新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第03讲 曲线的切线方程（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第03讲 曲线的切线方程（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考查频率与题型， 考查内容范围， 命题趋势等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21123" 思维导图 PAGEREF _Tc21123 \h 2
\l "_Tc31623" 高考分析 PAGEREF _Tc31623 \h 2
\l "_Tc26241" 学习目标 PAGEREF _Tc26241 \h 2
\l "_Tc4274" 知识要点 PAGEREF _Tc4274 \h 3
\l "_Tc14641" 解题策略 PAGEREF _Tc14641 \h 4
\l "_Tc20782" 题型归纳 PAGEREF _Tc20782 \h 5
\l "_Tc186" 题型01：导数与切线斜率的关系 PAGEREF _Tc186 \h 5
\l "_Tc18370" 题型02：曲线在某点处的切线问题 PAGEREF _Tc18370 \h 10
\l "_Tc32020" （一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标 PAGEREF _Tc32020 \h 10
\l "_Tc23434" （二） 已知切点和切线斜率，求曲线 PAGEREF _Tc23434 \h 11
\l "_Tc11218" （三）已知曲线和切点，求切线方程 PAGEREF _Tc11218 \h 13
\l "_Tc816" 题型03：过点P的切线（此类题目点P不一定为切点，需要设切点为） PAGEREF _Tc816 \h 22
\l "_Tc17126" 题型04：已知切线求参数问题 PAGEREF _Tc17126 \h 32
\l "_Tc5888" 题型05：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围） PAGEREF _Tc5888 \h 38
\l "_Tc29422" 题型06：公切线问题 PAGEREF _Tc29422 \h 59
\l "_Tc24735" 题型07：切线平行、垂直、重合问题 PAGEREF _Tc24735 \h 79
\l "_Tc13455" 题型08： 切线倾斜角取值范围 PAGEREF _Tc13455 \h 90
\l "_Tc15718" 题型09： 满足条件的切线是否存在 PAGEREF _Tc15718 \h 92
\l "_Tc16860" 题型10：与切线相关的最值问题 PAGEREF _Tc16860 \h 98
1. 考查频率与题型
属于高考数学高频考点，在全国卷及各省市自主命题卷中均有涉及，可出现在选择题、填空题（基础或中档难度，分值5分），也常与函数单调性、极值最值、不等式证明结合出现在解答题（多为第1问，分值4-6分）。
2. 考查内容范围
① 核心是导数的几何意义：函数y=f(x)在点x_0处的导数f'(x_0)就是曲线在点P(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
②常考曲线类型：基本初等函数（幂、指、对、三角）的曲线、含参函数曲线、隐函数曲线（如圆、椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线问题，可结合导数或几何性质求解）。
③拓展考点：过点切线问题（点不在曲线上的情况）、切线方程的应用（如求切线与坐标轴围成的图形面积、切线的条数问题）。
3. 命题趋势
近年高考更注重综合性与应用性，切线方程常与函数的极值、最值、零点问题，以及不等式、解析几何知识交汇命题；同时增加对含参问题的考查，侧重分类讨论思想和数形结合思想的运用。
1. 知识目标
①深刻理解导数的几何意义，明确“切线斜率”与“导数”的等价关系。
②熟练掌握曲线在某点处切线方程和过某点的曲线切线方程的求解步骤。
③掌握隐函数求切线的方法，能结合圆锥曲线的几何性质解决切线问题。
2. 能力目标
① 能快速识别切线问题的类型（在点处/过点），选择对应的解题方法。
②具备处理含参切线问题的能力，能通过分类讨论、数形结合分析参数的取值范围。
③能够将切线方程与函数、不等式等知识结合，解决综合性问题。
3. 素养目标
①培养数学抽象素养，理解导数几何意义的本质；提升数学运算素养，熟练完成求导、解方程等运算。
②强化数形结合与分类讨论的数学思想，提升分析和解决综合问题的能力。
用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
知识点一：导数的几何意义：
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即（为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为
y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注：曲线在点处的切线是指P为切点，斜率为的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。
知识点二：求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
已知切点，求y＝f (x)过点P的切线方程
求曲线在处切线的步骤：
◆先求，即曲线在处切线的斜率．
◆再求，则切线过点；
◆最后由点斜式写出直线方程：．
特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：．
