新高考数学二轮复习重难点高分突破训练05 函数的基本性质及导数综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点高分突破训练05 函数的基本性质及导数综合（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了如果函数在区间上,恒成立,则或等内容，欢迎下载使用。

周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
导函数与原函数的关系
单调递增，单调递减
极值
极值的定义
在处先↗后↘，在处取得极大值
在处先↘后↗，在处取得极小值
极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
能成立（有解）问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心 "" \t "" 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心 "" \t "" 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
常见的指对放缩
，，，
常见的三角函数放缩
其他放缩
，，
，，
，
，
常见函数的泰勒展开式
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
常见函数的泰勒展开式的结论
结论1 ．结论2 ．结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；结论7 结论8 ．结论9 ．
拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】D
【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案.
【详解】设直线与相切于，
则直线：，
直线与相切于，
则直线：，
因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故，
则.
令，，
则在单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，于是有，
即.
故选：D.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，进而得即可判断A，由猜想，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由，利用即可判断C.
【详解】由题意有，得，所以，故A错误；
因为
，，由有，
所以，，
猜想，当时，显然成立，
假设时，猜想成立，即，当时，，即成立，所以，
所以，故D正确，B错误，
当时，，所以有，又，所以，
，
，故C错误.
故选：D.
3．（2025·海南三亚·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极小值
C．若，则函数有且仅有零点
D．若，则
【答案】C
【分析】取，利用导数的几何意义可判断A选项；对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断B选项；参变分离得出，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；证明出，结合不等式的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，，则，
所以，曲线在处的切线方程为，A错；
对于B选项，，该函数的定义域为，，
当时，对任意的恒成立，此时函数在上为增函数，无极值；
当时，由可得，由可得，
此时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，函数有极大值点，无极小值点，B错；
对于C选项，由可得，
令，所以，直线与函数的图象有两个交点.
，由得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
函数的极大值为，当时，；当时，.
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
此时函数有且仅有个零点，C对；
对于D选项，令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，，即，
当时，，可得，
即，D错.
故选：C
4．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先得到为奇函数且单调递减，问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，令，求导得到其单调性和极值情况，从而得到的取值范围为.
【详解】的定义域为R，且，
所以是奇函数，
有三个零点等价于
方程有三个不相等的实数根，
又是奇函数，可得，
，可知单调递减，所以有，即，
所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
由，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以的极大值为，极小值为，
∴的取值范围为.
故选：A
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称B．为的一个周期
C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确；
又因为，所以，所以，即，
所以，所以，故B正确；
在中，令，得，所以，故C错误；
因为，所以，所以，所以，，
故，故D正确．
故选：C
6．（2025·江苏·模拟预测）已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ）
A．不可能是增函数B．不可能是偶函数
C．D．
【答案】D
【分析】设，，可判断A，C；设，，可判断B；分，，可判断D.
【详解】设，，则，
所以在上单调递增，且，故A，C错误；
设，，则，此时为偶函数，故B错误；
对于D：对任意，
若，则，即.
由题意可知，
所以，，
所以， .
所以；
若，上式也成立，故D正确.
故选：D
7．（2025·广东·模拟预测）已知函数，若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出和的值，从而得到，由通过分离参数得到，构造函数，利用导数法求得的最小值，从而得解.
【详解】令，则，解得.
令，则，解得，
则.故，即，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则的最小值为，故，故.
故选：D.
8．（2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案．
【详解】由，，知
故，
即
即
令则上述式子即为
由于，且，
故在是单调递增函数，
故由可得
即，令，
，
由，得，
当时，，
当时，，
故，，且当时，恒成立，
由此可得出的大致图象如下：
由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，
由图可得：．
故选：C．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围.
【详解】由得，即，
即.
设，则，
因为，所以在上单调递增，所以，即，
设，则，
当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，
所以，所以.
故选：C.
10．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，
即，，又，，即；
令，则，
令，则，在上单调递减，
，在上单调递减，
，即，；
综上所述：.
故选：C.
二、多选题
11．（2025·辽宁鞍山·一模）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．仅存在一个零点
C．在处取得极大值D．图象对称中心为
【答案】AB
【分析】根据题意，利用赋值法建立方程组可求的解析式判断A，代入可得，然后求导分析零点及极值可确定BC，利用定义域不对称可直接判断D.
【详解】，①，
②，③，
得，故A正确；
又，则，
故，
，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为函数在处无定义，故在处不能取得极大值，C错误；
在处取得极小值，，又,所以仅存在一个零点，故B正确；
对于D，，定义域很明显不关于对称，故D错误.
故选：AB.
