2026年四川省泸州市中考数学试卷及答案

这是一份2026年四川省泸州市中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列四个数中，是整数的是（ ）
A．2026B．−12026C．2026D．2.026
2．（4分）据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（ ）
A．1.29×106B．12.9×107C．1.29×107D．1.29×108
3．（4分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a3）2＝a5
C．2a6÷a2＝2a3D．a2•a4＝a6
5．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
6．（4分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝ODB．AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BDD．OA＝OC，OB＝OD
7．（4分）不等式组x+3＞52x−1＜8的所有整数解的和为（ ）
A．3B．5C．7D．9
8．（4分）若方程2x=1x−1的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（ ）
A．−12B．12C．32D．2
9．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
10．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3−22B．32−2C．6−42D．2−22
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则S△BCDS△ABC的值为（ ）
A．5−14B．3−52C．4−55D．5−12
12．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：A(2，12)，B(−3，−13)都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；
②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；
③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；
④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）分解因式：x2﹣1＝ ．
14．（4分）函数y=x−5自变量x的取值范围是 ．
15．（4分）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为 ．
16．（4分）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是 ．
17．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为 ．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18．（8分）计算：4sin30°+3−1+(π+2)0−|−13|．
19．（8分）化简：c2+2c+1c−1⋅(1−2c+1)．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值；
（3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？
21．（10分）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元．
（1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？
（2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？
22．（10分）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23．（12分）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．
（1）求该轮船的航行速度；
（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC．
（1）求证：∠CAD＝∠BCD；
（2）若AE∥CD，BD＝3，sinD=23，求EF的长．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1对称，求二次函数的解析式；
（2）当a=23时，该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积；
（3）当b＝1时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在0≤x≤1上的最大值m的取值范围．
2026年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列四个数中，是整数的是（ ）
A．2026B．−12026C．2026D．2.026
【分析】先判断各个选项中的数是哪种实数，再判断是不是整数即可．
【解答】解：∵2026不是平方数，
∴2026不是整数，
∵−12026是分数，2.026是小数，2026是整数，
∴B，C，D选项不符合题意，A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数，解题关键是熟练掌握实数的有关定义．
2．（4分）据教育部网站消息，2026年全国高考报名人数为1290万人，将数据12900000用科学记数法表示为（ ）
A．1.29×106B．12.9×107C．1.29×107D．1.29×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12900000＝1.29×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：A．该图形左视图是正方形，故此选项不符合题意；
B．该图形左视图是三角形，故此选项符合题意；
C．该图形左视图是矩形，故此选项不符合题意；
D．该图形左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．（a3）2＝a5
C．2a6÷a2＝2a3D．a2•a4＝a6
【分析】利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，单项式除以单项式法则逐项判断即可．
【解答】解：2a+3a＝5a，则A不符合题意，
（a3）2＝a6，则B不符合题意，
2a6÷a2＝2a4，则C不符合题意，
a2•a4＝a6，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠ACB，然后利用AB⊥BC得到∠CBA＝90°，最后利用角的和差关系求解∠CAB的度数，再由邻补角和角平分线的性质可得答案．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ACB，
∵∠1＝40°，