（2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．
解题策略
1. 核心题型1：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程
◦ 步骤1：求导函数f'(x)；
◦ 步骤2：计算切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤3：代入点斜式y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，整理为一般式或斜截式。
◦ 注意：此情况中点P一定在曲线上，切线唯一。
2. 核心题型2：过点Q(x1,y1)作曲线y=f(x)的切线方程（点Q不一定在曲线上）
◦ 步骤1：设切点为P(x0,f(x0))，求导得切线斜率k=f'(x0)；
◦ 步骤2：根据点斜式写出切线方程y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)；
◦ 步骤3：将点Q(x1,y1)代入切线方程，得到关于x0的方程，解方程求出x0；
◦ 步骤4：将xx0_0的值代回切线方程，得到所有满足条件的切线方程。
◦ 注意：方程解的个数对应切线的条数，需检验解的合理性。
3. 核心题型3：隐函数（如F(x,y)=0）的切线方程
◦ 方法：利用隐函数求导法则，两边对x求导（把y看作x的函数），解出y'，再按照“在点处切线”的步骤求解；对于圆、椭圆等圆锥曲线，也可利用其几何性质（如圆心到切线的距离等于半径）求解。
题型01：导数与切线斜率的关系
【典型例题1】函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
【典型例题2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由导数的几何意义判断
由图象可知在上单调递增，，
故，即
故选：B
【变式训练1-1】（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选：AB
【变式训练1-2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
由图知：，即.
故选：A
【变式训练1-3】曲线在处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
，故曲线在处切线的斜率为.
故选：D
【变式训练1-4】函数在处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故选：.
【变式训练1-5】曲线在点处的切线的斜率为____________．
【答案】2
【解析】由导数几何意义即可求.
，∴所求切线斜率为2.
故答案为：2
【变式训练1-6】如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
【答案】
【解析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.
由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，
又由直线是曲线在点处的切线，则，
所以．
故答案为：
题型02：曲线在某点处的切线问题
（一）已知曲线和切线斜率，求切点坐标
【典型例题】已知曲线上过切点的一条切线的斜率为1，则___________.
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，由即可解出．
因为，所以，由题意可知，，解得或（舍去）．
故答案为：．
【变式训练2-1-1】已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（ ）
A．7B．C．D．4
【答案】C
【解析】求出导函数代入-1可得切线的斜率，计算出可得切点，从而得到切线方程，利用切线与y轴的交点可得可得答案.
因为，所以，
，所以切点为，
切线方程为，令，则，
所以，解得，所以切点的纵坐标为.
故选：C.
【变式训练2-1-2】直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】设切点为，利用导数的几何意义求解即可.
设切点为，，
又，
，解得：
故答案为：
已知切点和切线或切线斜率，求曲线
【典型例题】设曲线在点处的切线方程为，则___________.
【答案】
【解析】求导，根据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率.
所以函数在处的导函数值为，根据导数几何意义可得
故答案为：
【变式训练2-2-1】已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______.
【答案】3
【解析】求出，根据即可求解.
由已知得，
因为，所以.
故答案为：3.
【变式训练2-2-2】若函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．0C．－1D．e
【答案】B
【解析】求导得到，再利用，求出的值.
因为，所以，故
又，所以．
故选：B
【变式训练2-2-3】已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（ ）
A．2B．1C．0D．﹣2
【答案】C
【检查】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
解：函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
因为在点处的切线方程是，
所以，，
解得，，
所以
故选：C.
