新高考数学一轮复习考点分层练习第三章进阶篇不等式证明方法进阶4极值点偏移(一)（含答案解析）

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1.(17分)已知f(x)=ln x-ax，其中a>0.
(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；(6分)
(2)若f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2a.(11分)
2.(17分)(2024·常州模拟)已知函数f(x)=xln x-12ax2(a>0).
(1)若函数f(x)在定义域内为减函数，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x11a.(11分)
答案精析
1.(1)解 f'(x)=1x-a=1−axx，
所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，+∞上单调递减，f(x)max=f 1a=ln1a-1=-ln a-1，
当x→0+时，f(x)→-∞，
当x→+∞时，f(x)→-∞.
由于f(x)有两个零点，
所以-ln a-1>0，
即00，
当x∈1a，+∞时，g'(x)0，
即a(x2+x1)>2-ln a，
从而x1x2>1a.