初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）16.3 角的平分线授课ppt课件

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）16.3 角的平分线授课ppt课件，共20页。PPT课件主要包含了学习目标，学习重难点，熟练对定理进行应用，问题引入，新知探究，一起探究，角平分线的性质定理，做一做，例题示范，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握角平分线的性质定理.2.理解并掌握角平分线性质定理的逆定理.3.会用尺规作图的方法作角平分线.
掌握角平分线的性质定理及逆定理.
角是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，对称轴是哪条直线？角的平分线有哪些性质？这些都是我们需要学习研究的内容.
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
猜想：PC = PD
∵OP平分∠AOB，（已知） ∴∠AOP =∠BOP.（角平分线定义） 又∵PC⊥OA，PD⊥OB，（已知） ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义） 在△PCO和△PDO中， ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD .
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
知识点2 角平分线的性质定理的逆定理
（1）写出角平分线的性质定理的逆命题.（2）根据这个逆命题的内容，画出图形.（3）结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想.（4）设法验证你的猜想.
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），　 ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中　 QO＝QO（公共边） QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
角平分线性质定理的逆定理
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
知识点3 作已知角的平分线
例 如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：如图.（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.（2）分别以点D，E为圆心，适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C.（3）作射线OC.射线OC即为所求.
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
2.如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（1）求△APB的面积；（2）求∆PDB的周长.
解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB, 由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
（2）在Rt△APC和Rt△APD中， PC=PD，AP=AP，
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB于E，且 PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，∴ PM= PE.同理，PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6. 即AD与BC之间的距离为6.