新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第05讲 利用导数求函数的单调性（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第05讲 利用导数求函数的单调性（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考纲定位， 命题趋势， 高频考点分布， 易错点警示，x=3+116，设函数．，已知函数．，已知且，函数．等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31010" 思维导图 PAGEREF _Tc31010 \h 2
\l "_Tc7724" 高考分析 PAGEREF _Tc7724 \h 2
\l "_Tc23826" 学习目标 PAGEREF _Tc23826 \h 3
\l "_Tc11140" 知识要点 PAGEREF _Tc11140 \h 3
\l "_Tc7982" 解题策略 PAGEREF _Tc7982 \h 5
\l "_Tc26081" 题型归纳 PAGEREF _Tc26081 \h 6
\l "_Tc12456" 题型01：导函数与原函数函数图象 PAGEREF _Tc12456 \h 6
\l "_Tc10212" 题型02： 不含参数的函数的单调性 PAGEREF _Tc10212 \h 11
\l "_Tc24296" 题型03： 含参数的函数的单调性 PAGEREF _Tc24296 \h 12
\l "_Tc14688" （一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） PAGEREF _Tc14688 \h 12
\l "_Tc27231" （二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参 PAGEREF _Tc27231 \h 13
\l "_Tc6493" （三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参 PAGEREF _Tc6493 \h 16
\l "_Tc31972" （四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 PAGEREF _Tc31972 \h 18
\l "_Tc7552" 题型04： 已知单调性求参数值 PAGEREF _Tc7552 \h 19
\l "_Tc17415" （一）已知函数y=f(x)在区间D上单调 PAGEREF _Tc17415 \h 19
\l "_Tc14737" （二）已知函数fx在区间D上存在单调区间 PAGEREF _Tc14737 \h 23
\l "_Tc22276" （三）已知函数fx在区间D上不单调 PAGEREF _Tc22276 \h 24
\l "_Tc6184" （四）已知函数y=f(x)有三个单调区间 PAGEREF _Tc6184 \h 26
\l "_Tc3383" 题型05：单调性的应用——构造函数比较大小 PAGEREF _Tc3383 \h 27
\l "_Tc13770" 题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 PAGEREF _Tc13770 \h 29
\l "_Tc20798" 题型07：利用导数的运算法则构造函数 PAGEREF _Tc20798 \h 32
\l "_Tc31238" 题型08：通过变量构造具体函数 PAGEREF _Tc31238 \h 35
\l "_Tc7731" 题型09：通过数值构造具体函数 PAGEREF _Tc7731 \h 37
\l "_Tc26186" 题型10：切线放缩与泰勒展开式 PAGEREF _Tc26186 \h 39
\l "_Tc32671" 巩固提升 PAGEREF _Tc32671 \h 43
1. 考纲定位
导数与函数的单调性是高考数学核心考点，属于导数应用的基础模块，衔接导数的几何意义与函数极值、最值问题，在选择、填空、解答题中均有分布，解答题常作为导数综合题的第一问，分值占比约5-12分。
2. 命题趋势
①基础题型：直接考查利用导数求解不含参函数的单调区间，或已知单调区间求参数的取值范围，侧重对导数运算、不等式求解的基本能力考查。
②综合题型：与含参函数的分类讨论结合，需根据参数范围分析导数符号的变化；或与函数的奇偶性、周期性、不等式证明、零点问题联动，考查逻辑推理与综合应用能力。
③创新方向：结合实际应用问题（如优化问题），通过分析函数单调性确定最值；或引入分段函数、抽象函数，增加思维难度。
3. 高频考点分布
①选择/填空题：求函数单调区间、判断单调性与参数的关系、比较函数值大小（利用单调性）。
②解答题：含参函数单调性的分类讨论、已知单调性求参数范围、单调性在极值/零点问题中的铺垫应用。
4. 易错点警示
①忽略函数定义域对单调区间的限制，直接求解导数大于零（或小于零）的不等式。
②含参讨论时，遗漏参数的临界值（如导数为零的点是否在定义域内）。
③混淆“函数在区间上单调”与“函数的单调区间包含该区间”的区别。
1. 知识目标
①理解导数与函数单调性的核心关系：函数在区间内可导时，f'(x)>0 则函数单调递增，f'(x)0（f'x0，结合定义域得到递增区间；
或解不等式f'(x)0恒成立⇔fxmin>0；fxa；fx0；fxgx2max．
4.“有解”问题的处理思路
(1)fx>0有解⇔fxmax>0；fxa；fx0；fxgx2min
1. 基础题型：不含参函数单调区间的求解
步骤1：确定函数 f(x) 的定义域（关键前提，避免因忽略定义域导致区间错误）。
步骤2：求导函数 f'(x)，并将其化简为便于判断符号的形式（如因式分解）。
步骤3：解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)0，在−1,0和1,3上f'x0，得x>−1，
所以函数fx的单调递增区间是．
故选：D.
