新高考数学二轮复习重难点培优专练第4章08 解三角形解答题题型全归纳（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第4章08 解三角形解答题题型全归纳（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 三角函数结合三角恒等变换（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 三角形面积问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 11
\l "_Tc26803" 题型三 三角形周长、边问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 16
\l "_Tc13512" 题型四 三线（中线、角平分线、垂线）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 23
\l "_Tc3897" 题型五 几何图形类问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 33
\l "_Tc326" 题型六 结合三角形“四心”问题（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 40
\l "_Tc11957" 题型七 证明类问题（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 50
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 57
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 57
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 84
一、降幂公式
二、辅助角公式
（其中）．
三、三角形角的关系
（1）中，, =
（2），
（3），
四、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
五、三角形面积和周长的最值、范围问题
1、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
① ②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数.
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
2、解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
六、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
② 向量法：,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.
七、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
八、垂线问题
①等面积法：
②
③


题型一 三角函数结合三角恒等变换
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知.
(1)将化成的形式；
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式和降幂公式，辅助角公式化简即可；
（2）将看作整体，结合，即可得出答案.
【详解】（1）
；
（2）由，所以，
所以，
所以在区间上的值域为.
2．（2025·云南丽江·三模）已知函数.
(1)求的最小正周期：
(2)若，解不等式：.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简得，然后计算周期即可；
（2）根据正弦函数的图象与性质解不等式即可.
【详解】（1）
故函数的最小正周期.
（2）由得， ，
即，则有，
解得，又，所以，
综上，不等式的解集为.
3．（24-25高三上·天津·期中）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增减区间；
(2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间.
（2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围.
【详解】（1）依题意，
，
所以的最小正周期，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，
作出函数，的图象，
由图知，当时，方程在上有两个不同的实根，
所以实数的取值范围是.
4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，且的最小正周期是.
(1)求的值，并求此时的对称轴；
(2)，求函数的单调递减区间.
【答案】(1)，的对称轴为，
(2)，
【分析】（1）由二倍角的正弦公式化简可得，结合的最小正周期公式即可求解，利用正弦函数的性质及整体代换法即可求解；
（2）由（1）知，代入，利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简可得，利用正弦函数的性质及整体代换法即可求解的单调递减区间.
【详解】（1）因为，且的最小正周期是，
所以，解得，所以.
令，，解得，，
即的对称轴为，.
（2）由（1）知，
所以
.
令，得，
所以的单调递减区间为，.
5．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中在轴右侧第一个极值点为
(1)求函数的解析式；
(2)若，判断在区间上，与0大小关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)时，，理由见解析
【分析】（1）结合图象，由点，得，又由极值点得，从而可得函数解析式；
（2）设，利用导数得在区间上恒成立即可.
【详解】（1）由图可知，，
因为，所以，
因为在轴右侧第一个极值点为，
故，
故；
（2）设，
，
设，则，
因为，则，
故，，
所以，
故在上单调递减，而，
故在上单调递减，而，故，
所以时，.
6．已知函数部分图象如图所示．
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)最小值为，最大值为
【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出；
（2）利用整体代换求出单增区间；
（3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值.
【详解】（1）由图象可知：，所以，则，
又，，得，
又，所以.
（2）由（1）知，
令，，
解得：，.
令，得，因，则，
令，得，因，则，
所以在上的单调递增区间为，.
（3）由题意，，
则，
由函数在上存在零点，
则在上有解，
令，由，则，即，
则，
所以，即，
故a最小值为，最大值为.

题型二 三角形面积问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且．
(1)若，，求；
(2)若且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案；
（2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；
【详解】（1）因为，所以，
消去得，又因为，所以，
所以，即．
（2）法一：因为，所以，
即，
又因为，所以，
化简得，
因为，即，所以．
因为，所以（当且仅当时取等号），
所以，由题意可知A为锐角，且，故，
因此，即的最大值为．
法二：在中，因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
即，
又，所以．
所以，所以（当且仅当时取等号），
所以，因此，即的最大值为．
2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
（2）如图，由题意及第（1）问知，，
且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，
故的面积的最小值为.

3．在锐角中，角的对边分别是，且.