∴∠ACB＝40°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠2=12（180°﹣∠CAB）=12（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠ACB的度数．
6．（4分）▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列结论中一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝ODB．AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC＝BDD．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据平行四边形的性质得OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，则选项D一定成立，符合题意，由于平行四边形的对角线不一定相等，因此选项A不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角线不一定垂直，因此选项B不一定成立，不符合题意，由于平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，因此选项C不一定成立，不符合题意．综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
故选项D一定成立，符合题意；
对于选项A，
∵平行四边形的对角线不一定相等，
∴OA＝OB＝OC＝OD不一定成立，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，
∴AC⊥BD不一定成立，故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵平行四边形的对角线不一定垂直，也不一定相等，
∴AC⊥BD，AC＝BD不一定成立，
故选项C不符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
7．（4分）不等式组x+3＞52x−1＜8的所有整数解的和为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】解各不等式求得对应的解集后求得它们的公共部分，然后确定其所有整数解，最后把它们相加并计算即可．
【解答】解：解第一个不等式得x＞2，
解第二个不等式得x＜4.5，
故原不等式组的解集为2＜x＜4.5，
其整数解为3，4，
则3+4＝7，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
8．（4分）若方程2x=1x−1的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，则a的值为（ ）
A．−12B．12C．32D．2
【分析】将分式方程去分母后化为整式方程，解得x的值并检验后代入ax＝1﹣x中，解得a的值即可．
【解答】解：将分式方程去分母得：2x﹣2＝x，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的解，
∵方程2x=1x−1的解是关于x的方程ax＝1﹣x的解，
∴2a＝1﹣2，
解得：a=−12，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
9．（4分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD＝40°，∠AEC＝65°，则∠CBD＝（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ACD＝∠ABD＝40°，再利用三角形内角和定理可得：∠CAE＝75°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC＝15°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠ACD＝75°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAE＝15°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．（4分）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3−22B．32−2C．6−42D．2−22
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果．
【解答】解：设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝2，由勾股定理得：
c=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×2=32=42，
∵三角形的面积S=12ab=12ar+12br+12cr，
∴直角三角形的内切圆半径公式为r=aba+b+c，代入得：r=26+42=3−22，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根与系数的关系，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则S△BCDS△ABC的值为（ ）
A．5−14B．3−52C．4−55D．5−12
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC，
∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ABBD=BCDC．
又∵AD＝BD，
∴ACAD=ADCD．
令AC＝k，
则k（k﹣AD）＝AD2，
解得AD=−k+5k2（舍负），
∴BCAB=ADAB=5−12，
∴S△BCDS△ABC=（BCAB）2=(5−12)2=3−52．
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：A(2，12)，B(−3，−13)都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数y＝3x的图象上存在2个“倒数点”；
②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；
③函数y＝2x2+1的图象上存在1个“倒数点”；
④若函数y＝kx+2的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据“倒数点”定义，若（x，y）为倒数点，则满足xy＝1（x≠0），即y=1x，联立各函数与y=1x，判断方程解的个数，逐个验证结论即可．
【解答】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即y=1x，
①联立xy=1y=3x，则3x=1x，
整理得3x2＝1，
解得x=±33，
∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确；
②联立xy=1y=|x−1|，
∵y＝|x﹣1|≥0，
∴x＞0，
当x≥1时，x−1=1x，整理得x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0，
