新高考数学二轮复习高分突破训练第16讲 平面向量范围与最值问题（2份，原卷版+解析版）

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2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】
解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】
如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.
【详解】
如图所示，设
所以，,
因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
所以 所以，
所以四点共圆.
在△中，由正弦定理得
所以因为.
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值为60.
故答案为：60
例3．（2022·全国·高三专题练习）锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.
【详解】
解：中，
所以，
，
当且仅当时等号成立，此时最小，最大.
此时
故答案为：.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，
∴当取最大值时，与夹角为.
故答案为：.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得、，进而平方，计算即得结论．
【详解】
设向量的夹角为，
，
，
则，
令，
则，
据此可得：，
即的最大值是
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解.
【详解】
如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：，
设动点，则由得，
化简得出满足，令.
则，
所以的最大值为.
故答案为：16.
例7．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
已知展开联立方程组，解得，利用将两者建立起关系，解不等式得的范围﹒
【详解】
∵，∴．
∵，∴，
∴，且
∵，
解得，∴，即的最小值为，
故答案为：﹒
例8．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值.
【详解】
如图，设，，，，
则，且，
要求的最小值即求的最小值.
作出关于的对称点，再作出关于的对称点，
连接，设与射线交于，连接，与射线交于，
则，且，
设，则，而，故，
所以.
则，
当且仅当重合，重合时等号成立，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，在中结合余弦定理得，进而，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，在以为圆心，半径为的圆上，
所以在中，，
由余弦定理得，解得，
所以
，
所以当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，；
所以的取值范围是
故答案为：
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立坐标系，探求点C的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答.
【详解】
以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
因，则，而，解得，
则，设，有，，
因向量与向量的夹角为，则，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令点，，
令，
则，
于是得，又，即有，解得，
当时，，即，而，有，
，矛盾，即，
当时，，即有，其中锐角满足，
则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：给定向量的模探求向量问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
过关练习：
1．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可.
【详解】
设向量与的夹角为
由，可得，
即，
即关于恒成立
则，即
故向量在方向上投影
故选：A
2．（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，即可求得答案.
【详解】
解析 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.
则 , 设DE的长为x，则 ，
则，，所以，解得或，由题意知： ，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是，
故选：B.
3．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先得到，再利用向量的数量积运算法则进行计算
【详解】
因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，由
.故选：B.
4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及基底法求向量数量积.
【详解】
如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
5．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.
【详解】
设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
6．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．[0，]B．[－5，1]
C．[－，]D．[－2，0]
【答案】B
【解析】
【分析】
设P(x,y)，由已知结合向量数量积的坐标表示可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，即知P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，数形结合法判断P的横坐标的取值范围.
【详解】
设P(x,y)且·≤20.
∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65.
则P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
联立得：或，
结合图形(图略)可知.
故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可.
【详解】
解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合向量的坐标运算公式，以及圆外一点到圆上一点的距离问题，即可求解.
【详解】
根据题意，令，，
则，即，
因此在为圆心，4为半径的圆上，易知，
故，即.
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知是以为斜边的等腰直角三角形，若，且，则的取值范围是（ ）
A．，，B．，，
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件求出关于的表达式，再由的取值范围即可计算得解.
【详解】
因是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，，
而，则
，
因，即或，于是得或，
所以的取值范围是.
故选：A
10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
11．（2022·全国·高三专题练习）给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，得到， ，.设，则，根据，解得，然后由，利用正弦函数的性质求解.
【详解】
解：建立如图所示的坐标系，
则，，
即，.
设，则.
，，，.
，（此时有，是个锐角）.
.
可取到.
有最大值，
故选：.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】
解：可设，，
则，
即，则，，
，
当时，取得最大值为6，
即的最大值为6.
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
【详解】
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设，
可得，，，
由，，得，
，，，
，
，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.
所以的最大值是2.
故选：B.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得，且，设 ，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.
【详解】
令，则，故，且，
假设 ，，，
所以根据已知条件有，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得，再结合向量的数量积的性质可求，最后代入即可求出答案.
【详解】
设
得


即

,

故选：A
16．（2022·全国·高三专题练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】
表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
18．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值．
【详解】
建立如图所示坐标系，设，则，
所以，，
故，
所以时，取得最小值．
故选：A．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，由题可得，，进而可得表示圆上点到射线上点的距离，即得.
【详解】
设，
则由非零向量与的夹角为，
得，
∴，即，
由，得，
∴，
∴表示圆上点到射线上点的距离，
∴的最小值为圆心到射线的距离减去半径1，为
故选：A.
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，，，
所以满足，
因为，
所以，
所以，
故选：C
21．（2022·山东潍坊·高三期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．
C．[1，2]D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形，考虑是线段上的任意一点，可得出，以及，，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的取值范围.
【详解】
如下图所示：
考虑是线段上的任意一点，，，
圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则，
所以，.
故选：A.
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．[12，16]
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到，其中，利用平面向量三角形法则表示出，进而可得其范围.
【详解】
因为P在AC上，所以，其中，
则
，
因为，所以.
故选：B
23．（2022·全国·高三专题练习）已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）
A．8B．10C．12D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设，求出点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．
【详解】
∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设，则，故点P坐标为
则，∴
令，则，
则当时，，当时，，
则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．
故选：C．
二、双空题
24．（2022·天津南开·高三期末）在四边形中，，，，则________；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得四边形为底角为的等腰梯形，求出的值，结合平面向量的运算法则及，得到不等式，求得取值范围，即可得解．
【详解】
解：依题意等腰梯形中，，，
可得，，，
所以，，．
所以，，
所以
，分别是边，上的点，且满足，所以，
，，
则，，
．
即，
，解得，又．所以，即；
故答案为：；；
25．（2022·全国·高三专题练习）如图，，，是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点）， 则________，的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而可得直线，，的方程，设出，，的坐标，结合横坐标的范围以及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】
如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
直线的方程为：，设，且，
直线的方程为：，设，且，
直线的方程为：，设，且，
所以，，，
，，所以，
故答案为：；.
26．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，则的值为___________；的最小值为___________.
【答案】 1
【解析】
【分析】
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，如图，
为边长为1的等边三角形，，
，
，
为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足则的最小值是________，最大值是_______.
【答案】 4
【解析】
【分析】
利用数量积的定义可得，，然后利用三角函数的性质即得,
【详解】
设向量的夹角为，则，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
故答案为：4，.
三、填空题
28．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.
【详解】
如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，
所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.
由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，
由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，
取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.
，即M、G两点重合.取得最小值为2.
则时，.
故向量的模取值范围是
故答案为：
29．（2022·浙江杭州·高三期末）已知向量，，，，...（）是两两互不相等的平面向量，，，（其中，2；，2，...，k）.若k的最大值是8，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
当两个向量共始点时，其差向量的模等于两向量终点的距离，则向量的终点到、终点的距离都是1或2，从而转化成两组同心圆交点个数问题，然后可解.
【详解】
作，再以O为始点作向量，因为所以的终点在以A为圆心，1和2为半径的同心圆上，又因为，所以的终点在以B为圆心，1和2为半径的同心圆上，由于k的最大值是8，故两组同心圆有8个交点，所以，即 .
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.
【详解】
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，
，，，
有，由得：，
而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，
所以.
故答案为：1