新高考数学一轮复习核心考点练习第2章§2.1函数的概念及其表示（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
【名师点拨】
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数.( )
(2)函数就是定义域到值域的对应关系.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)错误.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3≥0，,2－x≥0))无解，可知其说法错误.
(2)错误.根据函数的概念可知其错误.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
2.以下图形中,不是函数图象的是( )
【答案】A
【解析】根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.
3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是( )
A.y＝x＋33−x与y＝x＋33−x
B.y＝x2与y＝(x－1)2
C.y＝x2与y＝x
D.y＝1与y＝x0
【答案】BCD
【解析】对于A选项,y＝x＋33−x的定义域是[－3,3),y＝x＋33−x的定义域是[－3,3),并且x＋33−x＝x＋33−x,所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数；
对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数；
对于C选项,y＝x2＝|x|,所以两函数的对应关系不同,所以不是同一个函数；
对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
4.已知函数f(x)＝x2,x≤1,lg4x,x>1,则f(f(－2))＝ .
【答案】1
【解析】因为f(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝lg44＝1.
【易错提醒】防范四个易错点
(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.
【必练核心题型】
题型一 函数的概念
例1.(多选)下列选项中正确的是( )
A.函数f(x)＝1x＋1－x的定义域为[0,＋∞)
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y＝x2−1x＋1与函数y＝x－1表示同一个函数
D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同
【答案】ABD
【解析】对于A,由题意x＋1≠0,x≥0,解得x≥0,A正确；
对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确；
对于C,函数y＝x2−1x＋1的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数,C错误；
对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确.
例2.若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为 .
【答案】12,32
【解析】若函数f(x)的定义域为(1,3),
则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈12,32.
【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.
【变式训练】
变式1.函数f(x)＝1x−2＋ln(x－1)的定义域为( )
A.(1,＋∞)B.(1,2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,1)D.(0,2)∪(2,＋∞)
【答案】B
【解析】因为f(x)＝1x−2＋ln(x－1),
所以要使函数有意义,则x−1>0,x−2≠0,
解得x>1且x≠2,
所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞).
变式2.(多选)下列命题中是假命题的是( )
A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)＝x−3＋2−x是函数
C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3)
D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1t是同一个函数
【答案】ABC
【解析】对于A,因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点,横坐标和纵坐标都是整数)组成的,A错误；
对于B,因为要使2−x与x−3有意义,则2−x≥0,x−3≥0,不等式组无解,所以由函数的定义可得f(x)＝x−3＋2−x不是函数,B错误；
对于C,由f(x)的定义域为(－1,2)可得－1