解得x1=1+52，x2=1−52，
正根x=1+52＞1，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③联立xy=1y=2x2+1，
∴1x=2x2+1，
画出函数y=1x和y＝2x2+1图象的草图如图所示：
∴由图象知：函数y=1x和y＝2x2+1图象有唯一的交点，
∴1x=2x2+1有唯一的解，
∴存在1个倒数点，故③正确；
④联立xy=1y=kx+2，
整理得kx2+2x﹣1＝0，
当k＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x=12，y＝2，满足12×2=1，是倒数点，
此时k＝0＞﹣1，故④错误；
综上，正确的结论共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）分解因式：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
14．（4分）函数y=x−5自变量x的取值范围是x≥5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5
【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．
15．（4分）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为 12 ．
【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD＝6，再根据三角形中位线定理得到EH＝GF=12BD=12×6＝3，EF＝GH=12AC=12×6＝3，最后求出中点四边形的周长即可．
【解答】解：已知矩形的对角线长为6，如图，
∴AC＝BD＝6，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，
∴EH＝GF=12BD=12×6＝3，EF＝GH=12AC=12×6＝3，
∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，解答本题的关键要明确：三角形的中位线等于第三边的一半．
16．（4分）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是 13 ．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数为4，
所以抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率=412=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
17．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为 829． ．
【分析】根据正方形性质证明△ADE≌△BAF，得出AF⊥DE，等积法求出AM的长，勾股定理求出DM的长，证明△AND∽△FNB，推出DN=23BD，连接BG，易得四边形DEBG为平行四边形，得到BG∥DE，BG=DE=25，证明△DMP∽△BGP，推出DP=49BD，进而得到NP=DN−DP=23BD−49BD=29BD，勾股定理求出BD的长，即可得出结果．
【解答】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2，
在△ADE和△BAF 中，
AD=AB∠DAE=∠ABF，AE=BF
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF，
∴∠ADE+∠DAF＝90°
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2+AE2=42+22=25，
∵S△ADE=12AD⋅AE=12DE⋅AM，
∴AM=AD⋅AEDE=4×225=455，
∴DM=AD2−AM2=855，
∵AD∥BC，
∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF，
∴△AND∽△FNB，
∴DNBN=ADBF=42=2，
∴DN=23BD，
连接BG，
∵AB∥CD，BE＝DG＝2，
∴四边形DEBG为平行四边形，
∴BG∥DE，BG=DE=25，
∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB，
∴△DMP∽△BGP，
∴DPBP=DMBG=45，
∴DP=49BD，
∴NP=DN−DP=23BD−49BD=29BD，
在Rt△ABD 中，BD=AB2+AD2=42+42=42，
∴NP=29×42=829，
故答案为：829．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18．（8分）计算：4sin30°+3−1+(π+2)0−|−13|．
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝4×12+13+1−13
＝2+13+1−13
＝3．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（8分）化简：c2+2c+1c−1⋅(1−2c+1)．
【分析】先把卡号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式=(c+1)2c−1•c+1−2c+1
=(c+1)2c−1•c−1c+1
＝c+1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）m＝ 7.4 ，n＝ 7.5 ；
（2）求乙运动员第3次的射击成绩，并求出t的值；
（3）若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？
【分析】（1）根据平均数与中位数的含义求解即可；
（2）根据平均数的含义建立方程求解第三次的成绩，再根据众数的含义求解t；
（3）根据样本估计总体的思想求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：m=1×5+2×6+2×7+3×8+1×9+1×101+2+2+3+1+1=7410=7.4（环），
∵第5个，第6个数据为7，8，
∴n=7+82=7.5（环），
故答案为：7.4，7.5；
（2）设第三次成绩为x，
∴乙的成绩为4，6，x，8，9，7，7，9，8，9，
∴110(4+6+x+8+9+7+7+9+8+9)=7.3，
解得x＝6，
∴乙的设第三次成绩为6环，
∵9出现的次数最多，为3次，
∴t＝9 （环）；
（3）∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有5次，
∴80×510=40（次），
∴甲运动员射击80次的优秀次数为40次．
【点评】本题主要考查了折线统计图，用样本估计总体，条形统计图，中位数，众数，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．（10分）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元．
（1）购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？