(1)求；
(2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，由三角恒等变换化一结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
则，
因为是锐角三角形，所以，则
所以，
所以；
（2）因为外接圆的半径是1，
所以，
则，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，所以，
则，
故面积的取值范围是.
4．在中，角的对边分别为，若．
(1)求；
(2)若，证明：是直角三角形．
(3)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得角；
（2）根据余弦定理以及已知条件有，，据此可证明，即可得到结论；
（3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形条件即可求得取值范围.
【详解】（1）由可知，从而由正弦定理得.
故，这就得到，故.
此即，故，得或，这里.
结合，就知道.
（2）因为，由余弦定理可得.
又因为，故.
这就得到
.
所以，即，从而必有是直角三角形．
（3）由正弦定理可得，故.
而因为为锐角三角形，故，解得的范围是.
从而的范围是，故的取值范围是.

题型三 三角形周长、边问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足
(1)求角的值；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）通过正弦定理将已知等式中的角的正弦转化为边的关系，再利用余弦定理求出角的值.
（2）根据余弦定理得到关于、的等式，然后结合基本不等式求出的取值范围，进而得出三角形周长的最大值.
【详解】（1）因 ，
利用正弦定理：整理得
由于故
（2）由于利用余弦定理： ，
所以利用基本不等式：
整理得：，(当且仅当 时，等号成立）
所以
故三角形的周长的最大值为
2．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且的面积．
(1)求的大小；
(2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理化简，再利用特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据正弦定理边化角，利用三角形的内角和消元，再利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理，有，即，所以，
因为，所以；
（2）因为的外接圆半径为3，所以，，，
又，所以，
即，因为，所以，
故，所以的周长的取值范围为．
3．（2025·浙江·二模）已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，.
(1)若边上的高为1，求的面积的最大值；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先求得的面积，然后利用等面积法求得边上的高；（2）由正弦定理知，然后分类进行求解.
【详解】（1）因为若边上的高为1，所以，
正弦定理得，可得.
所以的面积.
又，所以当时，的面积有最大值，最大值为1.
（2）由正弦定理知，可得，则或.
若，则的周长为
，
当时，周长有最大值，最大值为.
若，则的周长为
，
当时，周长有最大值，最大值为.
因为，所以的周长的最大值为.
4．（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由是锐角三角形可求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，
则有，故.
（2）因为为锐角三角形，则，所以，，
所以，，则，
由正弦定理可得，
所以，，
即的取值范围是.
5．（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证；
(2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围.
【详解】（1），，
两边同时乘以得，，
由正弦定理得，；
在中，，，
，，
又，，，
或，
若，且，则，，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知，又，，
，，
又由已知可得，，，
，
，
，，
，，
的取值范围是.
6．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解；
（2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可．
【详解】（1）在锐角三角形中，因为，
所以由正弦定理得，
故，即，即，即，
所以，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）因为，由正弦定理，
所以，，
设的周长为，
则
，
因为在锐角三角形中，所以，，
所以，解得，
所以，所以，
故，则，即，
故周长的取值范围为．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，
(1)求证：；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理得到，再结合，得到，进而可求证；
（2）先确定，再结合正弦定理得到，，进而可求解.
【详解】（1）由得，
从而，
得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
又在三角形中，，
所以．
所以，即．
所以或，
即或．
因为，，所以．
（2）由得，
所以，
即，解得，
因为，由正弦定理得，所以，
由正弦定理得
，
故的周长．
令，由（1）知，所以．
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为．

题型四 三线（中线、角平分线、垂线）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·山东聊城·三模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求得的大小；
（2）根据题意，利用面积相等法，求得，再由余弦定理，列出关于的方程，求得，进而求得的周长.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）解：由边上的高为，可得，
又由且，可得的面积为，
所以，解得，即，
在中，由余弦定理得，
可得，整理得，
解得或（舍去），此时，
所以的周长为.
2．（24-25高三下·贵州·开学考试）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理对已知条件进行化简即可求解.
（2）利用正弦定理进行边角互化可得，再根据角平分线的定义可得，再由 以及三角形面积公式可得 值，再利用余弦定理即可求得 值，从而得出结论.
【详解】（1）
由于 ，两边同时乘以 并化简可得：，
根据正弦定理可得 ，代入可得，
化简得：，进一步化简：，
由余弦定理可知，代入上面的等式：
，化简得，
即
所以由余弦定理可得：，
由于，所以.