【变式训练2-2-4】曲线的一条切线的斜率为（为自然对数的底数），该切线的方程为 ____．
【答案】
【解析】求导计算得切点坐标为，根据点斜式解决即可.
由题知，，
所以，
当时，，此时，
所以切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
（三）已知曲线和切点，求切线方程
【典型例题1】设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程.
因为，所以，所以，
即在处切线方程的斜率为，
又因为，所以切线方程为，整理得，
故选：B
【典型例题2】设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程
，函数为奇函数，有，即，
故，即，
所以，所以，，，
所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：.
故选：A.
【典型例题3】已知函数，其中为自然对数的底数，则曲线在处的切线方程为__________.
【答案】.
【解析】求解导函数，计算与的值，再利用直线点斜式写出切线方程即可.
求导可得，则，又，
则曲线在处的切线方程为，
整理得.
故答案为：.
【典型例题4】已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___．
【答案】
【解析】由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求、，写出切线方程即可.
若，则，由是偶函数，得，
∴时，，而此时的，即，
∴曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
【变式训练2-3-1】函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】利用导数的几何意义即可求解.
由，得，
在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：A.
【变式训练2-3-3】已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【变式训练2-3-2】直线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】直线与曲线相切于点,
可得求得的导数,可得,即可求得答案.
直线与曲线相切于点
将代入可得:
解得:


由,解得:.
可得,
根据在上
,解得:
故选:.
【变式训练2-3-4】已知，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将换成，与原式联立得到，利用换元法求出函数的解析式，进而写出的解析式，从而求得切线方程.
因为①，
将换成，得②，
，得
，
令，，
则，故，
故，
则，
所以，，
故切点为，切线斜率为，故切线方程为.
故选：C.
【变式训练2-3-5】已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
【变式训练2-3-6】曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
【变式训练2-3-7】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则
又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.故选：B.
【变式训练2-3-8】曲线在点处的切线方程为kx−y+6=0，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
【变式训练2-3-9】已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令先求出的值，再利用函数关于原点对称可求出,再利用导函数的几何意义即可求出在处的切线方程.
由题意知：.
所以;
令，则.
所以.
又函数图像关于原点对称，即.
所以当时，.
所以当时，.
,;
所以在处的切线方程为：.
故选：A.
【变式训练2-3-10】已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】.
【解析】根据导数的定义可求出，根据导数的几何意义，可得，进而求出切线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
，
根据导数的概念可得，
，
所以，则，
根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线的方程为，即．
令，得；令，得．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为与，所以所求三角形的面积．
【变式训练2-3-11】曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.
，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以方程为，
故答案为：
【变式训练2-3-12】函数在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】先求出的导数，再求出切点处的函数值和导数值，最后结合直线的点斜式方程求得切线方程.
由已知得，
所以，，
故切线方程为，
即，
故答案为：.
【变式训练2-3-13】若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝ ．
【答案】-1
【解析】先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.
由题可知，则．
又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得．
故答案为：-1.
【变式训练2-3-14】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
【变式训练2-3-15】曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
题型03：过点P的切线（此类题目点P不一定为切点，需要设切点为）
【典型例题1】函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程.
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
【典型例题2】若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
【典型例题3】过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】可设切点的坐标为 , 求出函数的导数, 由导数的几何意义可得切线的斜率，又由切线经过原点，从而可得切线方程，将切点代入即可解可得的值，从而得出答案.
由题意得，设切点的坐标为，的导数，
则有，即切线的斜率，
又因为切线经过原点，设切线方程为，
将切点代入得，化简得，所以.
故答案为：.
【典型例题4】过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【解析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
时，，设切点，
则，
切线过，
，
，
时，，切点，
，
切线过，
，
，
故.
故答案为：.
【变式训练3-1】过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率.因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
【变式训练3-2】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【解析】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线.
