华东师大版（2024）九年级上册（2024）小结复习ppt课件

这是一份华东师大版（2024）九年级上册（2024）小结复习ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了实验问题，一元二次方程的解法，平方根的定义，完全平方公式，配方法，所有的一元二次方程，优先选择，a≠1，2∵m＝1，解下列方程等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程的解法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
x2 = p 或 (mx + n)2 = p(p ≥ 0)
一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式 Δ = b2 – 4ac
（1）当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 Δ < 0 时，方程无实数根.
在应用时，要根据根的情况限定 Δ 的取值，同时应注意二次项系数不为 0 这一条件.
3.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形. 同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：（1）a ≠ 0，（2）Δ ≥ 0
4. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.
1. 形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)的方程是一元二次方程，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．
典例1：若关于x的方程(a－1)x2＋3ax－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是______．
2．一元二次方程的解法(直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法)
典例2：解下列方程：(1)(x＋1)2－9＝0；　(2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0；(3)2x2－5x＋2＝0； (4)2x2－9x＋8＝0.
解：(1)移项，得(x＋1)2＝9.
直接开平方，得x＋1＝±3，
即x1＝2，x2＝－4.
(2)方程左边分解因式，得(x－3)(x－3＋2x)＝0.
∴x－3＝0或x－3＋2x＝0，
得x1＝3，x2＝1.
(4)这里a＝2，b＝－9，c＝8.
∵b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17＞0，
∴整数m的最大值为1.
典例4：如图，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠的宽度为____m.
典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
解：(1)设降价率为x.
由题意，得40(1－x)2＝32.4.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去).
答：这个降价率是10%.
(2)(40－32.4)÷0.2×10＝380(件)，
∴两次调价后，每月可销售该商品500＋380＝880(件).
答：两次调价后，每月可销售该商品880件．
(1) 3x2=2x; (2)6x2－40=0;(3) x(3x－1)=3－x; (4)y(y－2)=4－y;(5)4x(1－x)=1; (6)(t－2)-3t2=0.
解： (1) 移项，得3x2－2x=0
因式分解法，得x (3x－2) =0
∴x =0或3x－2)=0，
(2) 移项，得6x2=40，
(3) 整理，得x2－1=0
因式分解法，得 (x－1) (x＋1) =0
∴x －1 =0或x＋1 =0，
∴ x1 =1或x2 = － 1.
(4) 整理，得y2－2y － 4=0
Δ =(-1) 2 －4×1×(－ 4) =17
(5) 4x2 －4x＋ 1=0
∴ 2x－1 =0，
(6) t2 －2t＋3t2 =0
∴ －2t =0或t ＋1=0 ，
∴ t1 = 0或t2 =－ 1.
－2t (t ＋1) =0
2.已知关于x的方程x2－3x+k=0.(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根?(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根?(3)当k取何值时，方程没有实数根?
解： 这里a=1 ， b=－3 ， c=1，
∴Δ =(-3) 2 －4×1×k =9－4k.
3.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:(1)2x2 +5x－1=0; (2) (x+2)2=2(x2+3).
解：(1) Δ =52 －4×2×(－1) =25＋8＝33＞0,
(2) 整理，得x2 －4x ＋2=0.
∴Δ =(－4)2 －4×1×2 =8＞0,
4.已知A=2x2+7x－1，B=4x+1,分别求出满足下列条件的x的值:(1)A与B的值互为相反数;(2)A的值比B的值大3.
解：(1) A＋B＝0，即2x2+7x－1+4x+1＝0,
整理，得2x2+11x ＝0.
(2) A － B＝3，即2x2+7x－1 － (4x+1)＝3,
整理，得2x2+3x－5＝0.
5.已知关于x的方程(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1)有一个根是0，求它的另一个根和m的值.
解:因为x=0是方程的根,将其代人(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1),得－m= － 1,即m=1,
所以原方程为(2x－1)(x＋1)=(3x+1)(x－1) ,
整理，得x2－3x=0，
方程左边分解因式,得x(x－3)=0,
所以x1＝0， x2＝3,
所以方程的另一个根为3，m的值为1.