（2）已知，
由正弦定理可得 ，即 ，
因为是的角平分线，且由（1）可知 ，
所以 ，
因为 ，根据三角形面积公式可得：
，
将 代入上式可得： ，
化简可得： ，即 ，
将 代入 可得： 即，
因为 ，所以解得，，
代入余弦定理可得：
，则 .
所以，
综上，的周长为.
3．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点.
(1)若AD平分，求证：；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合三角形面积的性质进行证明即可；
（2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可.
【详解】（1）设，垂足为，
在中，，
在中，，
因为AD平分，
所以，于是有，
因此有；
（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，
所以，
因为，
所以
4．（2025·贵州铜仁·三模）已知在中，，其中内角的对边分别为．
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)的最大值为18
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故；
（2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值
【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径），
将，代入，
可得，
化简后得到，即．
根据余弦定理，把代入可得．
因为，所以；
（2）在中，根据余弦定理．
因为为中点，设，已知，
则，即．
根据基本不等式（当且仅当时取等号）．
所以，即，当且仅当时取等号．
将代入，可得，
解得，，满足条件，所以的最大值为18．
5．（24-25高三上·四川南充·月考）已知函数在上的值域为．
(1)求，并求在R上的单调递增区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求边BC上的高h．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）结合函数在给定区间上的值域，先确定的值，再求函数的单调递增区间.
（2）根据，结合三角形的内角和定理，可求角，由可求角，所以.根据正弦向量，可求边.最后结合三角形的面积可求求边BC上的高h.
【详解】（1）因为，所以，
令，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，且，所以．∴
由，解得，
∴的单调递增区间为．
（2）由已知及正弦定理得：，
又，∴，
又，∴，则，
而，∴，则，故，得．
∵，
∴，∴
由得，，
由得.
6．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理与和角公式将题设等式化成，借助于三角形即可求得角；
（2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，即得的面积的最大值；
（3）利用三角形角平分线定理推得，再由余弦定理推得，最后运用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）由和正弦定理，
可得，
因，
代入可得，
因,则，故，
又因,故；
（2）由余弦定理，，
因，，代入整理得：，
由，当且仅当时等号成立，此时，
而的面积，
在中，由，，和，易得，
即当时，的面积的最大值为；
（3）
如图，因平分,且，则,即，
在中，由余弦定理，，
即得，则，
故.
7．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.
(1)求;
(2)若，为的中点，求中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可；
（2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解.
【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，即，
所以，则，
整理得，即，
又，所以，即.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解.
（2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，.
因为,，所以，
所以，即，
又，，则，
所以.
（2）由（1）得，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当，即，时，等号成立，

此时，
故.
9．已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.

题型五 几何图形类问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·湖南常德·月考）如图，在中，已知角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，.
(1)求角的大小;
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理“边化角”，由二倍角正弦化简，求出B；
（2）在中，中由正弦定理求得，，得，代入面积公式求解.
【详解】（1）∵，
由正弦定理得，
，
∴，
由，可得，
∴ ，
又，故，
∴；
（2）在中，由正弦定理得，
∴，
又，所以，
∴，，
在中，由正弦定理得，
，
∴，
.
2．（24-25高三上·重庆·月考）平面四边形中，已知
(1)求的面积；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，设，则，由余弦定理，可得，利用三角形的面积公式即可求得的面积；
（2）在中，由正弦定理，可求得，进而求得，进而求得，在中，由正弦定理，求得，即可求得的大小．
【详解】（1）

由已知，设，则，
在中，由余弦定理，，
因为，
所以，
解得，所以，，
所以.
（2）在中，由正弦定理，，
因为，，
所以，
又在中，，则，
所以，
因为，
所以
，
在中，由正弦定理，，
又，则，
解得，
又因为，所以，
因为，
则.
3．（2025·山东·一模）如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记．
(1)若，求的面积；
(2)若，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，求得以及，再利用三角形面积公式即可求解；
（2）在中，由余弦定理得，结合三角形面积公式求得与，所以四边形的面积，再由三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中，
由余弦定理：，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，所以，且，
所以，
则的面积为．
（2）在中，
由余弦定理：，
所以，，
所以四边形的面积，
又因为，所以，
所以，，
即四边形的面积的取值范围为．
4．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，再利用余弦定理即可求出.