【典型例题2】函数fx=x2lnx的单调递增区间为（ ）
A．0,eB．ee,+∞C．e,+∞D．0,ee
【答案】B
【解析】函数fx的定义域为0,+∞，
f'x=2xlnx+x2⋅1x=2xlnx+x=x2lnx+1，
令f'x>0，得2lnx+1>0，解得x>ee，
故函数fx=x2lnx的单调递增区间为ee,+∞．
故选：B．
【典型例题3】若函数f(x)=lnx+1ex，则函数f(x)的单调递减区间为 .
【答案】1,+∞
【解析】因为f(x)的定义域为0,+∞，则f'(x)=1x−lnx−1ex，
令φx=1x−lnx−1，x∈0,+∞，则φ'x=−1x2−1x0，即f'(x)>0，
当x∈1,+∞时，φx0得x4，由f'x0得xa，由f'x0恒成立，
当00，
当x>e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，
当02e时，当时，2x−a>0,lnx>0，当0−12，讨论f (x)的单调性．
【变式训练3-3-4】已知函数f(x)=2lnx−(2−a)x−12ax2，讨论的单调性.
【变式训练3-3-5】已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
（四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
【典型例题1】已知函数f(x)=lnx+12x2−ax，讨论函数f(x)的单调性．
【答案】答案见解析.
【解析】因为f(x)=lnx+12x2−ax，所以f'(x)=1x+x−a(x>0)，
而x+1x≥2 （当且仅当x=1时取等号），
当a≤2时，f'(x)=1x+x−a≥2−a≥0，此时f(x)的增区间为0,+∞，
当a>2时，令f'(x)=1x+x−a=x2−ax+1x=0，
则，
令f'(x)>0，则0 1时， y=lgat 是增函数，
要使函数f(x)=lga(x3−ax)(a>0,a≠1)在区间(−12,0)内单调递增，
需使 t=x3−ax 在区间(−12,0)内内单调递增，
则需使t'=3x2−a≥0，对任意x∈(−120)恒成立 , 即a≤3x2对任意x∈(−12,0)恒成立；
因为x∈(−12,0)时，00，
令ℎ'x>0，解得或x>1，
令ℎ'x0在0,+∞上有解，
即f'xmax在0,+∞上成立，
而f'x的最大值为f'1=1+2a，
∴1+2a>0，
解得：a>−12.
【变式训练4-2-1】已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为( )
A．(−∞,2e−1e2 B． C．(−∞,2e−1e2) D．
【变式训练4-2-2】已知函数f(x)=12x2+2ax−lnx，若在区间13,2上存在单调递增区间”，求a的取值范围．
【变式训练4-2-3】已知函数fx=x3+ax2+bx+a2，当a=0若fx在区间−1,1上存在减区间，求b的取值范围.
【变式训练4-2-4】已知函数fx=lnx−ax2−2x（a∈R且a≠0）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【变式训练4-2-5】已知函数fx=ax−a−2lnxa∈R．
（Ⅰ）若函数fx在1,2上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（三）已知函数fx在区间D上不单调
【典型例题1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．m>1
【答案】B
【解析】由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
函数的定义域为，且，
令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：；故选：B.
【典型例题2】已知函数在区间1,2上不是单调函数，则m的取值范围是（ ）
A．−∞,−3B．−24,−3C．D．
【答案】C
【解析】f'(x)=3x2+mx=3x3+mx
当m≥0时，f'(x)>0，即函数fx在区间1,2上单调递增，不符合题意
当m0，即b>0.
故选：A.