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则（ ）
A．当在上单调递增时，
B．当时，为曲线的切线
C．点是曲线的对称中心
D．当时，的极大值点
【答案】BCD
【分析】根据函数的单调性，结合，即可判断A，根据导数的几何意义，判断B，根据的值，判断C，求函数的极大值点，即可判断D.
【详解】A. 若在上单调递增时，则，故A错误；
B. 当时，，，得，此时，
那么曲线在处的切线方程为，故B正确；
C.，所以曲线的对称中心为，故C正确；
D. ，，得，
若，得或，，得，
所以函数的增区间是和，减区间是，
所以函数的极大值点，，故D正确.
故选：BCD
13．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】ABD
【分析】先求导函数的极值点，再代入原函数得，化简可得，可判断A选项；根据极值存在条件可得，可判断B选项；由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即，可判断C选项；由A选项得，结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故，A对；
对于B选项，因为有极值，故有两相异实根，
由得，且，得.
此时有两个相异的实根，.
列表如下
故的极值点是、，从而，B对；
对于C选项，由A选项知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即，则，C错；
对于D选项，由A选项可知，D对.
故选：ABD.
14．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若，则B．可以有2个极值点
C．若，则是增函数D．若有两个零点，则
【答案】ACD
【分析】A由，设，设并应用导数研究不等式判断；B对函数求导，构造，应用导数研究其零点判断；C由函数单调递增，有恒成立，结合其单调性判断；D令且，问题化为有两个解，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.
【详解】由于，则，
设，设，则，
所以时，，此时单调递减；时，，此时单调递增，
所以，即，故A正确；
由于，设，
则，
所以，在上单调递增，即不可能有2个解，
所以不可能有2个极值点，故B错误；
若是增函数，则，即恒成立，
由上知是增函数，又，只需，故C正确；
有两个零点，即有两个不同的解，
令且，则，故在上为增函数且，
故原方程有两个解转化为有两个解，易知，即有两个解，
设，则，当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
由于，，所以，即，故D正确．
故选：ACD
15．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．4是的一个周期
C．D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得、、判断A、B、D；利用周期性求函数值判断C；
【详解】因为为偶函数，所以，则，
而，故，所以，
又为偶函数，所以，即，
所以，故，且，
所以，则4是的周期，故B正确．
A：由两边求导得，
令得，解得，A正确；
C：由上知，令，则，
则，C错误；
D，因为，，则，
所以，则的图象关于对称，D正确．
故选：ABD
16．（2025·广东广州·模拟预测）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用导数求得，结合且，，再由导数研究的区间单调性，进而，即可得.
【详解】令且，则恒成立，
所以在上单调递减，则，即，
因为且，，
而，
所以，
设且，则，所以在单调递减，
由，得，则，所以.
故选：BC
17．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若是的极小值点，则在上单调递减
B．若存在极值点，且（其中），则
C．若，过点作函数的切线最多有2条
D．若在上的最大值为，则的最小值为2
【答案】BD
【分析】对函数求导，分析导数的变号零点即可得到A选项；确定极值点，根据，因式分解即可得到B选项；求导写出切线方程，代入点化简求导即可得到C；根据最大值的定义，求出边界值，即可得到D.
【详解】由题，因为是的极小值点，
所以,则或，
当时，，则函数无极值点；
当时，得或，
则函数在上单调递增，故A错误；
若存在极值点，则，又（其中），
所以，所以，
所以，故B正确；
若，设切点为，则切线方程为,
因为过点，所以，
即，令，则，
所以，而，
所以有三个零点，即切线最多有条，故C错误；
若在上的最大值为，
则，
，因为，
所以
所以，故D正确.
故选：BD.
18．（2025·陕西西安·一模）已知函数，其中，且当时，，则（ ）
A．
B．是的极小值点
C．若关于的方程有3个不同的实数根，则
D．若对任意都有，则
【答案】ABC
【分析】对于A选项，分情况讨论和两种情况即可；对于B选项，结合A选项的结果，对求导后即可求得结果；对于C选项，根据B选项求得的极值结果，分析即可得出答案；对于D选项，求出的表达式，分情况讨论、、三种情况即可．
【详解】对于A，当时，，又因为当时，，所以此时，对恒成立，故，
当时，，同样因为当时，，所以此时，
对恒成立，故，
所以，即，故A正确；
对于B，由选项A可知，对求导，
，
令，即，解得或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以为的极小值点，故B正确；
对于C，由选项B可知，为的极大值点，为的极小值点，
又，，
要使方程有个不同的实数根，则，即，也即，因为，解得，故C正确；
对于D，，
则，
由题意可知恒成立，
显然当时，成立，
显然当时，当，，故不恒成立，
所以当时，即恒成立，
所以，
解得或，故D错误。
故选：ABC．
19．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．曲线关于直线对称B．的极大值为
C．存在，D．有最小值，无最大值
【答案】ABD
【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；令，可得出，利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，
所以曲线关于直线对称，A对；
对于B选项，因为，
则，
由可得或，
由可得或，
所以函数的减区间为、，增区间为、，
所以函数的极大值为，B对；
对于C选项，当时，，
因为在上是减函数，所以，C错；
对于D选项，令，则，
设，其中，则，当且仅当时，等号成立，
故函数在上只有最小值，无最大值，
故函数有最小值，无最大值，D对.
