2026年四川省南充市中考数学试卷及答案

这是一份2026年四川省南充市中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）计算2+（﹣2）结果是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．0D．4
2．（4分）如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
3．（4分）已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如表．如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（ ）
A．3x+5＝5x﹣7B．5x+3＝7x﹣5C．3x﹣5＝5x+7D．5x﹣3＝7x+5
5．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β大小为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．（4分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（ ）
A．1B．3C．2D．5
7．（4分）已知1x−x＝1，则x3﹣2x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
8．（4分）反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，若a＜﹣2，则b的取值范围是（ ）
A．b＜﹣3B．b＞﹣3C．b＜3D．b＞3
9．（4分）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（ ）
A．12cmB．13.5cmC．15cmD．18cm
10．（4分）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（ ）
A．﹣3或−32B．﹣3或1C．−12或−32D．−12或1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（4分）若x+1x−1=0，则x的值为 ．
12．（4分）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为 ．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为 ．
14．（4分）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
15．（4分）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB=5，则m的值为 ．
16．（4分）如图，点P在正方形ABCD内，且AP＝AB＝1，将PB绕点B顺时针旋转90°得到P′B，连接PC，P′C，PP′，PP′交BC于点M．下列结论：①CP′＝1；②PC的最小值为2−2；③D，P，P′三点共线；④当△MCP′为等腰三角形时，BP′的长为6−3．其中正确结论为 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）先化简，再求值：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2），其中a＝﹣2．
18．（8分）请在横线上添加下列条件中的一个：①AE＝CF，②BE＝BF，③BE∥DF，使结论成立，并完成证明．
【条件】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上， ．（选填序号，选择一个正确的即可）
【结论】∠ABE＝∠CDF．
19．（8分）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：
A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．
并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
m名队员比赛成绩的中位数落在 组（选填组名）．
（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值．
21．（10分）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙O上，∠C+2∠B＝180°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AC＝10，csC=35，求AB的长．
23．（10分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．
根据以上信息，完成下列任务：
【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？
【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
24．（10分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．
【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．
【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．
【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求DPDC的值．
25．（12分）已知抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1（t为常数）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（1，m），求t的值．
（2）抛物线与x轴交于A，B两点，点P（2t﹣1，0）为线段AB上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线y=−12x﹣3交于点M，N，求MN最大值．
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）都在抛物线上，当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4时，都有y1＜y2，求t的取值范围．
2026年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分。
1．（4分）计算2+（﹣2）结果是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．0D．4
【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可．
【解答】解：根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得0．
∴2+（﹣2）＝2﹣2＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的加法法则是关键．
2．（4分）如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据垂线段最短，即可解答．
【解答】解：如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是PC，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
3．（4分）已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如表．如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，而方差最小的是丁．
∴如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择丁；
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（ ）
A．3x+5＝5x﹣7B．5x+3＝7x﹣5C．3x﹣5＝5x+7D．5x﹣3＝7x+5
【分析】根据每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”，列出一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意得：5x+3＝7x﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β大小为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【分析】由等边三角形的性质得到∠A＝60°，由三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠α＝100°，由平行线的性质推出∠β＝∠BDC＝100°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠α＝60°+40°＝100°，
∵a∥b，
∴∠β＝∠BDC＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等；等边三角形的三个角是60度．
6．（4分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（ ）
A．1B．3C．2D．5
【分析】由垂径定理、推出CE=12CD＝1，由勾股定理得到OE=OC2−CE2=3．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴CE=12CD=12×2＝1，
∵OC＝OB＝2，
∴OE=OC2−CE2=3．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE=12CD，由勾股定理求出OE的长．
7．（4分）已知1x−x＝1，则x3﹣2x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】先从已知等式变形得到x2与x的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果．
