2026年四川省乐山市中考数学试卷及答案

这是一份2026年四川省乐山市中考数学试卷及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面几何体中，是球体的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各数是不等式x﹣1＞0的解的是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
3．（3分）2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109B．1.2×1010C．1.2×1011D．1.2×1012
4．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
5．（3分）一个布袋里放着3个红球和2个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（ ）
A．35B．25C．13D．23
6．（3分）若实数a、b满足a−2+(b+3)2=0，则ab的值是（ ）
A．1B．﹣1C．6D．﹣6
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF．若S△DEF＝1，则S△ABC＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC
9．（3分）若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（ ）
A．a2−b2a2+ab+b2B．aba+b
C．ab−1D．3ba2+b2
10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：
①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；
②二次函数的顶点坐标是(b2，c−b24)；
③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；
④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）﹣3的相反数是 ．
12．（3分）sin30°＝ ．
13．（3分）一组数据3，7，9，12，15的中位数是 ．
14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，则x1x2＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝ ．
16．（3分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为四边形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有 （填序号）；
①1；②25；③36．
（2）我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．已知N(n，3)=12n2+12n，N（n，4）＝n2，则N（n，5）＝ ．（用含有n的代数式表示）
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（9分）计算：|−2|+4．
18．（9分）解方程组：2x+y=5x+y=1．
19．（9分）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x2．
20．（10分）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．
21．（10分）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，表中m的值为 ；
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．
（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tanD=34，⊙O的半径为3，求AD的长．
24．（10分）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．
【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．
表中a＝ ，正六边形 （填“能”或“不能”）铺满地面．
【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．
图中，②号三角形可看成①号三角形通过 （填“平移”或“旋转”）得到；
③号三角形可看成①号三角形通过 （填“平移”或“旋转”）得到．
【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝1，点P在线段CD上（点P不与点D重合）．连结AP，将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，点D的对应点为D′．
（1）求AD'的长度；
（2）求证：当DP＝1时，四边形AD′PD为正方形；
（3）若点Q在线段AB上，且BQ=DP=a(0＜a≤3)，连结CQ，将△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，点B的对应点为B'．设点B'与点D'之间的距高为d，求d的取值范围．
26．（13分）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点．
①若A、B两点到直线l距离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若∠DPE＝90°，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
2026年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）下面几何体中，是球体的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】逐项判断四个选项的形状即可．
【解答】解：A．原图是圆柱，故本选项不符合题意；
B．原图是圆锥，故本选项不符合题意；
C．原图是球，故本选项符合题意；
D．原图是三棱锥，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握图形的形状是解题的关键．
2．（3分）下列各数是不等式x﹣1＞0的解的是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：由x﹣1＞0得，x＞1，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
3．（3分）2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109B．1.2×1010C．1.2×1011D．1.2×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1200000000000＝1.2×1012．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2＝∠1＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
5．（3分）一个布袋里放着3个红球和2个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（ ）
A．35B．25C．13D．23
【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总数即可．
【解答】解：布袋中球的总数为：3+2＝5（个），
因此从布袋中任取1个球，取出红球的概率是35．
故选：A．
【点评】本题考查简单概率的计算，掌握概率公式是解题的关键．
6．（3分）若实数a、b满足a−2+(b+3)2=0，则ab的值是（ ）
A．1B．﹣1C．6D．﹣6
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b，计算即可．
【解答】解：∵a−2+（b+3）2＝0，a−2≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