由，得为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．
当时，，则，
设切点为，故，解得或（舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为．
由对称性知：另一条切线方程为．
故选：A
【变式训练3-3】直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．2B．-2C．-1D．1
【答案】D
【解析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.
，设切点，由，
所以，代入，得．
故选：D.
【变式训练3-4】曲线过点的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
【变式训练3-5】过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
=ln x+1，
设切点为，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【变式训练3-6】已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
【变式训练3-7】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 y=1ex y=−1ex
【解析】分x>0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】（1）先由切线方程求出，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为，，利用分离参数法求出，，
构造函数，利用导数判断出F（x）的单调性和最大值，即可求得.
（1）
由得，又，
所以在x=1处切线方程为，代入（3，3）得
所以，
，
由得，由得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）
设公切线与两曲线的切点为，，易知，
由，
，
所以，
由，故，所以，故，
所以，，
构造函数，问题等价于直线y=a与曲线y=F（x）在x>1时有且只有一个交点，
，当时，F（x）单调递增；当时，F（x）单调递减；
的最大值为，，当x→+∞时，F（x）→0，．
题型07：切线平行、垂直、重合问题
【典型例题1】函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
故选：B．
【典型例题2】对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
【典型例题3】若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，④正确.
解：由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误，④正确.
故选：C
【变式训练7-1】已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.
【变式训练7-2】已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】B
【解析】求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
【变式训练7-3】函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若满足特性，即在两点处切线斜率乘积为，利用导数的几何意义即可判断选项.
设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，
对A，，则，故A不正确；
对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；
对C，，则，故C不正确；
对D，，则，故D不正确，
故选：B
【变式训练7-4】若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解.
因为，所以，
因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数在和的切线互相垂直，
则，即①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
【变式训练7-5】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．－4B．－3C．4D．3
【答案】D
【解析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.
因为，所以，
当时，，
所以曲线在点处的切线的斜率等于3，
所以直线的斜率等于，
即，解得，
故选:D.
【变式训练7-6】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.
由得，故，
由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，故选：C
【变式训练7-7】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．故选：B
【变式训练7-8】若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】求出导数，由两直线垂直的条件，可得有实数解，运用判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．
的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
【变式训练7-9】（多选）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将带入求解出的中进行求解判断，选项D，根据求解出的结合直线方程的斜率，利用在处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出的值.
选项A，已知曲线，所以，故该选项错误；
选项B，已知曲线，所以，故该选项正确；
选项C，因为，所以，故该选项正确；
选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确；
故选：BCD.
【变式训练7-10】若曲线在处的切线平行于x轴，则实数_____________．
【答案】1
【解析】先求出函数的导数，再由题意知在处的导数值为0，列出方程求出a的值．
由题意得的导数为，
∵在点处的切线平行于x轴，即切线斜率为，
∴，得，
故答案为：1．
【变式训练7-11】若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对函数求导，进而求出，由导数的几何意义，构造方程解.
由函数得，
，所以，
直线的斜率，
因为函数的图像在点处的切线与直线平行，
由导数的几何意义得，即，所以.
故选：A.
【变式训练7-12】若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
【答案】
【解析】先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案.
已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
【变式训练7-13】已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ．
【答案】
【解析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围.
解：由题意，则
不妨设，点和点，两切线的斜率分别为，
∴，∴，
∴等价于，
等价于或
解得，或．故a的范围是．
故答案为：.
【变式训练7-14】二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 .
【答案】
【解析】根据交点处切线垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.
解：设该交点为，
因为，则，
因为，则，
因为两函数在交点处切线互相垂直，
所以，，
分别化简得，，
上述两式相加得，又，
其中，
当且仅当，且即时取等号.
故所求最小值为，
故答案为：.
【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题.
【变式训练7-15】已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】直接根据导数的几何意义即可得结果.
两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，
例如，，，，
此时，，
函数在处的切线方程为：；
函数在处的切线方程为：；合乎题意，
故答案为：（答案不唯一）
题型08： 切线倾斜角取值范围
【典型例题1】曲线，在点处的切线的倾斜角为____________.