（2）先利用余弦定理求出，再结合（1）的结论及三角形的面积公式得到，再根据正弦定理及辅助角公式得到，进而根据正弦函数的性质求解即可．
【详解】（1）由，则由正弦定理得，
整理得，所以由余弦定理得，
又，则．
（2）在中，，，，
由余弦定理得，得，
所以结合（1）得，即，得，
在中，由
由（1）知，
则.
又由正弦定理有，
所以，，
又，
所以
，
又，则，则，
所以，
所以．
5．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；；
（2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因为四点共圆，所以，因此，
上述两式相加得：，所以（负值已舍去）.
（2）由（1）得：，
化简得，
则①，
四边形的面积
，
整理得，
则②
①②相加得：，
即，
由于，
所以当且仅当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，解得，
故四边形面积的最大值为.

题型六 结合三角形“四心”问题
【技巧通法·提分快招】
1．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的重心为，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再结合和差公式及二倍角公式即可求解;
（2）根据重心的性质可得，所以，两边平方后结合余弦定理可得，最后由正弦定理化简可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
化简得，，，
即，
由解得或（舍去），
，．
（2）记中边上的中线长为，由重心的性质得，
所以，
即，
等式两边平方可得，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
整理得，解得，
由正弦定理得．
2．（24-25高三上·河南·月考）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；
（2）利用向量表示出，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
由得：
，
所以，又，
所以，即，
因为，所以，
所以解得.
（2）因为为的外心, 且由上问知，
所以,
设（为的外接圆半径），
因为为边的中点，且，
所以在中易得：，
所以，
即，解得：，
在中由余弦定理可得：，
解得，
在中由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：
，当且仅当时等号成立，
所以，即.
所以周长，
当且仅当时等号成立.
故周长的最大值为.
3．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若的垂心为（在的内部），直线与交于点，且，当最大时，求．
【答案】(1)
(2)10
(3)
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求；
（2）由(1)中的结论可求得，根据结合，运用均值不等式的结论可求面积的最大值；
（3）根据为的垂心求得，利用正弦定理求得，，结合辅助角公式可求其取最大值时的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即．
由余弦定理得．
（2）由，得．
由（1）可得，得，
当且仅当时，等号成立，
所以．故面积的最大值为10．
（3）如图，设．
在中，．
在中，由，
得．
在中，，
由正弦定理得，得，
所以，
其中．
当时，取得最大值，此时，
得．
4．记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求角与；
(2)若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；
(3)若点为的重心，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得；
（2）利用向量数量积定义可得为的外心，再由正弦定理可得；
（3）利用重心性质可得，再利用余弦定理可得，可得面积为.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得.
又因为，所以.
又因为，由正弦定理得，
即，
因为，所以，且，
所以.
（2）由，
可得，
解得，即，
所以为的外心，
由正弦定理得，
所以.
（3）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，如下图所示：

又因为，所以.
在中，由和，可得.
在和中，有，
由余弦定理可得，
故，
所以，
所以的面积为.
5．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.
(1)求.
(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据两向量平行得到一个等式，再根据正弦定理以及三角形内角和为可求得结果；
（2）先根据外接圆半径比例得到各自的外接圆，从而得到的长，再根据三角形面积公式得到内切圆的半径，最后利用三角形面积之间的关系得到结果.
【详解】（1），，，
所以，
根据正弦定理可变形为：，
移项可得：，
根据两角和的正弦公式可得：，
因为，所以，
因为，所以，即，
所以；
（2）设外接圆的半径为，的外接圆半径为，
所以，
根据外接圆半径公式，
在中，，，
则，，
在中，，
所以，，
在中，，则，
，解得或，
因为为锐角，所以，
因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示：
，
根据三角形面积公式，
又，
解得，
，
所以的面积为.
6．（23-24高三上·山西吕梁·月考）从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若，的内心为I，求周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正余弦定理进行边角互化，借助于三角形的边角关系即可求得；
（2）先求出，在中，通过设角，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围.