则ab＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是非负数的性质，灵活运用算术平方根、偶次方的非负性是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF．若S△DEF＝1，则S△ABC＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由三角形中位线定理推出DEAC=EFAB=DFBC=12，判定△DEF∽△CAB，推出S△DEFS△CAB=(12)2，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，EF=12AB，DF=12BC，
∴DEAC=EFAB=DFBC=12，
∴△DEF∽△CAB，
∴S△DEFS△CAB=(12)2，
∵S△DEF＝1，
∴S△ABC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出△DEF∽△CAB．
8．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC
【分析】本题已知四边形ABCD是平行四边形，需判断添加哪个条件后不能确定其为菱形．根据菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形为菱形），逐一分析选项：
A项：AB＝AD（邻边相等），结合平行四边形对边相等的性质，可推出四边相等，符合菱形定义；
B项：AC⊥BD（对角线互相垂直），直接满足“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定；
C项：AC＝BD（对角线相等），此条件仅能判定平行四边形为矩形（矩形不一定是菱形，除非邻边也相等）；
D项：∠BAC＝∠DAC，结合平行四边形对边平行的性质，可推出邻边相等（AB＝BC），进而判定为菱形．
综上，只有添加“AC＝BD''时，无法确定四边形ABCD是菱形，
故选：C．
【解答】A项，增加条件AB＝AD，
因为四边形ABCD是平行四边形，
根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．
故A项表述正确．
B项，增加条件AC⊥BD，
根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．
故B项表述正确．
C项，增加条件AC＝BD，
由“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形，
当矩形ABCD不是正方形时，矩形ABCD就不是菱形．
故C项表述错误．
D项，增加条件∠BAC＝∠DAC，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠ACB＝∠DAC，
所以∠ACB＝∠BAC，
所以AB＝BC．
根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．
故D项表述正确．
故选：C．
【点评】题目考查了菱形的判定、平行四边形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
9．（3分）若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（ ）
A．a2−b2a2+ab+b2B．aba+b
C．ab−1D．3ba2+b2
【分析】根据题意及分式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：A．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为(2a)2−(2b)2(2a)2+2a⋅2b+(2b)2=4a2−4b24a2+4ab+4b2=4(a2−b2)4(a2+ab+b2)=a2−b2a2+ab+b2，故本选项符合题意；
B．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为2a⋅2b2a+2b=4ab2(a+b)=2aba+b，故本选项不符合题意；
C．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为2a2b−1，故本选项不符合题意；
D．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为3×2b(2a)2+(2b)2=6b4a2+4b2=3b2a2+2b2，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：
①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；
②二次函数的顶点坐标是(b2，c−b24)；
③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；
④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故可判断①；
②依据题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x=−b2，可得顶点坐标为（−b2，c−b24），故可判断②；
③依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=−b2，从而|﹣1+b2|＞|3+b2|，可得当b2＜−3时，即b＜﹣6，则1−b2＞−3−b2，符合题意；当﹣3≤b2≤1时，即﹣6≤b≤2，则1−b2＞3+b2，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；当b2＞1时，即b＞2，则b2−1＞3+b2，无解，故b＜﹣2，从而可以判断③；
④依据题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，可得m=x12+bx1+c，n=x22+bx2+c，从而m﹣n＝（x12+bx1+c）﹣（x22+bx2+c）=x12+bx1−x22−bx2，则m﹣n的值与c无关，故可判断④．
【解答】解：①由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故①正确；
②由题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x=−b2，
∴顶点坐标为（−b2，c−b24），故②错误；
③∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=−b2，
∴|﹣1+b2|＞|3+b2|．
∴当b2＜−3时，即b＜﹣6，则1−b2＞−3−b2，符合题意；
当﹣3≤b2≤1时，即﹣6≤b≤2，则1−b2＞3+b2，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；
当b2＞1时，即b＞2，则b2−1＞3+b2，无解，
∴b＜﹣2，故③错误；
④由题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，
不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，
∴m=x12+bx1+c，n=x22+bx2+c，
∴m﹣n＝（x12+bx1+c）﹣（x22+bx2+c）
=x12+bx1−x22−bx2．
∴m﹣n的值与c无关，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）﹣3的相反数是 3 ．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
12．（3分）sin30°＝ 12 ．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°=12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值进行求解是解决本题的关键．
13．（3分）一组数据3，7，9，12，15的中位数是 9 ．
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排序为3，7，9，12，15，
共5个数据，第三个数据为中位数，
∴这组数据的中位数为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是熟练运用中位数的知识点求解．
