新高考数学二轮复习重难点培优专练第2章02 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第2章02 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 抽象函数的定义域（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 抽象函数的求值问题（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 抽象函数的解析式（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 抽象函数的奇偶性（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 13
\l "_Tc3897" 题型五 抽象函数的单调性（定义法）（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 11
\l "_Tc326" 题型六 抽象函数的周期性（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 19
\l "_Tc11957" 题型七 抽象函数的对称性（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 23
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 27
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 27
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 39
【注意：本专题以赋值法为主干去破解相关难题，掌握模型可以快速解题】
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.


题型一 抽象函数的定义域
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据求解即可
【详解】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知抽象复合函数定义域求原函数定义域.
【详解】令，则，故，
所以的定义域为.
故选：C
3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案.
【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和，
令，解得，所以函数的定义域为，
又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象，
所以函数与函数的值域相同，即.
故选：D.
4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的定义域得到，即可求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
即，解得，
即的定义域是.
故选：A.
5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数的定义域为，则有，
令，解得.
故答案为：.
6．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，故，
因为有意义，
所以，所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.

题型二 抽象函数的求值问题
【技巧通法·提分快招】
1．若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6B．4C．2D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，解得，
令，则，故，
故选：D
2．函数定义域为，对任意，都有，又，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由已知得，故．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（ ）
A．1B．16C．128D．256
【答案】D
【分析】由题设可得或，结合已知排除，再由得，结合即可得.
【详解】由题设，则或，
若，令，则对于任意有，而，不符；
所以，则，故，
由.
故选：D
4．（2025·重庆·三模）已知定义在上的函数满足对任意的. 则（ ）
A．B．0C．2D．1
【答案】C
【分析】赋值分别令、可得，再令即可得解.
【详解】因为对任意的，
令，则，即；
令，则，即；
可得，
令，则，解得.
故选：C.
5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可.
【详解】依题意，因为，则，
令，则，因为，所以，
又因为，则，即，
令，则，即，
令，则，所以，故得，
又；
又，
所以，即．
故选：C．

题型三 求抽象函数的解析式
1．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（ ）
A．675B．1350C．2025D．4050
【答案】D
【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求.
【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是.
故选：D.
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令、，代入已知关系式判断A、B；用代换判断C；利用特殊函数判断D.
【详解】令，有，从而，A正确；
令，得，故，B正确；
由题意得，，即，C正确；
令，则，，满足，
但，即不满足，D错误.
故选：D.
3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.
【详解】【构造模型可以速解】
令得；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令4得.
综上只有正确.
故选：A
4．已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（ ）
A．1012B．2023C．2024D．4046
【答案】C
【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.
【详解】【构造模型可以速解】
对于任意实数，满足，
所以当时，，
所以
.
故选：C
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．方程有解
C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】【构造模型可以速解】
因和，
对于A，令，则，即，故A错误；
对于B，令，则，可得，
令，当时，则，
即，，，，
则
，
其中也符合，因，故方程无实数解，即B错误；
对于C，令，则，得到，
由，则C正确；
对于D，与不能恒相等，故D错误.
故选：C.
6．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得，进而可求的值.
【详解】【构造模型可以速解】
令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选：B.
7．已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.
【详解】【构造模型可以速解】
对于选项A：令，得，故A正确；
对于选项B：令，得，
即，且，所以为偶函数，故B正确；
对于选项C：令，得，
用代入即，
消去得：用代入得，
所以有，即，故C正确；
对于选项D：令，则有，
令，则有，
令，则有，
所以在区间上不是单调递减，故D错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.
8．已知函数的定义域为，且满足：，，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】C
【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D.
【详解】【构造模型可以速解】
令，则，即有，
则，A错误；
令，则，
令，则，即，
则，B错误；
令，则，即，
故，为偶函数,C正确；
令，则，即，
由于，故不是奇函数，D错误，
故选：C.

题型四 抽象函数的奇偶性
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．
【详解】在中，
令，则，又，所以，
令得，所以，
所以是偶函数，
故选：B．
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，
则既不是奇函数又不是偶函数，
且，
所以是奇函数.
故选：C
3．已知函数满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令可求得；令可证得为奇函数，令可求得，根据可得结果.
【详解】令，则，解得：；
令，则，为奇函数，
，.
故选：C.
4．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知 ，且，则是（ ）
A．偶函数B．奇函数
C．非奇非偶函数D．不能确定
【答案】A
【分析】由赋值法得出，再由，结合定义判断即可.
【详解】取，则，因为，所以.
取，则，即.
即函数是偶函数.
故选：A
5．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C