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，则由余弦定理，，
又，所以．
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，即，
因为，因此，即，又，所以．
（2）

如图，由（1）知，，有，
因为的内心为，所以，于是．
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周长为，
由，得，所以，
所以周长的取值范围为．
7．（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设，
（i），求的面积；
（ii）求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）;（ii）
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及两角和正弦公式，求得，得到，即可求解；
（2）①当，得到等边三角形，进而求得其面积；
②由，求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，
又因为，可得，
代入上式，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以．
（2）①若，则即是高线又是角平分线，且，
所以等边三角形，
如图：延长交于.
因为为的垂心，所以也是的外心和重心.
因为，可得，，所以，所以.
所以的面积为.
②如图：延长交于，连接并延长交于.
因为为垂心，所以，.
又因为，所以，.
因为，且，则，，
又因为，，
则，
因为，可得，
当时，可得，所以；
当时，可得，所以取得最大值.
所以的取值范围为.

题型七 证明类问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·山东济宁·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)若的面积为，证明为等边三角形.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用正弦定理角换边即可；
（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理即可得到，则得其为等边三角形.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
所以，
所以，
所以，由正弦定理得．
（2）因为，所以，
因为，所以为锐角，所以．
由余弦定理得，
又，代人化简得，
所以，
所以为等边三角形．
2．已知在中，内角的对边分别为，记的面积为.
(1)若，求的值；
(2)证明，并指出等号成立的条件.
【答案】(1)
(2)证明见解析，当且仅当为等边三角形时等号成立
【分析】（1）由余弦定理计算得出，再结合面积公式计算求解；
（2）应用余弦公式结合辅助角公式计算，结合基本不等式计算求解.
【详解】（1）由余弦定理可知，
即，解得（负值舍去），
故；
（2）因为，
所以
，
因为，所以，
所以，
故，
即，
等号成立的条件为，且，此时，即，
所以当且仅当且时等号成立，即当且仅当为等边三角形时等号成立.
3．已知在中，角的对边分别为，，，D为边的中点.
(1)若，证明：；
(2)求BD的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）由余弦定理与题意整理化简等式，求得角的正切值，根据正弦定理，可得答案；
（2）由余弦定理建立方程组，利用重要不等式，可得答案.
【详解】（1）
依题意，，
由余弦定理可得，则，
即，，
又，故，
又，即，解得，
在中，由正弦定理得：①
在中，由正弦定理得：②
两式相除得，即.
（2）在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
两式相加从而得：，
又，即，
从而，当且仅当等号成立.
则，当且仅当取到最大值.
4．在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；
（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.
【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
5．在中，，D为BC中点，．
(1)证明：；
(2)证明：或；
(3)求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3).
【分析】（1）将向量式两边平方，结合已知可证；
（2）根据面积公式，结合已知可得，在中利用余弦定理列方程，结合（1）中结论消元即可得证；
（3）利用（2）中结论，结合余弦定理求出三边关系，然后由余弦定理求解即可.
【详解】（1）记中角所对的边分别为，
因为D为BC中点，所以，两边平方得：
，
因为，所以，
又，所以.
（2）记，则，
又，所以，
因为，所以，
又，所以或，
当时，在中，由余弦定理可得：
，，
消去整理得，又，
所以，即，
代入得：，即，.
当时，，同理可证.
故或.
（3）当时，由余弦定理得，
即，所以，因为，所以，
所以
；
当时，有，同理可得.
综上.
6．已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，点在内，且满足.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若，，，求及的长度.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，.
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式推理即得.
（2）利用（1）的结论，利用等比性质推理得证.
（3）利用（2）中信息求出，再利用同角公式及和差角公式、正弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
由三角形面积公式得，即，则，
所以.
（2）由（1）知，
设，
同理得
，
所以.
（3）由，，得，
由（2）得，，即，所以；
由，解得，而，
则，
，
于是，
由正弦定理，得.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解；
（2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解.
【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由题意可得，即，
由正弦定理得，又，
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以，
所以的周长为．
2．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量，，设函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为，
(2)
【分析】（1）先由向量数量积得到式子，再用公式将其变形为特定形式. 借助周期公式计算，利用整体代换求单调递减区间.
（2）先根据范围算出. 结合类似图像找到使函数值最小的情况，算出最小值. 再解不等式，得出的范围.