14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，则x1x2＝ 3 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，
所以x1x2=31=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝ 5 ．
【分析】由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10，由∠ABC＝90°，D是AC的中点，可得BD=12AC=5．
【解答】解：由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10，
∵∠ABC＝90°，
D是AC的中点，
∴BD=12AC=5．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．（3分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为四边形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有 ①③ （填序号）；
①1；②25；③36．
（2）我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．已知N(n，3)=12n2+12n，N（n，4）＝n2，则N（n，5）＝ 32n2−n2 ．（用含有n的代数式表示）
【分析】（1）根据图形规律即可得出答案；
（2）设N（n，5）＝an2+bn+c，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）第一行的三角形数分别为1，3，6，10，15，21，28，36，⋯⋯
第二行的四边形数分别为1，4，9，16，25，36，49，⋯⋯
第三行的五边形数分别为1，5，12，22，35，51，⋯⋯
故1和26既是三角形又是四边形数．
故答案为：①③．
（2）设N（n，3）=12n2+12n，N（n，4）＝n2都是n的二次函数，
∴N（n，5）也是n的二次函数，
则设N（n，5）＝an2+bn+c，
则a+b+c=14a+2b+c=59a+3b+c=12，
解得：a=32b=−12c=0，
∴N（n，5）=32n2−n2．
故答案为：32n2−n2．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类、数学常识、多边形，找出规律是解题的关键．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（9分）计算：|−2|+4．
【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：|−2|+4
＝2+2
＝4．
【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．（9分）解方程组：2x+y=5x+y=1．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：2x+y=5，①x+y=1．②，
①﹣②得：x＝4，
把x＝4代入②得：4+y＝1，
解得：y＝﹣3，
故原方程组的解为x=4y=−3．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19．（9分）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x2．
【分析】利用平方差公式计算后再合并同类项即可．
【解答】解：（x+3）（x﹣3）﹣x2
＝x2﹣9﹣x2，
＝﹣9．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（10分）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．
【分析】根据已知条件及AB是△ABC和△ABD是公共边可依据“SAS”判定△ABC和△ABD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：在△ABC和△ABD中，
AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC＝BD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
21．（10分）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 60 人，表中m的值为 18 ；
（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．
【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；
（2）利用画树状图法或列表法求解即可；
【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有12÷20% ＝60（人），
故表中m的值为60﹣21﹣9﹣12＝18，
故答案为：60，18；
（2）由题可列表：
∴P（恰好选到课程A和课程B)=16．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，统计表，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．
（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）将 P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）代入一次函数解析式即可求出a、b的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；
（2）设一次函数y＝﹣x+1与x轴相交于点A，先求出A点坐标，再根据S△POQ＝S△AOP+S△AOQ计算求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象经过点P（﹣1，a）、Q（b，﹣1），
∴﹣（﹣1）+1＝a，﹣b+1＝﹣1，解得a＝2，b＝2，
∴P（﹣1，2）、Q（2，﹣1），
∵反比例函数y=kx的图象经过点P（﹣1，2），
∴k＝﹣2，
∵反比例函数的表达式为y=−2x；
（2）如图，设一次函数y＝﹣x+1与x轴相交于点A，与y轴交于点B，
令y＝0，则 x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1，
又∵P（﹣1，2），Q（2，﹣1），
∴S△POQ=S△AOP+S△AOQ=12×1×2+12×1×1=32．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tanD=34，⊙O的半径为3，求AD的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，则可证明∠ACD＝∠BCO，由直径所对的圆周角是直角得到∠ACO+∠BCO＝90°，则可证明∠ACD+∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，据此可证明CD为⊙O的切线；
（2）解直角三角形得到CD＝4，由勾股定理可得OD＝5，再由线段的和差关系可得答案．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCO，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCD＝90°，
∵tanD=34，⊙O的半径为3，
∴OCCD=34，即3CD=34，
∴CD＝4，
∴OD=OC2+CD2=32+42=5，
∴AD＝OD﹣OA＝5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．
24．（10分）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．
【感知密铺】
同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．
表中a＝ 120° ，正六边形 能 （填“能”或“不能”）铺满地面．
【探导密铺】
同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．