【典型例题3】已知函数f(x)=ax3+3x2−x(x∈R)恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为
A．−3,+∞B．−3,0∪0,+∞
C．−∞,0∪0,3D．−3,+∞
【答案】B
【解析】f'(x)=3ax2+6x−1，∴f(x)有三个单调区间，∴a≠0Δ=36+12a>0，解得a>−3且a≠0．
故选B．
【变式训练4-4-1】已知y=13x3+bx2+b+6x+3在R上存在三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A．b≤−2或b≥3B．−2≤b≤3
C．−2e时，f'(x)0时，ex2>1，所以当x>0时，f'x=2xex2−sinx>2x−sinx，
令gx=2x−sinx，则g'x=2−csx>0恒成立，所以gx=2x−sinx在R上单调递增，
则当x>0时，gx=2x−sinx>g0=0，所以当x>0时，f'x>0，即f(x)=ex2+csx在区间0,+∞上单调递增，
因为，
又易知20.2>1，121，从而有当x>0时，f'x=2xex2−sinx>2x−sinx，构造函数gx=2x−sinx，利用导数与函数单调性间的关系，可得gx>0，即f(x)=ex2+csx在区间0,+∞上单调递增，即可求解.
【典型例题4】已知奇函数fx满足∀x∈R,f1−x=f1+x.当x∈0,1时，fx=x2+2csx−2,a=f100,b=f332,c=f792，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先证明4为fx的一个周期，可得a=f0,b=f12,c=−f12，再利用导数证明fx在0,1上单调递增，从而可得答案.
由奇函数满足f1−x=f1+x，得f−x=f2+x=−fx，
则fx+4=−fx+2=−−fx=fx，所以4为fx的一个周期，
则a=f100=f0,b=f332=f12,c=f792=f−12=−f12，
当x∈0,1时，fx=x2+2csx−2,f'x=2x−2sinx，令hx=2x−2sinx，
则h'x=2−2csx≥0，所以hx在0,1上单调递增，则hx≥h0=0,f'x≥0，
所以fx在0,1上单调递增，则f12>f0=0,c=−f12a>b B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c
【变式训练5-3】已知a=ln94e,b=ln1693e,c=ln25164e，则（ ）
A．ab
C．b>a>cD．a>b>c
【变式训练5-5】fx=3−x2−2csx，设a=2−0.5，b=33，c=lg132，则( )
A．fc>fa>fb B．fb>fa>fc C．fb>fc>fa D．fc>fb>fa
【变式训练5-6】(多选题)函数f(x)的导函数为，若当x∈0,π2时，f'(x)−tanx⋅f(x)fπ3 C．3fπ6>fπ3 D．2fπ4b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b
题型05:单调性的应用——构造函数解不等式
【典型例题1】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0，且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ）
A．−3,0∪3,+∞ B．−3,0∪0,3 C．−∞,−3∪3,+∞ D．−∞,−3∪0,3
【答案】A
【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当xg−1，因此x0的解集为−∞,−1，
故答案为：
【典型例题3】已知奇函数fx是定义在R上的可导函数，其导函数为f'x，当x>0时，有，则的解集为 ．
【答案】(−∞,−2022)
【解析】当x>0时，因为2fx+xf'x>x2>0，所以，
所以x2f(x)'>0，所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上为增函数，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以，
所以g(−x)=(−x)2f(−x)=−x2f(x)=−g(x)，且g(x)的定义域为R，关于原点对称，
所以g(x)也是定义在R上的奇函数，且g(0)=f(0)=0，
又因为g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以g(x)在R上为增函数，
由，得(x+2023)2fx+2023 k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=.
(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.
(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.
【典型例题1】已知fx为定义在R上的可导函数，f'x为其导函数，且fx0，所以g'x>0，
所以在R上单调递增，
则f2024e20240（其中f'x是函数fx的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．2f−π3>f−π4
C．2fπ3>fπ4D．f0>2fπ3
【变式训练7-2】定义在上的函数满足xf'(x)−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-2】已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x0时，xf'xlnyB．x+1yD．x2>y
【答案】A
【解析】首先构造函数fx=lnx+x+1，利用函数的单调性即可得到结果.
构造函数fx=lnx+x+1，定义域为0,+∞，
求导得f'x=1+1x=x+1x，当x>0时，f'x>0，函数fx单调递增；
又因为ex+1+x+2>y+1+lny，即fex+1>fy，
由函数的单调性得ex+1>y⇒x+1>lny，
故选：A
【典型例题2】已知，则（ ）
A．B．blna>1C．D．
【答案】C
【解析】当a∈0,1时，lnaa，即可判断选项D.