6.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
解:设中间的一个奇数为a,则较小的一个奇数为a－2,较大的一个奇数为a＋2,
由题意,得(a－2)2+a2+(a+2)2=371.
解得a1=11， a2=－11.
所以这三个连续奇数为9,11,13或-13，-11，-9.
7.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为4m的绿化带，使余下部分的面积为100m2.求原正方形广场的边长.(精确到0.1m)
解:设原正方形广场的边长为x米，
由题意,得x2-4x=100,
答:原正方形广场的边长约为12.2米.
8.村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6m2的等腰梯形，它的上底比渠深多2m，下底比渠深多0.4m.求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度.
解:设渠深为x米，则上底边的长为(x+2)米，下底边的长为(x+0.4)米，
整理,得x2+1.2x－1.6=0.
解得x1=0.8， x2=－2 (不符合题意，舍去)
则x+2=2.8， x+0.4=1.2.
答:灌溉渠横截面上、下底边的长分别为2.8米、1.2米,渠深为0.8米.
9.如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30n mile (n mile单位“海里”符号)的A处有一艘可疑船只，测得它正以60kn的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75kn的速度准备在B处拦截.问:经过多少时间能赶上?
解:设经过x小时能赶上，
则AB=60x海里,OB=75x海里, OA=30海里.
在Rt△OAB中,由勾股定理,得(60x)2+302=(75x)2.
解: (1) x1 =1， x2 =－3.
11.已知x=1是一元二次方程(a－2)x2+(a2－3)x－ a+1=0的一个根，求a的值.
解:把x=1代入原方程,得a2－4=0，
解得a1= 2，a2=－2.
因为二次项系数不为零，即a－2≠0,
13.已知关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x－2m=0，它总是二次方程吗?试求出它的根.
解：不一定是二次方程，有以下两种情况：
当m=1时，方程是x－2=0,是一元一次方程，此时x =2;
当m≠1时，方程是一元二次方程，原方程即为[(m－1)x＋m] (x－2)=0，
故当m=1时，不是二次方程，此时x=2；
14.已知代数式x2－5x+7，先用配方法证明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少?
∴这个代数式的值总是正数.
设代数式的值为M,则有M=x2-5x+7，
15.学校原有一块面积为1500m2的矩形场地，现结合环境整治，将场地的一边增加5m，另一边减少5m，结果场地的面积增加了10%.求现在场地的长和宽.
化简得，x2 ＋25x-1650=0，
解得：x1=30， x2=－55(不符合题意，舍去).
答:现在场地的长为55米，宽为30米.
解：(1)设a=x2－x,则原方程为a2-5a+6=0，
当a=2时，x2－x=2，解得x1=2， x2=－1.
解得y1=2， y2=－1.
Δ =1－4 = －3＜0,所以此方程无解；
17.证明:对于任何实数m，关于x的方程(x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根.
证明:方程化为一般式为:x2-3x+2-m2=0，
∴Δ =32-4(2-m2) =4m2+1,
∵ 不论m取何值，4m2≥0，
∴不论m取何值时，关于x的方程(x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根.
解： 2x2+3x－4=0，这里a=2，b=3， d=－4，
解:∵3x2-2xy-8y2=0
∴ (3x+4y)(x-2y)=0
∴3x+4y=0或x-2y=0,
20.已知关于x的方程mx2－(2m－1)x+m-2=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根?(2)当m取何值时，方程有实数根?
解:当m=0时，原方程为一元一次方程.
当m≠0时，原方程为一元二次方程，
∴Δ =[-(2m-1)]2-4×m (m-2) =4m+1.
21.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元.经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%.若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施?请将本题补充完整并解答.
解 措施1 降低产品成本 问题:求每个季度平均降低成本百分率?
设每个季度平均降低成本百分率为x.
根据题意，得65(1-10%)(1+4%)-50 (1- x)2=15.
解这个方程，得符合题意的近似解x≈4.3%.
答:每个季度平均降低成本百分率约为4.3%.
措施2 降低产品成本 问题:求半年后每件产品降低成本多少元?
设半年后每件产品成本降低x元.
根据题意，得65(1-10%)(1+4%)- (50 - x)=15.
解这个方程，得x＝4.16.
答:半年后每件产品降低成本4.16元.