图中，②号三角形可看成①号三角形通过 平移 （填“平移”或“旋转”）得到；
③号三角形可看成①号三角形通过 旋转 （填“平移”或“旋转”）得到．
【创作密铺】
最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．
【分析】【感知密铺】根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面；
【探导密铺】根据平移与旋转的特征判断即可；
【创作密铺】先画AB和AD为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可．
【解答】解：【感知密铺】正六边形的内角和720°，则正六边形每个内角的大小a=720°6=120°，
∵3×120°＝360°，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，
∴正六边形能铺满地面，
故答案为：120°；能；
【探导密铺】②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；
③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到，
故答案为：平移，旋转；
【创作密铺】点A位置的密铺设计图如图：
【点评】本题主要考查了作图—应用与设计作图，多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺），平移的性质，相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝1，点P在线段CD上（点P不与点D重合）．连结AP，将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，点D的对应点为D′．
（1）求AD'的长度；
（2）求证：当DP＝1时，四边形AD′PD为正方形；
（3）若点Q在线段AB上，且BQ=DP=a(0＜a≤3)，连结CQ，将△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，点B的对应点为B'．设点B'与点D'之间的距高为d，求d的取值范围．
【分析】（1）根据翻折得到AD'＝AD＝1；
（2）根据翻折得到AD'＝AD＝1，D'P＝DP＝1，则AD'＝AD＝D'P＝DP，推出四边形AD'PD是菱形，最后根据∠D＝90°，得到四边形AD'PD是正方形；
（3）①当B'与D'重合时，此时d＝0最小．②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时，根据折叠证明四边形AB'CD'是矩形，得到d＝B′D′＝AC＝2，此时最大，即可得到点B'与点D'之间的距离为d的取值范围0≤d≤2．
【解答】（1）解：∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，
∴AD'＝AD，
又∵AD＝1，
∴AD'＝1；
（2）证明：法一：∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P，
∴AD'＝AD＝1，D'P＝DP＝1
∴AD'＝AD＝D'P＝DP，
∴四边形AD′PD是菱形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°
∴四边形AD′PD是正方形；
法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
又∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，
∴∠AD'P＝∠D＝90°，∠DAP＝∠D'AP，
∵DP＝AD＝1，
∴∠DAP＝45°，
∴∠DAP＝∠D'AP＝45°，
∴∠DAD'＝2∠DAP＝90°，
∴四边形AD′PD是矩形，
又∵DP＝AD，
∴四边形AD′PD是正方形；
（3）解：①当B′与D'重合时，
此时d＝0．
②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD＝1，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，CD=AB=3，AD＝BC＝1，
∴AC=AB2+BC2=(3)2+12=2，
由折叠可得，
AD'＝AD＝1，AB=AB′=3，CD'＝CD=3，CB＝CB'＝1，∠AD'C＝∠ADC＝90°，∠AB'C＝∠ABC＝90°，
∴CB'＝AD'＝1，AB'＝CD'=3，
∴四边形AB′CD'是平行四边形，
∵∠AD'C＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形AB′CD'是矩形，
∴B'D'＝AC，
∴d＝B'D'＝AC＝2，
∴0≤d≤2．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
26．（13分）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点．
①若A、B两点到直线l距离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若∠DPE＝90°，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，即可得解；
（2）①设直线l与x轴交于点F，过点A作AG⊥DE，过点B作BH⊥DE，垂足分别为G、H．易证△AGF≌△BHF（AAS），可得点F为AB中点，即可得解；
②构造三垂直相似再结合一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．
∴令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0）．
（2）①如图，设直线l与x轴交于点F，过点A作AG⊥DE，过点B作BH⊥DE，垂足分别为G、H．
∴∠AGF＝∠BHF＝90°．
又∵A、B两点到直线l的距离相等，
∴AG＝BH．
又∵∠AFG＝∠BFH，
∴△AGF≌△BHF（AAS），
∴AF＝BF，即点F为AB中点．
∴定点F（1，0）．
②如图，过点P作直线m∥x轴过点D、E分别作m的垂线段，垂足分别为M、N，
∵∠DMP＝∠PNE＝90°
∴∠MDP+∠MPD＝90°
又∵∠DPE＝90°，
∴∠DPM+∠EPN＝90°
∴∠DPM＝∠PEN．
∴△DPM∽△PEN．
∴DMPN=MPEN．
设D(x1，x12−2x1−3)，E(x2，x22−2x2−3)，
∵MP＝1﹣x1，PN＝x2﹣1，
DM=x12−2x1−3−(−4)−(x1−1)2，EN＝x22﹣2x2﹣3﹣（﹣4）＝（x2﹣1）2，
∴(x1−1)2x2−1=1−x1(x2−1)2．
化简得x1+x2﹣x1x2＝2．
联立y=kx+by=x2−2x−3
可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1x2＝﹣3﹣b．
∴b＝﹣3﹣k．
∵y＝k（x﹣1）﹣3．
∴直线l过定点（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与x轴交点坐标、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、二次函数与直线交点问题、一元二次方程根与系数的关系等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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内容
人数
A
《论语》
21
B
《史记》
9
C
《天工开物》
12
D
《九章算术》
m
正多边形的边数
3
4
5
6
…
正多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
正多边形每个内角的大小
60°
90°
108°
a
…
课程
内容
人数
A
《论语》
21
B
《史记》
9
C
《天工开物》
12
D
《九章算术》
m
第一次第二次
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
正多边形的边数
3
4
5
6
…
正多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
正多边形每个内角的大小
60°
90°
108°
a
…