以x=kπ2−π6，k∈Z，所以当k=1时，x=π3，
故选：D
4．已知函数fx=sinx+csx的图象上距离原点最近的对称中心是（ ）
A．−π6,0B．−π4,0C．π4,0D．3π4,0
【答案】B
【分析】利用辅助角公式，将原函数化成正弦型函数，结合正弦函数的图象求出其对称中心坐标即得.
【详解】因fx=sinx+csx=2sin(x+π4)，
由x+π4=kπ,k∈Z可得x=−π4+kπ,k∈Z，即函数f(x)的对称中心为(−π4+kπ,0),k∈Z，
故当k=0时，点(−π4,0)为函数f(x)距离原点最近的对称中心.
故选：B.
5．已知函数fx=sin2x+φ−π2