对于A选项，当a∈0,1时，lna0,b>0，由e1b=ab1+lna，
得，
令fx=xex，则f1b>flna，f'x=x+1ex，由f'x>0，
得x>−1，由f'xflna，得，即，
所以，选项C正确；
对于B选项，由C知，则即，所以B错误；
对于D选项，因为e1b>a,e1b=ab1+lna，
所以ab1+lna>a，得b1+lna>1，D错误.
故选：C．
【典型例题3】已知α,β∈−π2,π2，且αsinα−βsinββ2
【答案】B
【解析】构造函数fx=xsinx，通过其单调性和奇偶性即可求解；
构造函数fx=xsinx，易知其为偶函数，
f'x=sinx+xcsx，
当x∈−π2,0时，sinx0，
所以fx=xsinx在x∈−π2,0单调递减，x∈0,π2单调递增，又其为偶函数，
所以αsinα−βsinβe3
题型09：通过数值构造具体函数
【典型例题1】若a=22ln22,b=2ln2,c=3ln3，则（ ）
A．B．
C．D．b0且x≠1)，
则f'x=lnx−1(lnx)2，
当x∈0,1时，f'x0，所以fx在e,+∞上单调递增；
综上可知，fx=xlnx在0,1与1,e上单调递減，在e,+∞上单调递增.
所以b=2ln2=4ln4=f4>f3=3ln3=c.
又因为ey>zB．x>z>yC．D．
【答案】C
【解析】构造函数fx=lnx−2x，则有x=f32、y=f53、z=f2，结合导数计算可得其单调性，即可得解.
令fx=lnx−2x，则f'x=1x−12x=2−x2x，
则当x∈0,2时，f'x>0，当x∈2,+∞时，f'xb；
设，
f'(x)=−sinx+x>0，所以在单调递增，
故f14>f(0)=0，所以，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a
4sin14+cs14=17sin14+φ，其中φ∈0,π2，且sinφ=117,csφ=417
当4sin14+cs14=17时，14+φ=π2，及φ=π2−14
此时sin14=csφ=417，cs14=sinφ=117
故cs14=117b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x=0.25，则a=3132=1−0.2522，b=cs14≈1−0.2522+0.2544!，
c=4sin14=sin1414≈1−0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；设，f'(x)=−sinx+x>0，所以在单调递增，则f14>f(0)=0,所以，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈0,π2,sinx1，进而可求解.
易知a=ln1.011，
构造函数fx=ex−x+1，
求导f'x=ex−1，易知当x≥0时，f'x=ex−1≥0，fx单调递增；
所以f0.01=e0.01−0.01+1>f0=0，
所以c>b>1，
所以，
故选：A
【典型例题3】已知a=ln109，b=19，c=e−89，则（ ）
A．B．C．D．b0，单调递增，
当x∈(1,+∞)时，，单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，所以f(x)≤0，
当且仅当x=1时取等号，则当x=109时，f109=ln109−109+1a
一、选填题
1．函数f(x)=−lnx+2x2的单调递增区间是（ ）
A．−12,0和12,+∞B．−∞,−12∪12,+∞
C．D．12,+∞
2．若函数在−6,−4上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．−16,+∞D．−∞,−16
3．已知a=2e,b=1eln2,c=454e（其中e为自然对数的底数），则a,b,c的大小关系为（ ）
A．B．bbB．a>b>cC．b>c>aD．c>b>a
5．若0b>cC．b>c>aD．a>c>b
10．已知a=0.02，b=e−0.96，c=ln1.03，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>cB．b>c>a
C．c>a>bD．a>b>c
11．已知a=ln22,b=ln36,c=12e，则a,b,c的大小为（ ）
A．b>c>aB．a>b>cC．b>a>cD．c>b>a
12.(多选)设函数，则( )
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
13.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为( )．
A．B．eC．D．
14.设，若函数在上递增，则a的取值范围是 .
二、解答题
1.已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
2.已知函数．
(1)讨论的单调性；
3.已知函数．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
4.已知函数
(2)设，讨论函数在上的单调性；
5.设函数．
(1)求的单调区间；
6.已知函数.
(1)讨论的单调性；
7.已知函数．
(1)讨论的单调性；
8.已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
9.已知函数．
(1)讨论的单调性；
10.设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
11.已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
12.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
13.已知函数fx=x2−x+alnx−2x，(a∈R)．
(1)若函数y=fx的图象在x=e处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)讨论fx的单调性．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f'(x)>0
f(x)在(a，b)上单调递增
f'(x)0在(a，b)上恒成立
单调递减
f'(x)0在(a，b)上有解
存在单调递减区间
f'(x)