故选：ABD.
20．（2025·山东·模拟预测）设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．在上单调递减
C．D．在区间上有3543个零点
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性，结合伸缩平移变换，确定函数的奇偶性判断A；利用导数研究的单调性，结合奇函数性质判断B；利用对称性确定函数的周期性，判断C、D.
【详解】A选项：因为的图象关于直线对称，
所以将得图像向右平移个单位，
得，该函数图像关于轴对称，
将的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍得，
图像关于轴对称，因此为偶函数，A错误.
B选项：由题意知时，，
令，
在恒成立，所以单调递减，
又，所以时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；
D选项：因为为偶函数，所以关于对称，
故，
又有是奇函数，所以，
所以，即是周期为的周期函数，
因为，结合单调性和关于对称可得，
在区间上有2个零点，且是定义域为R的奇函数，所以有，
因此在区间上有3个零点，
所以在区间上有个零点，D错误；
C选项：，，
，，
所以，
所以，C正确.
故选：BC.
三、填空题
21．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解.
【详解】因为,
所以，即，
整理得．
因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解.
令，
则函数与的图象有两个交点.
①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意；
②当时，易知，且，
令,得,
，令,
得,
若与的图象有两个交点，需满足，解得．
③当时，易知．
由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
22．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】由得出关于对称，根据时的表达式结合对称性作出的图象，分，，三种情况讨论与的交点情况，并利用交点数恰好为得出对应的实数的范围，从而求解．
【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线，
由时，，作出与的图象如下图所示，
当时，函数是过定点，开口向上的折线，
如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点，
设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为，
所以，解得，满足条件，所以；
当时，函数与的交点情况如下图所示，
所以时，函数与的图象有个交点，满足条件；
当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示，
此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件；
综上所述，实数的取值范围是或，
故答案为：或.
23．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
【答案】
【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可.
【详解】因为不等式恒成立，，
所以恒成立，则恒成立，
即恒成立，令，可得恒成立，
而，令，，令，，
得到在上单调递增，在上单调递减，
而，，则，
当时，满足，符合题意，
当时，可得恒成立，
则恒成立，令，而，
当时，，则在上单调递增，
可得，得到，故.
综上，正数的取值范围是,
故答案为：
24．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 .
【答案】
【分析】由函数解析式可得该函数关于对称，且在上单调递增，则只需比较、与与的差的绝对值的大小即可得.
【详解】，
则，
又定义域为，故关于对称，
当时，由，
由、都在上单调递增，
且在上单调递增，故在上单调递增；
由，，则，故，故，
又，故；
令，则，故在上单调递增，
则，则，
又，故，
由，则，即；
故有，
则，
即，即，，三个数中最大的是，最小的是.
故答案为：，.
25．（2025·浙江温州·一模）已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用导数的几何意义，求出切线方程为，进而可得，结合条件，利用裂项相消法得对任意的恒成立，即可求解.
【详解】因为，则，所以，
所以在点处的切线方程为，
令，得到，所以，
则，
所以，
由对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，又，易知，
所以，
故答案为：.
26．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】转化为恒成立，设，求出其值域，则得到关于的不等式组，从而得到.
【详解】因为对任意的，不等式恒成立，
所以恒成立．
令函数，因为在上均单调递增，
则在上单调递增，
则，即，
则，又，
因为，
所以．
故答案为：.
27．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解.
【详解】因为，所以，
所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解，
即当时，有三个不同的解.
，令，
当时，，且.
当时，，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，当时，，
在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图：
由图知：
当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意；
当时，的图象与直线有三个交点，符合题意；
当时，的图象与直线有三个交点，符合题意；
当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意；
当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意.
综上，.
故答案为：.
28．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值.
【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入，
得到切线的斜率，则切线方程为，即，
由，求导可得，
由曲线在点处的切线与曲线相切，
则曲线的切线为，
令，解得，
将代入，可得，得到曲线上切线的切点为，
将代入，可得，解得．
故答案为:．
29．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】参变分离可得，原题意等价于函数与有3个不同的交点，利用导数判断函数的单调性和极值，结合函数的图象即可得解.
