新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第04讲 曲线的公切线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第04讲 曲线的公切线（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考情定位， 命题趋势， 学情痛点， 分析函数，求解问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc15357" 思维导图 PAGEREF _Tc15357 \h 1
\l "_Tc684" 高考分析 PAGEREF _Tc684 \h 2
\l "_Tc32079" 学习目标 PAGEREF _Tc32079 \h 2
\l "_Tc8896" 知识要点 PAGEREF _Tc8896 \h 3
\l "_Tc11788" 解题策略 PAGEREF _Tc11788 \h 3
\l "_Tc9790" 题型归纳 PAGEREF _Tc9790 \h 5
\l "_Tc2202" 题型01：有切点切线方程 PAGEREF _Tc2202 \h 5
\l "_Tc29982" 题型02：无切点型切线关系 PAGEREF _Tc29982 \h 6
\l "_Tc22392" 题型03：“在点”型切线求参 PAGEREF _Tc22392 \h 7
\l "_Tc20651" 题型04：“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc20651 \h 8
\l "_Tc31872" 题型05：“过点”型切线条数判断 PAGEREF _Tc31872 \h 10
\l "_Tc2596" 题型06：“过点”型切线条数求参 PAGEREF _Tc2596 \h 11
\l "_Tc26495" 题型07：三角函数型切线综合应用 PAGEREF _Tc26495 \h 13
\l "_Tc20360" 题型08：函数公切线 PAGEREF _Tc20360 \h 15
\l "_Tc7763" 题型09：与公切线有关的求值问题 PAGEREF _Tc7763 \h 19
\l "_Tc18346" 题型10：函数公切线求参数范围 PAGEREF _Tc18346 \h 20
\l "_Tc19245" 题型11：函数公切线条数判断 PAGEREF _Tc19245 \h 23
\l "_Tc16382" 题型12：公切线综合 PAGEREF _Tc16382 \h 28
\l "_Tc10665" 题型13：切线逼近求零点 PAGEREF _Tc10665 \h 30
\l "_Tc452" 题型14：双切线存在性 PAGEREF _Tc452 \h 32
\l "_Tc12755" 题型15：切线逼近：不等式整数解求参 PAGEREF _Tc12755 \h 34
\l "_Tc20848" 巩固提升 PAGEREF _Tc20848 \h 36
1. 考情定位
函数公切线专题属于高考数学导数应用板块的高频难点，近5年新课标卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷中多以选填压轴题或解答题第2问的形式出现，分值占比5-12分。该专题综合考查导数的几何意义、函数单调性与最值、方程与不等式的转化，是区分中档生和优等生的核心考点。
2. 命题趋势
①题型特点：多围绕“双函数公切线的存在性”“公切线的条数”“公切线相关参数范围”三类问题命题，常结合指数函数、对数函数、二次函数等基本初等函数设置情境。
②核心方向：弱化复杂计算，强化数形结合思想与转化与化归思想的考查，要求学生将“公切线问题”转化为“方程有解问题”，再通过函数单调性分析参数范围。
③关联考点：常与函数零点、不等式恒成立、最值求解等考点交叉命题，体现高考“知识交汇”的命题原则。
3. 学情痛点
①对导数几何意义理解不透彻，无法准确写出双函数的切线方程并建立等式关系。
②转化意识薄弱，难以将“公切线存在”转化为“方程有解”，或转化后无法合理构造函数分析。
③忽略定义域限制、切线斜率的取值范围等细节，导致解题过程出现疏漏。
1. 知识目标
①深刻理解导数的几何意义，能准确写出单函数在某点处的切线方程，掌握切线斜率与导数的对应关系。
②熟练掌握双函数公切线的本质特征，明确公切线需满足“斜率相等”“截距相等”两个核心条件。
③理清公切线问题与函数零点、方程有解、参数范围等考点的关联逻辑，构建完整的知识应用网络。
2. 能力目标
①具备将公切线问题转化为代数方程的能力，能根据不同函数类型（二次函数、指数函数、对数函数等）合理设切点、列等式。
②提升构造辅助函数分析问题的能力，能通过研究辅助函数的单调性、最值，解决公切线存在性、条数判断及参数范围求解问题。
③强化数形结合思想的应用能力，能借助函数图像直观分析公切线的分布情况，验证代数解法的合理性。
3. 素养目标
①培养数学抽象素养，能从具体的双函数公切线案例中，提炼出“设切点→列方程→转化分析”的通用解题模型。
②提升逻辑推理素养，在推导公切线条件、分析参数范围的过程中，做到步骤严谨、论证清晰。
③增强数学运算素养，能熟练处理公切线问题中涉及的导数运算、方程变形及最值求解等计算环节，规避常见运算错误。
1. 核心概念
①切线的定义：若直线与函数图像只有一个公共点，且在该点处的直线斜率等于函数在该点的导数值，则称这条直线为函数在该点的切线。
②公切线的定义：同时与两个（或多个）函数图像相切的直线，满足与每个函数相切时的斜率相等、切点处函数值与直线方程值相等两个核心条件。
2. 常见函数的导数与切线特征
①二次函数y = ax2 + bx + c：导数y' = 2ax + b，切线斜率随x线性变化，任意两条切线斜率可能相等。
②指数函数y = ex（或y = ax）：导数y' = ex（或y' = ax\ln a），切线斜率恒大于0，且与函数值相等。