题型五 抽象函数的单调性（定义法）
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【答案】B
【分析】先利用赋值值法可求解A、B选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义可求解C、D.
【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，当时，，即，
设，即，即有，
则在上递增，故C正确．
故选：B．
2．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为增函数
【答案】C
【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】令，则，
则，故A错误；
令，则，
则，故B错误；
令，
则，
所以为偶函数，故C正确；
由，，可知不是增函数，D错误.
故选：C
3．已知定义域为R的函数满足，，当时，．
(1)用定义法证明：在定义域内单调递增；
(2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)是奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明.
【详解】（1）设，则，
因为，所以，故，而，
故，所以是单调递增函数．
（2）是奇函数．
证明如下：由，
所以，
由，令，
则，再令，解得，
所以，
所以
，
故是奇函数．
4．设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
不妨令，得，
解得或，
又不存在，使得，故，
令，得，
故，即，
因此为奇函数；
（2）时，，
则，
当且仅当，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是时，，
又为奇函数，则时，，
于是对，
任取，则，
而，
又，则，
于是，故，
因此在上单调递增；
【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可.
5．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【详解】（1）函数是奇函数，
证明：因为对，都有
令，可得，解得；
令，则，
令，则，
所以为定义在上的奇函数.
（2）函数在上单调递减，
证明：取，则
可得，
因为所以
所以，
又，
所以，
又当时，，
所以，
所以，即
所以在上单调递减.
（3）因为，且函数是奇函数，
所以
又的定义域为且在上是单调递减的，
所以
所以，解得
所以不等式的解集为.

题型六 抽象函数的周期性
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解.
【详解】取代入，
得即，由题解得，
令代入得，
故，
所以是周期为6的周期函数，
又，，所以，
所以，
故选：D.
【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解.
2．（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
.
故选：A.
3．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数的定义域为R，且，，则（ ）
A．B．4C．0D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出，并探讨函数的性质，再结合周期性求值.
【详解】函数的定义域为R，且，，
则，则
于是，因此，即，
则，函数是周期为6的周期函数，
取，得，即，解得，
取，得，即，解得，
而，因此，
所以.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
4．已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.
【详解】对于选项A：令，得，故A正确；
对于选项B：令，得，
即，且，所以为偶函数，故B正确；
对于选项C：令，得，
用代入即，
消去得：用代入得，
所以有，即，故C正确；
对于选项D：令，则有，
令，则有，
令，则有，
所以在区间上不是单调递减，故D错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.
5．（23-24高三上·安徽·月考）已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】令，判断出函数的奇偶性，再令，，求出，再求出函数的周期，根据函数的周期求解即可.
【详解】令，则，
故，
所以为定义域内的奇函数，
令，得，解得，
所以，
是以，所以函数是以为周期的一个周期函数，
所以.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
6．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，且为奇函数，再结合已知的偶函数求得8为的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数的定义域为，且有，
令，得，解得；
令，得，则，
而，即不恒为0，因此，函数为奇函数，
由为偶函数，得，则，
于是，，8为的一个周期，
由，得，即
，因此，所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.

题型七 抽象函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
1．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项.
【详解】由题设，
令，则，且，
若，则，显然，A排除；
若，则，显然，B排除；
若，则，显然，C排除；
故选：D
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．的图象关于点对称
【答案】D
【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C.
【详解】取，则，即，得，故A正确；
取，则，得，故是奇函数，B正确；
对任意的都有，可得，
因此的图象关于点对称，故D错误；
由于且是奇函数，得，即，
因此，C正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解.
3．（2024·贵州遵义·二模）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的周期为4C．关于对称D．在单调递减
【答案】C
【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设，先求出，再对选项进行逐一验证即可得出答案.
【详解】由，
可得，可设
由，即，则可取，即进行验证.
选项A： ，故选项A不正确.
选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.
选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确.
选项C：,又，故此时为其一条对称轴.
此时选项C正确,
故选：C
4．（2025·青海海东·二模）（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数为偶函数，
则，因此函数为奇函数，A错误；
对于B，令，，
于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确；
对于C，由选项B知，函数的图象关于对称，
又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确；
对于D，由，得，
所以，D错误.
故选：BC
5．（24-25高三上·安徽·期中）（多选题）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶性与周期，逐项分析可得结果
【详解】定义在上的函数满足：对，，
对于A，令，则，，A正确；
对于C，令，则，
于是，
则，因此不是偶函数，C错误；
对于B，由函数为偶函数，得，即，
于是，即，，
因此函数的周期为，，B正确；
对于D，由，得，
因此，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式求解问题，利用赋值法分析探讨函数的性质是关键.
6．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为的函数对任意实数都有，
令，则，而，因此，A错误；
，令，则，则，B正确；
显然，则函数的图象关于点不对称，C错误；
令，则，同理，
因此，即，
从而，即函数的周期是6，
由，得，则，
显然，
所以，D正确.
故选：BD