【答案】
【解析】对所给曲线求导代入，得到在处的导数值，进而得到斜率，得倾斜角的正切值，得答案.
对求导得，，
当时，，
由导数的几何意义，在点处的切线的斜率为，
即，所以.
故答案为：.
【典型例题2】函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．.
【答案】D
【解析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值．
因为，
所以，
当时，，此时，
∴．
故选：D.
【变式训练8-1】设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
【答案】
【解析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
由已知得，
由得．
故答案为：．
【变式训练8-2】已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．
【答案】
【解析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围
函数的导数为．
因为，所以，
所以，即；因为，所以，即．
【变式训练8-3】设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
【答案】
【解析】先求出函数的导数，根据函数导数的几何意义，可求得斜率，进而求得倾斜角的范围.
设直线的倾斜角为
故答案为：
【变式训练8-4】设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
题型09： 满足条件的切线是否存在
【典型例题1】若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由在有解求解.
解：由题意，在有解，
则在有解，
因为在上单调增，
所以，
则，
故选：C．
【典型例题2】若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为 .
【答案】3
【解析】首先求导，根据题意得到在有解，再设，，根据求解即可.
，
因为曲线存在与直线平行的切线，
所以在有解.即在有解.
设，，
则，
当且仅当，即时等号成立，即.
所以，即的最大值为.
故答案为：3
【典型例题3】已知函数．
(1)若m＝－4，求的极值．
(2)是否存在非零实数m，使得直线与曲线相切？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)极小值为－27，无极大值；
(2)存在；.
【解析】（1）若m＝－4，则．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
故在处取得极小值，且极小值为－27，无极大值．
（2）假设存在非零实数m，使得直线与曲线相切，且切点的横坐标为t，
因为，所以
将（*）代入（**），得，整理得t＝0或．
依题意可得t≠0，所以，代入（*），得或m＝0（舍去），
故存在非零实数m，使得直线与曲线相切，且．
【变式训练9-1】函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由导数的几何意义求解即可.
设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，
当时，，故不存在；
当时，满足：.
所以：.
故选：C.
【变式训练9-2】已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据切点求出a值，再求导求出在点处的切线斜率，由此得到与之切线垂直的直线斜率，最后对曲线求导，根据题意列式计算即可.
将点代入曲线，解得，
对曲线求导得，点处的切线斜率为，故与垂直的切线斜率为，
对曲线求导得，若曲线上至多存在一条与垂直的切线，即至多一个解，由此可得，解得.
故选：A
【变式训练9-3】已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为 ．
【答案】
【解析】第一步：设函数，分别求出的导函数；第二步：根据导数的几何意义列方程组；第三步：解方程组即可得解.
第一步：设函数，分别求出的导函数
设函数，则．
第二步：根据导数的几何意义列方程组
设两曲线的公共点坐标为，由题意得即
第三步：解方程组即可得解
由得，则，得，解得，故的值为．
故答案为：
【变式训练9-4】已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)试问曲线是否存在经过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，说明你的理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）求导得到导函数，讨论，，，四种情况，根据导函数的正负确定单调性.
（2）假设存在，根据切线性质得到，解得答案.
（1），，所以的根为，．
①当时，
当时，，函数单调递减；
当和时，，函数单调递增．
②当时，，在上单调递减．
③当时，，
当时，，函数单调递增；
当和时，，函数单调递减．
④当时，，
当时，，函数单调递增；
当和时，，函数单调递减．
综上所述：
①当时，在上单调递减；在和上单调递增.
②当时，在上单调递减．
③当时，在上数单调递增；在和上单调递减．
④当时，在上单调递增；在和上单调递减．
（2）假设存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，设切点的横坐标为m，斜率为k，
则，消去k，得，解得或．
当时，，不成立；
当，即时，．
综上所述：
当时，曲线不存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，
当且时，曲线存在经过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为．
题型10：与切线相关的最值问题
【典型例题1】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
【典型例题2】动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
【典型例题3】已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【解析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直线的距离最小.