③对数函数y = ln x（或y = lga x）：切线斜率随x增大而减小。
3. 核心思想方法
①转化与化归思想：将公切线的存在性、条数问题转化为方程（组）有解、解的个数问题。
②数形结合思想：借助函数图像直观判断公切线的数量、位置，辅助代数运算验证结果。
③构造函数思想：通过构造关于切点横坐标或斜率的函数，利用函数单调性、最值分析参数范围。
函数公切线专题解题策略
一、 核心解题步骤（通用模板）
S1. 设切点，写切线方程
设直线与函数f(x)切于点(x1,f(x1))，与函数g(x)切于点(x2,g(x2))，分别根据导数几何意义写出两条切线方程：
y = f'(x1)(x - x1) + f(x1)
y = g'(x2)(x - x2) + g(x2)
S2. 联立等式，建立关系
两条切线为同一条直线，则斜率与截距分别相等，得到方程组：
S3. 转化问题，构造函数
根据方程组消元（通常消去x1或x2），将问题转化为关于单个变量的方程有解/解的个数/参数范围问题，构造对应的辅助函数h(x)。
S4. 分析函数，求解问题
求辅助函数h(x)的导数h'(x)，分析其单调性、极值与最值，结合函数图像确定方程解的情况，进而得到公切线的存在性、条数或参数范围。
二、 分题型解题技巧
题型1：判断公切线的存在性
①技巧：转化为方程有解问题，通过求辅助函数的值域，判断目标值是否在值域内。
②关键：若构造的函数h(x)的值域包含k（斜率）或b（截距），则存在公切线。
题型2：求公切线的条数
①技巧：转化为方程解的个数问题，通过分析辅助函数的单调性与极值，结合函数图像与x轴的交点个数判断。
②关键：极值的正负决定交点个数，若极大值大于0且极小值小于0，则方程有3个解，对应3条公切线。
题型3：求公切线相关的参数范围
①技巧：转化为不等式恒成立或存在性问题，通过分离参数法，将参数移到一侧，另一侧构造函数求最值。
②关键：分离参数后，求函数的最值（最大值/最小值），参数范围与最值形成对应不等式。
三、 避坑指南
1. 忽略切点的定义域：对数函数、分式函数等有定义域限制，设切点时需标注x1,x2的取值范围。
2. 混淆“公切线”与“公共点切线”：公切线不要求两个切点重合，公共点切线是切点相同的特殊情况。
3. 计算失误：切线方程截距化简易出错，建议分步整理b = f(x1)-x1f'(x1)，再联立等式。
是否需要我帮你整理函数公切线专题的典型例题及详细解析？
题型01：有切点切线方程
技巧规律：
若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程
1：求，得切点；
2：求导数，得；
3：写切线方程.
【典型例题1】已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由是定义在上的单调函数，满足，可得为一固定的数，可设，则有，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.
由题意可得为一固定的数，设，则有.
由可得，当时，有，
解得.， ．，又．
∴曲线在处的切线方程为，即．
故选：A．
【典型例题2】函数的图象在点切的切线分别交轴，轴于、两点，为坐标原点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求导得到，计算切线方程为，故，，代入向量计算得到答案.
，，故，，，
故切线方程为：，故，.
，即，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【变式训练1-1】已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式训练1-3】定义在上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为 .
题型02：无切点型切线关系
技巧规律：
若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程
1：求导数，令，求解得；
2：求，得切点；
3：写切线方程.
【典型例题1】设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解.
令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，
容易知道图象是抛物线图象的上半部分，
记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：

则，
当且仅当在线段 上时，取最小值.
设这时点坐标为，又，
所以有，解得 ，即该点为，
所以，因此.
故选：A.
【点睛】本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.
【典型例题2】已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
【答案】0
【解析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可.
令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
【变式训练2-1】点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【变式训练2-2】已知函数，若在和处切线平行，则
A．B．C．D．
【变式训练2-3】已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则 .
题型03：“在点”型切线求参
技巧规律：
若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点.
1：设切点；
2：求导数，得；
3：写切线方程；
4：将代入步骤3，解得；
5：将代入步骤3，得切线方程.