【详解】因为关于的方程有三个实数解，
显然不为方程的根，整理可得，
原题意等价于函数与有3个不同的交点，
因为，
注意到，令，解得；令，解得或；
可知函数在内单调递减，在内单调递增，
若，当趋近于时，趋近于；当趋近于0时，趋近于；
若，则，当趋近于0或时，趋近于；
据此可得函数的图象如图所示：

若函数与有3个不同的交点，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
30．（2025·河北·模拟预测）若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先化简不等式得到在 时，恒成立，构造函数，得到时，，构造函数，得到，所以，即．
【详解】因为，所以，
所以不等式等价于，
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间 上单调递增，在区间上单调递减，
故；
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
因为恒成立，
所以，即．
故答案为：
四、解答题
31．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：在上单调递增.
(3)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程；
（2）求定义域，二次求导，得到函数的单调性；
（3）证法一：由（2）得，在上单调递增，结合零点存在性定理和特殊点函数值得到的单调性和最值，结合基本不等式求出，证明出结论；
证法二：当时，等价于，令，则有，令，求导得到单调性，证明出结论.
【详解】（1）当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）的定义域为，则，
令函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
（3）证法一：由（2）得，在上单调递增，
因为，由，，
可知存在唯一实数，使得，
即，两边取对数，变形可得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以的极小值为
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
证法二：当时，等价于，
即，
令，则有，
先证当时，，
令函数，则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，即当时，得证；
再证，
令函数，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即得证；
综上，，即当时，得证.
32．（2025·广东·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，为自然对数的底数，证明：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得；
（2）利用导数的正负判断函数的单调性；
（3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得.
【详解】（1）若，则，得或（舍），所以.
所以的零点为.
（2）若，，函数的定义为，
所以，令，得或，
即或.
①时，即，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
②当，即时，
当时，，；当时，，.
所以函数在是单调递减.
③当时，即，当时，，；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在是单调递减.；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）因，要证，
只需证，即，
令，，
因此只需证即可.
，
再令，则
因，所以，得，即，
所以在上单调递增，且，.
由零点存在性定理，存在唯一，使得，即.
所以在有唯一零点，且当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，.
所以对，都有成立.
所以，成立.
33．（2025·四川·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数，证明：当时，；
(3)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证.
（3）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，令，求导得，
函数在上单调递增，而，
则，使得，即，
当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，
所以当时，.
（3）对，，
令，依题意，在上恒成立，且，
求导得，令，
求导得，函数在上单调递增，，
当，即时，，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，，而函数在的图象连续不断，
则存在，使得当时，，
于是函数在上单调递减，当时，，
因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
34．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若在上恰有2个零点，求m的取值范围；
(3)若，是的极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程求解即得；
（2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，求导研究函数在上的单调性，作出其图象数形结合即可求得参数的范围.
（3）对求导，根据题设可得，由代入化简并放缩得到，令，求导判断其单调性，得到，即得，则得证.
【详解】（1）当时，，则，
，则，
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解．
当时，在上单调递增，不符合题意，故，
所以在上恰有2个解，
故可得与的图象有2个不同的交点．
令，则，
所以当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示．
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，解得，
即实数m的取值范围为．
（3）因为，所以．
因为是的极值点，所以．
要证，即证．
因为
．
令，则，由解得，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即得证，
故．
35．（2025·安徽·二模）已知函数，，其中函数的导函数为.
(1)当时，求函数在上的单调性；
(2)证明：当时，在上存在极大值点，且；
(3)证明：，使得恒成立.
【答案】(1)单调递减
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究其单调性即可.
（2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可.
（3）将问题转化为证明对任意恒成立，参变分离得对任意恒成立，令，即证，，多次求导求得的单调区间，即可求解的最小值，令，，利用导数求得最小值，即可证明.
【详解】（1）当时，，，
令，则，
当时，，，所以，
所以在上单调递减.
（2），，其中满足，，，
令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增；
当时，，所以函数在区间上单调递减.
所以在上存在极大值点，且.
（3）由（2）知在上的最大值为.
要证，使得对任意恒成立，
即证对任意恒成立，
即证对任意成立，又，
所以即证对任意恒成立，
即证，其中.
令，，
因为，，，
所以.
令，，
则，
则在上单调递增，又，，
则，使，
解得，所以.
当时，，即，所以函数在区间上单调递减；
当时，，即，所以函数在区间上单调递增.
所以函数在时取到极小值，也是最小值，
.
令，，
则，
即在上单调递减，，
又，
即当时，，
所以，使得对任意恒成立，命题得证.
