新高考数学一轮复习考点分层练习第3章进阶篇不等式恒(能)成立问题进阶4端点失效（含答案解析）

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1.(17分)已知函数f(x)=excs x，当x>0时，f(x)≥ex(cs x-1)+x2+(a-1)x+1恒成立，求实数a的取值范围.
2.(17分)已知函数f(x)=sin x-x+ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
答案精析
1. 解 方法一 (分离参数)
由f(x)≥ex(cs x-1)+x2+(a-1)x+1，可得ax≤ex-x2+x-1，
即当x>0时，a≤exx-x-1x+1恒成立.
设g(x)=exx-x-1x+1(x>0)，
则g'(x)=ex(x−1)−x2+1x2=(x−1)(ex−x−1)x2.
令φ(x)=ex-x-1，则当x∈(0，+∞)时，φ'(x)=ex-1>0，
所以当x∈(0，+∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，
则当x∈(0，1)时，g'(x)0，
①若a=1，h'(x)=(−x+1)(x−1)ex=−(x−1)2ex，
因为(x-1)2≥0，ex>0，
所以h'(x)≤0，h(x)=1+(a−1)x+x2ex在(0，+∞)上单调递减，h(x)0时，ex>x+1知，e2-a>3-a，
即h(2-a)=3−ae2−a