【典型例题1】已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，∵，∴，∴，
∴切线的方程为，令，得，故，
又点，∴线段中点的纵坐标，
设，则，
故当时，单调递增；当时，单调递减．
∴．选D．
【典型例题2】已知函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据答案分析此题可用特殊值法：取a=-1,根据题意可得函数的切线方程为：，故在y轴的截距为：，所以
恒成立（m>1）,故令恒成立，，显然当a取-1时，，故在单调递增，，故恒成立，故a取-1成立，所以排除ACD，选B
点睛：对于12题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易举得出结论
【变式训练3-1】已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【变式训练3-2】设直线分别是函数图象上点、处的切线，与垂直相交于点，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-3】设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为
A．2B．1C．D．
题型04：“过点”型切线方程
技巧规律：
1.设切点P(x0,y0)
2.y0=f(x0)
3,y=f'(x)⇒k=f'(x0).
y−y0=k(x−x0)
y−y0=k(x−x0)
得b−y0=k(a−x0)⇒解出x0
【典型例题1】过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【解析】设的切点分别为，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过原点解出即可求解.
设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：B
【典型例题2】已知函数，过点作函数图象的两条切线，切点分别为M，N．则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线MN的方程为
C．D．的面积为
【答案】C
【解析】设切点坐标为，利用，，可求出切点坐标，
计算可判断A；求出，直线MN的方程可判断B；求出可判断C；
求出到直线MN的距离，计算出可判断D.
因为，所以没有在函数的图象上，
，设切点坐标为，
当时，，不与相切，
所以，
， 又因为，
解得，即，，
所以，故A错误；
，所以直线MN的方程为，即，故B错误；
，故C正确；
到直线MN的距离为，
所以的面积为，故D错误.
故选：C.
【变式训练4-1】过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【变式训练4-2】已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-3】已知曲线的一条切线在轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型05：“过点”型切线条数判断
技巧规律：
“过点型”切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
【典型例题1】过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】A
【解析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
设切点为，
由可得，
则过坐标原点的切线的斜率，
故，即，
解得，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
【典型例题2】若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，可得出，可得出，然后逐项检验可得出合适的选项.
设切点坐标为，对函数求导可得，
所以，切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
将点的坐标代入切线方程可得，即，
因为过点可作曲线的两条切线，则关于的方程有两个不等的实数解，
所以，，即，即，
对于点，，A不满足；
对于点，，B不满足；
对于点，，C满足；
对于点，，D不满足.
故选：C.
【变式训练5-1】过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2】已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-3】函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
题型06：“过点”型切线条数求参
技巧规律：
若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
【典型例题1】已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，根据导数研究函数的图象可得结果.
设过点的直线与函数的图象相切时的切点为，则，
因为，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与
曲线的图象的公共点的个数，
因为，令，得，
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
因为，当时，所以，函数的图象大致如图：
所以当时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
【点睛】依题意求出切线方程，本题关键是将过点的直线与函数的图象相切的切线条数转化为直线与曲线的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数的图象.
【典型例题2】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设切点为，利用导数求出切线的斜率，结合斜率公式可得出，可知关于的方程有两个不等的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
设切点为，对函数求导得，
所以，切线斜率为，整理得，
关于的方程有两个不等的实根.
令函数，由题意可得，解得且，
所以，函数的定义域为，且，
当时，，；当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
.
作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
【变式训练6-1】若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练6-2】已知函数（），点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练6-3】已知函数，过点作曲线的切线，当时，可作两条切线，则的取值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
题型07：三角函数型切线综合应用
技巧规律：
三角函数型切线，要注意三角函数的周期性与正余弦函数的有界性。
【典型例题1】已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD.
由题意知，，则，
所以曲线在点处的切线方程分别为
，
因为切线均过原点，所以，
即，得，故AB错误；
由，得，画出函数与图象，如图，
设，如上图易知：，
由正切函数图象性质，得，即，
又，所以，
即，解得，故C正确，D错误.
故选：C
【点睛】证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.
【典型例题2】已知函数图象上有一最低点，将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象，若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点，则的值是 .
【答案】
【解析】由辅助角公式化一，再根据正弦函数的最值求出函数的解析式，进而可求出的解析式，再结合正弦函数图象特征，利用导数的几何意义，即可求解.
，
因为函数图象上有一最低点，
所以，且，
所以，所以，
所以，
将函数的图象向左平移个单位长度得的图象，，
则，
如图，结合的图象及对称性可知，

在处的切线经过点，设切点为，
则，所以，
整理得，所以.
故答案为：.
【点睛】处理本题的关键点是找到切线与的图象有个交点时，该切线过点，再利用导数处理即可.
【变式训练7-1】已知函数（且），其中的最小正周期，且，函数的图象在处的切线与的图象恰好有3个公共点，则 .
【变式训练7-2】已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-3】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
题型08：函数公切线
技巧规律：
对函数 ，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
)和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
【典型例题1】已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解.
设与曲线相切于点，与相切于点，
由，可得的斜率，所以①，
又由，可得，所以，即②，
又因为③，
将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，
将④代入③，可得，则，
令，则，当时，单调递减；
当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，
故，可得，所以，
所以的方程为，即．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
【典型例题2】已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
【答案】或(写出其中一条即可)
【解析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程.
设公切线与相切于点，与相切于点，
，，则公切线斜率，
公切线方程为或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切线方程为或.
故答案为：或