36．（2025·江苏·模拟预测）已知函数．
(1)若直线是曲线的切线，求a的值；
(2)令．
①若，是的两个极值点，当时，求的值；
②设曲线在处的切线为l，若直线l上的点都不在图象的下方，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)；或.
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义构造方程，构造新函数，利用导数分析函数单调性，进而求解；
（2）先求出函数定义域，利用求导求出相应极值点，再计算求解；对函数求导，确定切线方程，构造新函数，求出新函数的最值即可求解．
【详解】（1），定义域为，
求导得，
设切点为，切线斜率，
切线方程为，
是切线，过原点，
，
令，其定义域为，
求导得，则在上，即在上单调递增，
，，
切线斜率．
（2）①，
，定义域为，
若，，
当时，，
求导得，
令，解得或（舍去），故极值点为；
当时，，求导得，
令，解得（舍去）或，故极值点为；
；
②，，
令（其中）
在上单调递增，上单调递减；上单调递增；上单调递减，作出大致图象如下
，知为上凸函数
设为左右两支的公切线且分别与左右支切于，，
，，公切线可表示为：
①
也可表示为：②
①②可分别化简为
由两式表示同一方程
，解得
结合图象得或.
37．（25-26高三上·江西·月考）已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)若存在使得，记的导函数为.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】(1)证明见详解；定点为
(2)（i）；（ii）证明见详解
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而分析定点；
（2）（i）求导，分析讨论分析函数的单调性，结合单调性分析求解；（ii）构建设，构建，求导，分类讨论分析的符号分析证明.
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且，
则，，即切点坐标为，切线斜率，
所求切线方程为，即，
令，解得，
所以切线恒过定点.
（2）构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以.
（i）构建，则，
①若，则，可知在内单调递增，
且，当趋近于时，趋近于，
可知在定义域内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则至多存在两个实数，使得，不合题意；
②若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
若，则，即，
可知在定义域内单调递增，不合题意；
若，则，
当时，则；
当时，则；
可知在和内分别存在一个零点，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意；
综上所述：实数的取值范围；
（ii）设，构建，
则，
记的导函数为，的导函数为，
且的导函数为，的导函数为，
则，且，
因为，且，
又因为，
且在内恒成立，
若，则，可得，
可知在内单调递增，则，
可知在内单调递增，则，
若，则，可知在内单调递增，不合题意；
所以；
若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为，
则，由单调性可得，
可得，
因为在内单调递减，在内单调递增，
可得， ，
所以；
综上所述：.
38．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知，函数，且仅有两个零点．
①求的取值范围；
②证明：的两个零点之积小于1．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可；
（2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可.
【详解】（1）由可知，
对于方程，若，即或，
①当时，有两个不等正实根，
此时在上，在上，
当，有两个不等负实根，此时在上，
②若时，恒成立，此时在上，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
（2）当时，，
记，则，
显然时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，则，
①令，则，
记，则，所以在上单调递增，
所以，要与有交点，需，
又时，，时，，
所以时，与只有一个交点，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时有两个解记为，
所以；
②由上知，
不妨设，显然，
令，
则，
所以在上单调递增，所以当时，，
即，所以，
又，
时，单调递减，所以，即，证毕.
39．（25-26高三上·河北·期中）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可；
（2）令，利用同构思想求证即可；
（3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
令，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点；
当时，即或时，
有两个不等的实数根，
当时，，，得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则函数有一个极小值点，无极大值点；
当时，，得或；得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点，
综上，时，无极值点；
时，有一个极小值点，无极大值点；
时，有一个极小值点，一个极大值点.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证；
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，
则，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证．
40．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，.
(1)当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）当时，证明：.
(2)设，，若存在，使得.证明：.
【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）根据导数几何意义直接求得切线斜率，由此可得切线方程；
（ii）设，求导后可求得在上单调递增，由此可得结论；
（2）设，化简得；构造函数，利用导数可证得，可缩放方程左侧小于；根据（1）中所证不等式可放缩方程右侧得到，代入已知方程整理可得到结论.
【详解】（1）（i）当时，，则，
，，
在点处的切线方程为：，即.
（ii）设，则，
令，则，
在上单调递增，又，，
在上单调递增，又，，
即当时，.
（2）不妨设，由得：，
即，
令，则，
在上单调递增，，即，
，；
由（1）知：当时，，即，
，即，
，又，
，
，
又，，，
，，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数的几何意义、利用导数证明不等式，第二问证明不等式的解题关键是能够利用第一问所证得的函数大小关系对已知方程进行合适的放缩，从而化简所证不等式.
极大值
极小值