初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形教课ppt课件

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形教课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，学习重难点，情景引入，新知引入，等腰三角形的性质定理，等边三角形的性质定理，例题解析，随堂练习，拓展提升，归纳小结等内容，欢迎下载使用。
1.了解等腰三角形、等边三角形的概念.2.探索证明等腰三角形的性质并掌握.3.掌握等边三角形的性质.
等腰三角形、等边三角形性质的探究及应用.
等腰三角形性质的证明.
在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外延形状等.
知识点1 等腰三角形的有关概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
如图，△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC.（1）我们知道，线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称轴.由AB=AC，可知道点A在BC的中垂线上.据此，你认为△ABC是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？（2）∠B和∠C有怎样的关系？（3）底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系？
不难发现，等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，∠B=∠C，底边上的高、中线和顶角的平分线三线重合.
等腰三角形的两个底角相等.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
知识点2 等腰三角形的性质定理
证明：如图，作∠A的平分线AD.在△ABD和△ACD中，∵ AB=AC（已知）， ∠1=∠2（角平分线概念）， AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）.
从上面的证明过程还知道：BD=CD（全等三角形的对应边相等），∠ADB=∠ADC.（全等三角形的对应角相等）.因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.因此，∠A的平分线AD，也是△ABC底边BC上的中线和高.
等腰三角形的两个底角相等.（简称“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.（简称“三线合一”）
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．　
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
1.在△ABC中，AB＝AC.（1）若∠A＝40°，则∠C等于多少度？（2）若∠B＝72°，则∠A等于多少度？
解：（1）∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.∵AB＝AC，∴∠B=∠C=140°÷2=70°.（2）∵AB＝AC，∴∠B=∠C=72°.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（　　）．A．８０°　　　　B．６０°C．５０°　　　　D．４０°
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60°　C.85° D.95°
４.如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度数.
（1）证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB =∠ACD=90°.∵AC =AC，BC =DC，∴△ACB≌△ACD（SAS）.∴AB=AD.∴△ABD是等腰三角形.
（2）解：∵AC =BC，∠ACB =90°，∴∠B =∠BAC=45°.同理，∠D=∠DAC=45°.∴∠BAD =∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°.
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°
2.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数.
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形 第2课时
1.探索并证明等腰三角形、等边三角形判定定理.2.会运用判定定理进行简单的证明.3.了解等腰三角形的尺规作图.
理解和运用等腰三角形、等边三角形的判定定理.
等腰三角形、等边三角形判定定理的探索与应用.
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
知识点1 等腰三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.（1）请你作出∠BAC的平分线AD.（2）将△ABC沿AD所在直线折叠，△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗？（3）由上面的操作，你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系？
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：如图，作∠A的平分线，交BC于点D.在△ABD和△ACD中，∵ ∠B=∠C（已知）， ∠BAD=∠CAD（角平分线概念）， AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简称“等角对等边”）
1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？说出你的理由.2.有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗？说出你的理由.
知识点2 等边三角形的判定定理
已知：如右图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，∴AC =BC， AB=AC（等角对等边）．∴AB =BC =AC．∴△ABC 是等边三角形．
证明：①当∠A=60°时，∵AB=AC， ∴∠B＝∠C，∵在△ABC中，∠A= 60 °，∴∠B＝∠C＝ ½（180。-∠A） = 60°.∴∠A= ∠ B =∠C.∴△ABC是等边三角形.②当∠B=60°（或∠C=60°）时，∵AB=AC， ∴∠B＝∠C=60°，∴∠A（180。-∠B-∠C） = 60°.∴∠A= ∠ B =∠C.∴△ABC是等边三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A，∠B，∠C中有一个角为60°.求证：△ABC是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例2已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.如图，已知线段a和h.求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h.　
分析：先作出线段BC=a，再作出BC的垂直平分线.在这条垂直平分线上截取点A，使点A到BC的距离=h，连接相关点即得.
作法：如图.（1）作线段BC=a.（2）作BC的垂直平分线MD，垂足为D.（3）在DM上截取DA=h.（4）连接AB，AC.△ABC即为所求.
1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 (　　)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.下列条件中,不能得到等边三角形的是(　 　)A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形C.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形
3.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∴∠EAD=∠EDA，∵AD⊥BD，∴∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形.
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　　　） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°C. ∠A＝30°，∠B＝90°D. ∠A＝80°，∠B＝60°
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，D是BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AEF=90°，∵∠B=60°，∴∠D=30°.∵CD=CF，∴∠D=∠CFD=30°（等边对等角），∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°，∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.