解：由题意知，曲线，，令，得（舍），所以函数在上单调递减，在上单调递增，如下图所示，为曲线与直线在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线平行时，此时曲线上的点P到直线的距离最小.设，则，则，解得（舍去），所以.
故答案为：
【典型例题4】已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可.
函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为，
当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，
所以直线的方程为，
因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为，
故答案为：
【变式训练10-1】已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A．B．C．D．，
【答案】C
【解析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
【变式训练10-2】曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由题意可知曲线上的点到直线的最短距离即与平行的切线的切点到直线的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，
故选：A．
【变式训练10-3】已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本不等式即可求解.
函数，
，
，，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，
由于点P在直线l上，则且，即，
则
，当且仅当，即时取等号；
故选：C.
【变式训练10-4】已知直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．3
【答案】A
【解析】对曲线求导，求出其在处的切线方程，从而得到了切线中的关系，然后将所求进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.
设直线与曲线相切于点，
当时，直线不是曲线的切线，故，
由得，所以切线方程为，即，
所以，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：A
【变式训练10-5】若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】根据、图象分析最小时P的位置，利用导数几何意义求上斜率为1的切线，应用平行线距离公式求的最小值.
由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，
令，可得，故切点为，
以为切点平行于的切线为，此时有.
故选：A
【变式训练10-6】已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于为函数图象上任意一点，关于直线的对称点为在的图象上，所以函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，然后利用导求出与直线平行，且与曲线相切的直线，从而可求得答案
设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
设，，则，，所以，
所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.
函数在点处的切线斜率为，令得,，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故选：A
【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，属于较难题
【变式训练10-7】实数，，，满足：，，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．8
【答案】D
【解析】由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.
由，则，又，
的最小值转化为：
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，
与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：.
故选：D.
【变式训练10-8】在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线上，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】将问题转化为计算曲线上的点到直线的最短距离，由导数的几何意义求得即可.
设直线 与曲线 相切于点 ，
所以 ，则 ，因为 解得 ，即则，
故曲线 与直线 的最短距离为点 到直线的距离，
所以
故选：C
【变式训练10-9】已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】B
【解析】设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，设与直线垂直，且与相切的直线为，切点为，进而根据导数的几何意义求得坐标得，即可得直线与直线重合时最小，再求距离即可.
解：设与直线垂直，且与相切的直线为，
设与直线垂直，且与相切的直线为，
所以，，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
此时，
所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.
故选：B
【变式训练10-10】已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可.
因为，所以，
依题意可得，
所以,
所以且，或且，
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.
故选：B
【变式训练10-11】点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式训练10-12】设，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求图像上的动点与图像上的动点最小距离，利用与关于的对称性，分别求出切点，则即为所求最小值.
由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，
而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，
所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，
显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
所以，所以题设式子的最小值为.
故答案为：.
【变式训练10-13】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】根据与互为反函数，的最小值为P或Q中一个点到的最短距离的两倍，求其最小值即可得出答案.
由，得：，.
所以与互为反函数．
则它们的图象关于对称．
要使的距离最小，则线段垂直直线.
点在曲线上，点Q在曲线上，
设，.
又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线的最短距离
所以当，即时，d取得最小值，
则的最小值等于.
故答案为：
【变式训练10-14】已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【答案】
【解析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.

由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
【变式训练10-15】已知函数，若且，则最小值是 ．
【答案】/
【解析】根据题意，求导得到与相切并且与平行的直线方程，然后代入计算，即可得到结果.

由得，令得，得切点坐标，
则可得切线方程为，即，
再令，得，于是符合题意的，因此：．
故答案为：.
减
极小值
增
极大值
减