（2）现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料m份（m＞6），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？
【分析】（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元，根据“购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为27m元，选择乙超市所需费用为（24m+36）元，分27m＜24m+36，27m＝24m+36及27m＞24m+36三种情况，可求出m的取值范围或m的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）设购买1份A材料的费用是x元，1份B材料的费用是y元，
根据题意得：x+3y=1102x+y=70，
解得：x=20y=30．
答：购买1份A材料的费用是20元，1份B材料的费用是30元；
（2）180÷30＝6（份）．
当该手工社团购买B材料m份（m＞6）时，选择甲超市所需费用为30×0.9m＝27m元，选择乙超市所需费用为180+0.8×30（m﹣6）＝（24m+36）元，
若27m＜24m+36，则m＜12，
∴当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；
若27m＝24m+36，则m＝12，
∴当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；
若27m＞24m+36，则m＞12，
∴当m＞12时，应选择乙超市购买．
答：当6＜m＜12时，应选择甲超市购买；当m＝12时，选择甲、乙两家超市购买所需费用相同；当m＞12时，应选择乙超市购买．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式分别表示出选择甲、乙两家超市购买所需费用．
22．（10分）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．
【分析】（1）依据题意，由一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，则当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6，从而A（4，6），将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，进而可以得解；
（2）依据题意，过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，从而BE∥CF，可得△DCF∽△DBE，故DFDE=DCDB=CFBE=DCDC+BC=3BC4BC=34，由点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，可得BE＝4，故CF＝3，则C（3，8），设OD＝x，从而DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，故3（10﹣x）＝4（8﹣x），进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，
∴当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6．
∴A（4，6）．
将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，
∴反比例函数的解析式为y=24x；
（2）过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DFDE=DCDB=CFBE=DCDC+BC=3BC4BC=34．
∵点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，
∴B（4，10），则BE＝4，
∴CF＝3，
∴C（3，8）．
设OD＝x，
∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，
∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）．
∴x＝2．
∴D（0，2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23．（12分）如图，某海岸线上有一观测点A，在点A的正东方向上有两个观测点C，D，且A，C相距20nmile．某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上的B处，且与A相距20nmile，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，且C，E相距60nmile，此时点D到E的距离是D到C的距离的2倍．
（1）求该轮船的航行速度；
（2）求点D，E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【分析】（1）易得△ABC为顶角为120度的等腰三角形，△BCE为直角三角形，作AF⊥BC，三线合一结合勾股定理求出BC的长，勾股定理求出BE的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）作DH⊥CE于点H，设CD＝2xn mile，则DE＝4x nmile，分别解Rt△CHD和Rt△EHD即可．
【解答】解：（1）由题意，得AB＝AC＝20 nmile，
CE＝60 nmile，
∠BAC＝90°+30°＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACB+30°＝90°，
作AF⊥BC于点F，
则BC＝2BF，在Rt△ABF中，BF=AB⋅cs30°=103 nmile，BC=203 nmile，
在Rt△ECB中，由勾股定理，得BE=BC2+CE2=403 nmile，
故该轮船的航行速度为403÷(12−8)=103(nmile/ℎ)，
答：该轮船的航行速度为103nmile/ℎ；
（2）作DH⊥CE于点H，
∵点D到E的距离是D到C的距离的2倍，
∴设CD＝2x nmile，则DE＝4x nmile，
在Rt△CDH中，∠DCH＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴CH＝CD•cs60°＝x nmile，DH=CD⋅sin60°=3x nmile，
∴EH＝CE﹣CH＝（60﹣x） nmile，
在Rt△EHD中，由勾股定理，得DE2＝EH2+DH2，
∴(4x)2=(3x)2+(60−x)2，
解得x=513−5或x=−513−5（舍去）；
DE=4(513−5)=(2013−20）nmile；
故点D，E间的距离为(2013−20)nmile．
【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，CE交AB于点F，连接AC，AE，BC．
（1）求证：∠CAD＝∠BCD；
（2）若AE∥CD，BD＝3，sinD=23，求EF的长．