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.
【详解】的定义域为，
，解得：，
的定义域为.
故选：B.
2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知定义在上的函数对任意的实数都有，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先用赋值法求出，结合对数运算性质可解.
【详解】赋值法知道，，解得.
.
故选：C.
3．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义函数，直接赋值即可求解.
【详解】取，得，
又，故．
取，得，即．
对正整数x，，
累加，得，,
故选：D．
4．已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】应用赋值法结合累加法计算得出函数解析式，即可计算求参.
【详解】令，则，即，
所以，，…，，
累加得，则，
所以，
又，解得或，
又，所以．
故选:A．
5．已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】对于①②③：根据题意赋值即可得结果；对于④：结合奇函数的定义分析判断.
【详解】因为，
对于①：令，可得，故①正确；
对于②：令，可得，解得；
③令，可得，解得，故③错误；
对于④：令，可得，
且的定义域为，所以是奇函数，故④正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：对抽象问题，要紧扣题中抽象函数的性质，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用赋值法或特殊值法进行验证．
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数的定义域为，且，若，且不恒等于0，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】通过换元得到，通过令，得到，，两式相加可以得到 即可判断周期，进而求解.
【详解】由，
令则；
所以可得：，
也即，
令，有，
即，
所以，
两式相加得到：，即
所以，
所以的周期为，
令，有，则或．
若，则令，有，得，与已知矛盾，
所以．
令，有，则，得．
令，，有，得．
所以，
故选：A
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为，，
取，可得，又，所以；A对；
取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；
取，可得，又， ；
所以，D对；
故选：C.
8．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）若函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据已知递推式求的周期，并求出一个周期内对应函数值，利用周期性求目标式的值.
【详解】令得，，
又，所以①，
①中将替换为，得②，
由①+②，得③，
③中将替换为，得，
③中将替换为，得，
所以的周期为6，
令，得.
由①，易得，同理，
所以，
.
故选：B
9．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可.
【详解】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.
故选：C
10．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可.
【详解】令，则，所以；
令，则，
所以的图象关于直线对称；
令，则，
因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数，
所以，所以，
所以是周期为8的周期函数，令，则，
解得，又为奇函数，所以，
所以.
故选：A.
11．（2024·云南昆明·三模）函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在单调递减D．若，则
【答案】D
【分析】由已知条件，通过赋值法求出及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．
【详解】令得，，则；
对于A，令，有，则，
令，有，则，故A错误；
对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；
对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，
所以当时，，设，令，
则，即，
所以在单调递增，故C错误；
对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，
所以若，则，故D正确；
故选：D．
12．（多选题）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断.
【详解】因为，
对B，令，得，因为，所以，故B错误；
对A，令，则，由B知，
则，所以，且定义域为，
故是偶函数，故A正确；
对C，令，则，所以，
令，则，故C正确；
对D，有，则，
所以函数周期，则，
所以，故D正确．
故选：ACD．
13．（2025·江西·模拟预测）（多选题）已知定义在R上的函数满足：，，且，则（ ）
A．
B．可能是偶函数
C．的图象不可能关于点对称
D．若，，则在上单调递增
【答案】ABD
【分析】令建立方程可解，通过构造函数得到发现可以为幂函数，通过举例说明可判断BC选项，，，则，再利用定义法证明函数在的单调性即可得到在上单调性.
【详解】令，或（舍去），故A正确；，即，
设，则，所以当时成立，
故可以为，此时时偶函数，故B正确；
由上知也可以为，此时关于对称，故C错误；
，，即，，
，，时，，
，设，则，则，所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】结合选项，利用赋值法，判断选项.
【详解】令，则，因为，所以，
令，则，所以，故A正确；
令，则，则，即，故B正确；
令，则，即，即，故C错误；
由可知，，即，
所以函数的周期为4，，，
所以，
，，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法处理抽象函数问题.
15．（24-25高三上·山西太原·期中）（多选题）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．
【答案】AC
【分析】对于A，由题目中所给等式，代入不同的值，整理即可；对于B，利用举反例的方法，由已知点的对称点，说明其与函数图象的关系即可；对于C，任意取轴对称的两个点，整理函数成立的等式，合理赋值整理即可；对于D，由等式研究函数的周期性，利用分类讨论，分别计算即可.
【详解】对于A，令，可得，
由，则，解得，
令，可得，故A正确；
对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为，
易知不在函数的图象上，故B错误；
对于C，设点在函数的图象上，点关于直线的对称点为，
当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线对称，
此时由，可得，
令，可得，则，故C正确；
对于D，令，可得，则，
当时，令，可得，
则，所以；
当时，令，可得，
则，，
所以，
综上所述，，故D错误.
故选：AC.
16．（2025·广东深圳·二模）（多选题）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】令，可判断A选项，令可得出，再令，可求出的值，可判断B选项；利用偶函数的定义可判断C选项；令，可得出，求出的最大值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，则，解得，A错；