【详解】（1）．
函数的最小正周期．
由，，
得，．
的单调递减区间为，．
（2）当时，，
结合的图像，当时，．
当时，，
，解得．实数的取值范围为．
3．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围.
【答案】(1)；，
(2)
【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解；
（2）首先求函数的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解.
【详解】（1）由图象可知，，，得，
当时，，，得，，
因为，所以，
所以，
令，，
得，，
所以函数的单调递增区间是，；
（2），
当时，，
则，
若不等方式对任意成立，则，
得.
4．（2025·宁夏石嘴山·三模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简给定等式，再利用正弦定理、余弦定理求解.
（2）由（1）中信息，利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】（1）在中，令内角所对边分别为，
由，
得，由正弦定理得，
由余弦定理，得，而，所以.
（2）由已知及（1）得，，
解得，当且仅当时取等号，
所以求的周长的最大值为6.
5．（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，
化简可得，即，
由余弦定理可得，因为，故.
（2）因为，则，即，
所以，
即，
所以，当且仅当时，
即当，时，等号成立，
故，
即面积的最大值为.
6．如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c.且
(1)求∠ACB的大小；
(2)若，求的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和正弦定理可得，由与两角和的正弦公式可得，即可求解；
（2）如图延长DA、BC分别交AB、AD于点E、F，由（1）可得，根据重心的定义可得、，求出AD、CD，结合余弦定理和同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，，，
由正弦定理，得，
整理，得，又，
所以，
有，又，所以，
由，得，即.
（2）由题意知，点C是的重心，
如图，延长DA、BC分别交AB、AD于点E、F，则E、F分别是AB、AD的中点，
由（1）知，又，则，得，
由，知为等边三角形，有，所以，
在直角中，，所以，
在中，由余弦定理，
得，
由，得，
即的值为.
7．已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为点O，若.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及两角差的正弦公式即可求解；
（2）先根据条件结合勾股定理和正弦定理计算出，再根据正弦定理边化角转化为三角恒等变换问题，最后求三角函数的最值
【详解】（1）由正弦定理可得：，因为，所以.
（2）设的中点为，周长为，由为的外心可知：，
则
.
由题意可知：，所以，故，所以周长的最大值为.
8．（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，利用角化边及余弦定理可得，利用同角关系式即可求解.
（2）由（1）知，利用余弦定理、完全平方关系及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，
所以，即，
所以，
因为为三角形的内角，所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
所以，即，
又因为，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以.
所以的最大值为.
9．（23-24高三下·北京·开学考试）已知的内角的对边分别为，且满足，．
(1)求的大小；
(2)已知是的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，化简，可得，结合余弦定理即可求得答案；
（2）由，，利用基本不等式可得，再根据是的中线，可得，平方后结合数量积的运算可得，即可求得答案.
【详解】（1）由于在中，，，
则，则，
由于；
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
10．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足.
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行可以列出等式，然后用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可;
（2）由题可知，分别利用面积公式即可得到关于的等式，再用基本不等式求解即可.
【详解】（1）
，
，即，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
,
，即，
，则，当且仅当时取等号，
即面积的最小值为.
11．（2024·广西·模拟预测）的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则．
（2）因为，所以由余弦定理得，即，
所以，即（当且仅当时，等号成立），
因为，所以，
解得，因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．

12．在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求的周长；
(3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角.
（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长.
（3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则.
（2）由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，.
所以周长为.
（3）由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为.
13．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可；
【详解】（1）因为，所以，
解得或（舍去），
又，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以的周长，
即
，
又，所以，解得，所以，
所以，
所以，即的周长l的取值范围为.
14．在锐角中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，已知．
(1)求角；
(2)设为的垂心，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可；
（2）设边上得高为，边上得高为，为的垂心，分别在和中利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求解即可.
【详解】（1），
，，
由余弦定理得，即，即，
又；
（2）如图，设边上得高为，边上得高为，为的垂心，
在中，，在中，，
不妨设，则，
在中，由正弦定理得，，整理得：，
同理在中由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以的取值范围为．
15．（24-25高三上·江苏镇江·月考）平面四边形中，，，，
(1)记，求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定义和正弦定理，结合两角差的正弦公式，即可求解；
（2）利用平方关系，二倍角公式以及面积公式，即可求解.