【分析】（1）连结OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用同角的余角相等得到∠BCD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠CAD得到∠CAD＝∠BCD；
（2）过C点作CH⊥AB于H点，如图，利用正弦的定义得到sinD=OCOD=23，则设OC＝2x，OD＝3x，则3x＝2x+3，解得x＝3，再利用勾股定理得到CD＝35，利用面积法得到CH＝25，再次利用勾股定理计算出DH＝5，所以BH＝2，接着证明△FCB∽△FDC，利用相似比得到FC2＝FB•FD，即FC2＝（FH+2）（FH+5），由于FC2＝FH2+CH2＝FH2+（25）2，所以（FH+2）（FH+5）＝FH2+（25）2，则可求出FH=107，所以DF=457，AF=607，于是利用勾股定理可计算出CF=6307，然后证明△AEF∽△DCF，从而利用相似比可求出EF的长．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD+∠BCO＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°，
∴∠BCD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD；
（2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图，
在Rt△OCD中，∵sinD=OCOD=23，
∴设OC＝2x，OD＝3x，
∵OD＝OB+BD，
∴3x＝2x+3，
解得x＝3，
∴OC＝6，OD＝9，
∴CD=92−62=35，
∵12CH•OD=12OC•CD，
∴CH=6×359=25，
∴DH=(35)2−(25)2=5，
∴BH＝DH﹣BD＝5﹣3＝2，
∵AE∥CD，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠ABC，
∵∠CFB＝∠DFC，
∴△FCB∽△FDC，
∴FC：FD＝FB：FC，
即FC2＝FB•FD，
∴FC2＝（FH+2）（FH+5），
∵FC2＝FH2+CH2＝FH2+（25）2，
∴（FH+2）（FH+5）＝FH2+（25）2，
解得FH=107，
∴DF＝DH+FH=457，
∴AF＝AD﹣DF＝6+9−457=607，
在Rt△CFH中，CF=(107)2+(25)2=6307，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴EF：CF＝AF：DF，
即EF：6307=607：457，
解得EF=8307．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，4），且关于直线x＝1对称，求二次函数的解析式；
（2）当a=23时，该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积；
（3）当b＝1时，点D（1，y1），E（2，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，求二次函数在0≤x≤1上的最大值m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得C（0，1），设该二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），当y＝0时，则有23x2+bx+1=0那么x1，x2是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：x1x2=32，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可；
（3）由题意易得y＝ax2+x+1然后根据y1＞y2可得a＜−13，则有该二次函数的对称轴范围为0＜−12a＜32，进而根据二次函数的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵该二次函数y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝1，
∴x=−b2a=1，即b＝﹣2a，
∵该二次函数的图象经过点（3，4），
∴9a+3b+1＝4，
把b＝﹣2a代入得：9a+3×（﹣2a）+1＝4，
解得：a＝1，
∴b＝﹣2，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）当a=23时，则有y=23x2+bx+1，
令x＝0，则有y＝1，即C（0，1），
∴OC＝1，
设该二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），
不妨设x1＜x2，
当y＝0时，则有23x2+bx+1=0，
那么x1，x2是该方程的两个不等实数根，
∴根据根与系数的关系可得：x1x2=32，
∴根据两点间距离公式可得：AC2=(x1−0)2+(0−1)2=x12+1，
AB2=(x1−x2)2=x12−2x1x2+x22=x12−2×32+x22=x12−3+x22
BC2=(x2−0)2+(0−1)2=x22+1，
当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的右侧，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC＝AB，
∴x12+1=x12−3+x22，
解得：x2＝2（负根舍去），
∴把x2＝2代入23x2+bx+1＝0得：23×4+2b+1＝0，
解得：b=−116，
∴23x2−116x+1＝0，
解得：x1=34，x2＝2，
∴AB＝2−34=54，
∴S△ABC=12AB⋅OC=58，
当该二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，且在y轴的左侧，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝AB，
同理可得：S△ABC=12AB⋅OC=58；
综上所述：△ABC的面积为58．
（3）当b＝1时，则有y＝ax2+x+1，
∵点D（1，y1）E（2，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a+2，y2＝4a+3，
∵y1＞y2，
∴a+2＞4a+3，
解得：a＜−13，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=−12a，
∵a＜−13，
∴−2a＞23，即0＜−12a＜32，
∴当1≤−12a＜32时，即−12≤a＜−13，
此时二次函数在0≤x≤1上，y随x的增大而增大，
∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为m＝a+2，
∵−12≤a＜−13，
∴32≤m＜53，
当0＜−12a＜1时，即a＜−12，
∴二次函数在0≤x≤1上的最大值为m=a(−12a)2+(−12a)+1=14a−12a+1=1−14a，
∵a＜−12，
∴﹣4a＞2，即0＜−14a＜12，
∴1＜m＜32；
综上所述：最大值m的取值范围为1＜m＜53．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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