对于B选项，令，则，即，
所以，
令，，可得，即，
即，故，B对；
对于C选项，因为，
同理有，
所以，
若，设，
令，则，
再令，
则，
所以函数的零点关于y轴对称；
若，则， 令有，
故函数为偶函数，C对；
对于D选项，令，则，
所以，可得，故函数的最大值为，D对.
故选：BCD.
17．已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)证明：在上单调递增；
(3)判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)真命题，理由见解析
【分析】（1）由条件，通过赋值依次证明，由此证明为偶函数，再证明时不成立，证明不是奇函数；
（2）任意取，且，结合条件证明，可得结论；
（3）要证明原命题只需证明成立.，再证明，由此可得，最后证明即可.
【详解】（1）因为对任意实数u，v，都有，
所以，所以，
在中，令得，，
所以，所以是奇函数，
因为当时，，所以，所以不是偶函数
（2）证明：任意取，且，则，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）命题“对任意正有理数”是真命题.理由如下：
因为是一个正有理数，所以，
所以原命题等价于成立.
，
所以，所以，
所以，
所以对任意正有理数成立，
所以原命题是一个真命题.
18．已知函数对于任意实数，都有，且.
(1)求的值；
(2)令，求证:函数为奇函数；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）应用赋值法即可；
（2）应用奇函数的定义即可判断；
（3）结合（2）转化为求，即可求解.
【详解】（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
设，则，则，
则，即，
即函数为奇函数.
（3）由（2）知，为奇函数，则
.
19．定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数.
(1)判断是否为的相关函数，并说明理由；
(2)若为的相关函数，证明：为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由.
【答案】(1)不是，理由见详解；
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可；
（2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可；
（3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可.
【详解】（1）不是相关函数，
易知①，
而②，显然①②两式不相等，
即不是的相关函数，
（2）令，则有，
令，则有，
两式相加得，
因为是定义在上的非常值函数，所以，
所以，所以是奇函数；
（3）令，则，
因为，所以，
令，则，
令，则
若，
若，，
则，
综上可知满足题意.
再用反证法证是满足题意的最小正数，
若存在满足要求，令，则，即，
故，
而，所以，矛盾，故不符题意.
所以存在是满足题意的最小正数.
【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知函数满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用赋值法得出，，令可得出，进而可得出，推导出，再利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】令可得，因为，则，
令，可得，解得，
令可得，即，
令可得，所以，，
所以，，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故选：C.
2．（2024·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】令求出.令可判断①；令，得，再求出、可判断③；利用累加法求出可判断②；利用导数可判断④.
【详解】对于①，令，得，所以.
令，得，所以为奇函数，故①正确；
对于③，令，得，
所以，，故③错误.
对于②，因为，
所以， ，
，
，
，以上各式相加得
，
所以，故②正确.
对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出的解析式.
3．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．函数的图像关于直线对称D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
4．（2025·河南信阳·二模）（多选题）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】应用赋值法构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】依题意，，，
取，得，
取，得，则，
当时，，则当，即时，，即，
取，得，解得，即；
对于AC，由，得，
由，得，当且仅当时等号成立；
当时，，即；
当时，，即，故AC错误；
对于BD，将分别取，可得，
又，因此，
则，
即，且不恒为，B错误，D正确.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
5．（24-25高三下·河南·月考）（多选题）已知函数的定义域为，满足，则（ ）
A．
B．是奇函数
C．当时，
D．（，且）
【答案】ACD
【分析】令即可判断A；令得，再由有判断B；根据已知得到是首项为，公比为2的等比数列，进而得到，即可判断C；应用构造法得到是首项为，公比为的等比数列，进而有，结合等比数列的前n项和公式及已知，即可判断D.
【详解】A：令，则，对；
B：令，则，故，
而且，若，则，错；
C：当，则，
若，，则，所以，
即，即是首项为，公比为2的等比数列，
故，所以，对；
D：令，，则，即，所以，
令，则，所以且，则，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
所以，又且，则，，
所以，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C、D，应用赋值法得到、，再由构造法确定一个等比数列并写出对应通项公式为关键.
6．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数的定义域为．对任意的恒有，且，．则 ．
【答案】
【分析】依题意可得，利用特殊值推出，，即可得解.
【详解】由，
得，
因为，，
令，，得，得；
令，，得，得；
令，，得，得，
在中，
令，得，
令，得，得；
令，得，得，
．
在中，
令，，得；
令，，得，
．
依此类推，可得，，
因此，，
综上可知．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用赋值法推出一般性的规律，.抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；
令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性
1、令式子中出现的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1、换为确定周期性.
2、；；
；（为常数）；
1、对称轴：或者 关于对称；
2、对称中心：或者 关于对称；
3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期