【详解】（1）由题知，在中，
由正弦定理得，，
即，所以，
在中，，
所以
，
所以，则.
（2）由（1）知，，
又，
所以，
且，
又，所以，
连接，
所以的面积为.
16．（23-24高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
（2）由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
17．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，由此即可求出的值；
（2）选择条件① ② ③时分别计算，根据内心得到，根据垂心得到，根据重心得到，结合基本不等式计算面积最值即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，
所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
18．如图，在平面四边形中，，.
(1)若，求；
(2)若和的面积分别为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理得，在中，利用余弦定理得，进而求解；
（2）在中，利用余弦定理得，在中，利用余弦定理得，进而得，又，进而得，由得，进而求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，.
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，，
两边平方整理得
，
当重合时，；当重合时，，因此且，
则，
所以的取值范围为.
19．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求.
【详解】（1）因为，，则，
由正弦定理得，
，所以，，
因为、，则，
所以，，即．
（2）在锐角中，由，可得，
则，
又，则，
所以，的取值范围为，
又，设，设，其中，
，
由可得，由可得，
所以，在上递减，在上递增，
所以，，
又因为，，故的取值范围为，
即的取值范围为.
20．（24-25高三上·广东·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若，求的值；
(3)若点G是的重心，求线段GM的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），结合面积公式和余弦定理，化简得到，求出，；
（2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案；
（3）法一：由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式求出；
法二：由（2）得，故，M为CD中点，，由三角形面积公式得到，在中，有余弦定理和基本不等式得到，故.
【详解】（1）因为，
所以.
所以，
所以，故，
又，所以，
所以；
（2）由题意，，
由D、M、C三点共线得，即，
故，
所以，
同理由B、M、E三点共线可得，
∴，
∴
（3）法一；由重心定义得，
∴，
∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时取等号.
∴线段GM的最小值为；
法二：由（2）得，，
故，故M为CD中点，
又重心G为CD三等分点，故，
∵，
∴在中，，
当且仅当时取等号，故，
∴.
即线段GM的最小值为.
21．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
（2）因为，，
由余弦定理，即，
∴，解得，
∴；
（3）在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
22．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______．
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得出关于的方程，解出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选②：利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选③：利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.
【详解】（1）若选择①．由，得，
所以，所以，解得或．
又因为，故．
若选择②．
由正弦定理得．
又因为，所以，所以，
即，整理可得，解得．
又因为，故．
若选择③：．
由正弦定理得．
又因为，所以，所以，即．
可得，
又因为，所以，所以，故．
（2）由（1）可知，且，由正弦定理及，
可得．
又因为在锐角三角形中，，所以，
故，所以．
所以面积，所以，
所以面积的取值范围是．
23．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形中，，设.
(1)若，求的长；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可；
（2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等关系得，最后解出即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
即，，因为，
所以，解得，则，
在中，由余弦定理得：，
所以.
（2）
如图：由，则，因为，
所以在中，由正弦定理知：，
，
由，
因为，所以，
，
由，
，
所以在中，由正弦定理知：，
由，
在中，，所以，
所以，又因为，
即，
所以，
即，
所以，
，
所以，
故.
24．已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角．
(1)若，，求；
(2)如图，若，，，，.
①证明：；
②求的值．
【答案】(1)10
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得结果.
（2）①利用二倍角公式与同角三角函数的商数关系即可证明，
②先对所求式子化简得到，原式即是求的结果，再多次利用余弦定理即可求得结果.
【详解】（1）易知四边形是平行四边形
在中，由余弦定理得
同理在三角形得到：,
因为，，且有公共边AC，所以,
所以,又,所以,即,
所以在平行四边形中,,
故，
（2）证明：①等式左边==右边
所以等式成立．
②由，得，，
由①可知：
，
连结BD，
在中，由余弦定理有，
，，，，
在中，由余弦定理有，
所以，
则：
又，可知，
于是，
连结AC，同理可得：，
又，可知，
于是
所以

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．记的内角所对的边分别为，已知
(1)若为直角，求；
(2)若为锐角三角形，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用勾股定理，结合即可得解；
（2）利用余弦定理结合求出的范围，进而可得出答案.
