新高考数学一轮复习考点题型训练 8.3直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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【知识必备】
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【题型精讲】
【题型一 直线与圆位置关系判断】
必备技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
例1 （2022·全国·高三专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【跟踪精练】
1. （2022·青岛高三月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．无法确定
2. (多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦长为4
【题型二 弦长和面积问题】
必备技巧 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
例2 （2022·青岛高三模拟）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
例3（2022·山东日照高三模拟）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是( )
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
【跟踪精练】
1. 设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
2. （2022·全国高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________.
【题型三 切线及切线长问题】
方法技巧 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
例4 （2022·全国高三专题练习）已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________.
例5 （2022·广东深圳市·高三二模）已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【题型精练】
1．（2022·全国·高三专题练习）由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
2. （多选题）（2022·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
【题型四 圆与圆的位置关系】
例6 （2022·全国高三专题练习）若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
例7 （2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. 已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. （2022·山东青岛高三月考）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|