宁夏银川市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份宁夏银川市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
3．已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．在平行四边形中，已知，，，，则（ ）
A．9B．C．6D．
6．为测量河对岸的直塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得的大小为，点，的距离为，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则直塔的高为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，若与共线，则
B．若，，则
C．若，则一定不与共线
D．若，，为锐角，则实数的范围是
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限B．为纯虚数
C．的模长等于D．的共轭复数为
11．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封档，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．设为线段上任意一点，则的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设是虚数单位，是实数，若是实数，则 ________．
13．已知，，若与为共线向量，则实数________．
14．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，已知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高．
（1）求正三棱锥的体积；
（2）求正三棱锥的表面积．
16．（15分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，，且
边．
（1）求的周长；
（2）若角，求的面积．
17．（15分）
已知，．
（1）当为何值时，与垂直？
（2）若，，且，，三点共线，求的值．
18．（17分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）求的取值范围．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作：，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
（1）分别根据下列条件求；
①，；②，；
（2）若向量，求证：；
（3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
①当时，求的最大值；
②写出的最大值．（只需写出结果）
银川市2023-2024学年第二学期高一年级期中考试
数学试题参考答案
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【解析】“命题：向量，平行”等价于“向量，所在的直线平行或重合”，所以是的充分不必要条件．
2．【解析】
法一：，所以．
法二：根据，所以．
3．【解析】易得，，
则．
4．【解析】由正弦定理，
又，即，
所以，即，即．
5．如图，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，所以，，
所以，即，即①，
，即，即②，
①-②得：，所以，
所以．
6．【解析】设，
在中，，在中，，
在中，，解得．
7．【解析】
因为为的中点，，所以．
8．【解析】，
，
所以
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．【解析】已知，，若与共线，则，解得，A正确；
当时，，，则错误，B错误；
模长与共线没有任何关系，C错误，
为锐角，则，解得，D正确．
10．【解析】，所以A正确；
，B正确；
，C正确：
，其共轭复数为，D错误．
11．【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
所以，，，所以A正确；
，，，
即，解得，所以，B错误；
，，，，
所以，C错误；
设，所以，，
所以，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为40，
所以的取值范围是，D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【解析】，
若是实数，则，所以
13．【解析】，，若与为共线向量，则，解得．
14．【解析】因为，所以．
因为，，三点共线，所以，
所以．
当且仅当，即时，等号成立．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】
（1），所以．
（2）连接并延长交于，则在等边三角形中，，
所以，
所以，
所以．
16．【解析】
（1）由正弦定理，因为，所以，
所以，即的周长为．
（2）由余弦定理，即，解得，
所以．
17．【解析】
（1），，
当与垂直时，，即，解得，
所以当时，与垂直．
（2），，
若，，点共线，则，即，解得．
18．【解析】
（1）根据正弦定理，
即，即，所以，
又，所以．
（2）因为，所以，所以，其中，
所以，
因为，所以，所以．
19．【解析】
（1）①；
②，所以．
（2），
因为，即，，所以与，不平行，
所以．
，
所以．
（3）①当时，不妨设，，设，
所以
所以当时，取得最大值为．
②的最大值为．
．