【详解】（1）因为为直角，故，
即，
解得（负值舍去）；
（2）由余弦定理可得，
即，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
，故，
又是锐角三角形，故且，
故，且，
解得，
由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，
在上单调递增，
而，
所以，
因为，故，
综上，．
2．平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围；
（3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，当且仅当时取等号，
又，
则，即，所以，
所以，
即四边形周长的取值范围为；
（3）因为，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解.
3．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且.
(1)中，设角、、的对边分别为、、，若.
①当时，求的值；
②当时，求ac的最大值.
(2)若，当变化时，求长度的最大值.
【答案】(1)①16；②
(2)
【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可；
②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可；
（2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值.
【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故
.
②当时，因为，故均为锐角，作于.
由图可得，，由可得
，故，则
.
.
故
，当且仅当，
即时取等号，故的最大值为
（2）设，由余弦定理，即.
由正弦定理可得.
则，
.
故当时，取最大值，即的最大值为.
4．（23-24高三上·江苏扬州·期中）在中，，且边上的中线长为1.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由题可得，利用勾股定理可判断是直角三角形，且又边上中线，运算可得解；
（2）方法一，设，在，中，分别由正弦定理两式可得，在和中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，运算可得解；方法二，作的角平分线，交与，在和中，由正弦定理可得，再由可得，计算得，在和中，由余弦定理可求得结果；方法三，延长到，使，由，可得，运算得，在和中，由余弦定理可得结果.
【详解】（1）由题可知，
由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，
又边上中线，
所以，，，
所以.
（2）方法一：由题可知，
设，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③
将代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因为，所以，则，所以.
故的长为2.
方法二：作的角平分线，交与，
设，则，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以.
由题可知，所以，
在和中，，
所以，所以，
则，即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
方法三：延长到，使，连接，
由题可知，
设，则，
在和中，，
所以，所以，则，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，
则，解得.
故的长为2.
5．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据条件化简得出，然后化简目标式，结合导数求解范围；
（2）先利用正弦定理表示出，结合面积公式得出，利用的范围及单调性进行求解.
【详解】（1）因为，且都为锐角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在锐角三角形中，,且，所以；
令，则，，
令，则，
因为，所以，所以为增函数，
又，所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得.
因为，由，得；
设三角形ABC的面积为,则
，
因为，所以，
设，，，，为减函数，
所以，所以.
6．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得答案；
（2）延长交于，延长交于，设，分别求出、，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以；
又因为，，所以，
即，解得，设边上的角平分线长为，
则
，即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
（2）延长交于，延长交于，设，
所以，在中，
在中，，，所以，
在中，
同理可得在中，所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为.
7．已知在与中，与在直线的同侧，，直线与直线交于.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由条件可得的范围，再由余弦定理代入计算构造函数，求出函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，将要证明的边的关系转化为角度关系，再由余弦定理代入比较，即可证明.
【详解】（1）在中，因为，所以，
设，由于，所以，
由余弦定理得，
所以，从而，故.
（2）连结，记，
在中由正弦定理知，要证明，只需证明.
设，，由题意知，
从而在中由余弦定理得，，
从而在中由余弦定理得：，
所以
，
由前述可知，即代入上式得：
由题意分析知，证明如下：
如图，由于，点在BC的同一侧，则即，
(若，即时，重合或者分居在BC两侧，显然与题意矛盾；
若时，和不可能相交于O，与题意矛盾)，
则，所以，
又因为三角形中任意两边之和大于第三边，所以，
所以
所以，又因为函数在上为减函数，
所以，故.
【点睛】关键点点睛：本题第一问关键点是利用余弦定理构造函数，再根据边角关系找出变量的范围即可求解；第二问的关键点是利用正弦定理把证明边的关系转化为角度关系，再利用余弦定理表达出角度与边的关系，作差、因式分解可得出结果.1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcs α (S2α)；cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种是求面积，另外一种是求面积范围.
一般思路是：
1、选定理：对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
2、面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式；第二类为锐角三角形中的面积范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题
1、对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.
2、对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题.
类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题.
三线问题指的是角平分线，中线，高线
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
垂线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
1、解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
1、对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即.
2、对于外接圆半径问题 一般采用正弦定理解决.
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路
1、利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式.
2、充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B⇔sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.