【解答】解：∵1x−x=1，且x≠0，
∴等式两边同乘x得1﹣x2＝x，
整理得x2＝1﹣x，
对所求式变形得x3﹣2x＝x•x2﹣2x，
将x2＝1﹣x代入得x•x2﹣2x＝x（1﹣x）﹣2x＝﹣x2﹣x，
再将x2＝1﹣x代入上式得﹣x2﹣x＝﹣（1﹣x）﹣x＝﹣1，
∴x3﹣2x的值为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是关键．
8．（4分）反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，若a＜﹣2，则b的取值范围是（ ）
A．b＜﹣3B．b＞﹣3C．b＜3D．b＞3
【分析】利用反比例函数中比例系数k的性质，建立a与b的等量关系，再结合已知a的范围，根据不等式性质推导b的取值范围．
【解答】解：反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，
设反比例函数解析式为y=kx，由反比例函数性质可得k＝xy，
∴k＝﹣3a＝2b，
∴a=−23b，
∵a＜﹣2，
∴−23b＜−2，
解得b＞3．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键．
9．（4分）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（ ）
A．12cmB．13.5cmC．15cmD．18cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A、B的对应点分别是A′、B′）．若物体AB的高为10cm，小孔P到地面距离PQ为6cm，
∴PQ∥AB，
∴△A′PQ∽△A′AB，
∴A′QA′B=PQAB，
∵PQ∥A′B′，
∴△BPQ∽△BB′A′，
∴BQBA′=PQA′B′，
则①+②得A′QA′B+BQA′B=PQAB+PQA′B′，
∴A′BA′B=PQAB+PQA′B′=1，
∴PQAB=PQA′B′=1，
∵AB＝10cm，PQ＝6cm，
∴610+6A′B′=1，
解得A′B′＝15，
∴实像A′B′的高度为15cm．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
10．（4分）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（ ）
A．﹣3或−32B．﹣3或1C．−12或−32D．−12或1
【分析】依据题意，设过原点直线l：y＝kx（k≠0），联立方程组y=mx2y=kx，则mx2＝kx，则x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得A1(km，k2m)；联立方程组y=(m+2)x2y=kx，则（m+2）x2＝kx，则x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2(km+2，k2m+2)，故可得OA1，OA2，结合OA2＝3OA1，从而|m|＝3|m+2|，进而计算可以得解．
【解答】解：设过原点直线l：y＝kx（k≠0），
联立方程组y=mx2y=kx，则mx2＝kx，
∴x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得A1(km，k2m)；
联立方程组y=(m+2)x2y=kx，则（m+2）x2＝kx，
∴x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2(km+2，k2m+2)．
∴OA1=(km)2+(k2m)2=|k|1+k2|m|，OA2=(km+2)2+(k2m+2)2=|k|1+k2|m+2|，
∵OA2＝3OA1，
∴|m|＝3|m+2|．
∴m＝﹣3或m=−32．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。
11．（4分）若x+1x−1=0，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】根据“分式的值为零的条件”进行列式即可．
【解答】解：由已知可得x+1=0x−1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握其知识点是解题的关键．
12．（4分）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为 13 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把写有化学式CO2，H2O，Fe的3张的卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2种，即AB、BA，
∴这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为26=13，
故答案为：13．
【点评】此题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为 3 ．
【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AC，则AD＝CD=12AC＝4，∠ADE＝90°，所以DE∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到ADDC=AEBE=1，所以AE＝BE＝5，然后在Rt△ADE中利用勾股定理和计算出DE的长．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AD＝CD=12AC＝4，∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DE∥BC，
∴ADDC=AEBE=1，
∴AE＝BE=12AB＝5，
在Rt△ADE中，∵AD＝4，AE＝5，
∴DE=52−42=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．
14．（4分）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为 100 cm．
【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【解答】解：如图，将长方体的前面和右面展开，
∴PQ=(40+40)2+602=100（cm）；
如图，将长方体的前面和上面展开，
∴PQ=402+(60+40)2=2029（cm）；
如图，将长方体的下面和右面展开，
∴PQ=402+(60+40)2=2029（cm）；
∵25＜29，
∴5＜29，
∴100＜2029，
∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了对平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．
15．（4分）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB=5，则m的值为 1或3 ．
【分析】利用二次函数与x轴的交点坐标关系，当y＝0时，利用根与系数的关系解答．
【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2．
∵AB=5，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2=m2−4(m−2)=5．
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，要注意选择适宜的解题方法．
16．（4分）如图，点P在正方形ABCD内，且AP＝AB＝1，将PB绕点B顺时针旋转90°得到P′B，连接PC，P′C，PP′，PP′交BC于点M．下列结论：①CP′＝1；②PC的最小值为2−2；③D，P，P′三点共线；④当△MCP′为等腰三角形时，BP′的长为6−3．其中正确结论为 ①③ ．（填写序号）
【分析】对于①，容易证明△ABP≌△CBP'（SAS），则CP′＝AP＝1；对于②，由PC≥AC−AP=2−1可得，当A、P、C三点共线时，PC取得最小值2−1；对于③，利用等腰三角形的性质可得∠BPD＝135°，进而得到∠BPP'+∠DPB＝180°，因此D，P，P'三点共线；对于④，设CM＝x，容易证明△MCP′∽△CDP'，则DP′=1x，DM=1x−x，在Rt△CDM中，利用勾股定理构造方程，解得x=33，进而得到∠CDM＝30°，容易证明△ADP是等边三角形，在DP＝AD＝1，进而计算出PP′=3−1，在Rt△BPP'中，利用三角函数计算出BP'即可．
【解答】解：对于①，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
由旋转的性质可得，∠PBP'＝90°，BP＝BP′，
∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP'+∠CBP＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP'中，
AB=BC∠ABP=∠CBP′BP=BP′，
∴△ABP≌△CBP'（SAS），
∴CP'＝AP＝1，故①正确；
对于②，如图，连接AC，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=2，
∵PC≥AC−AP=2−1，
∴当A、P、C三点共线时，PC取得最小值2−1，故②错误；
对于③，如图，连接DP，
设∠BAP＝α，则∠DAP＝90°﹣α，
∵AB＝AP，
∴∠APB=∠ABP=180°−∠BAP2=90°−12α，
∵AB＝AD，
∴AD＝AP，
∴∠APD=∠ADP=180°−∠DAP2=45°+12α，
∴∠DPB＝∠APD+∠APB＝135°，
∵∠PBP'＝90°，BP＝BP'，
∴∠BPP'＝∠BP'P＝45°，
∵∠BPP'+∠DPB＝180°，
∴D，P，P'三点共线，故③正确；
对于④，如图，设CM＝x，
∵∠CMP＝∠DCM+∠CMD＝90°+∠CMD＞90°，
又∵△MCP'为等腰三角形，
∴CM＝MP'＝x，
∴∠CP′M＝∠MCP'，
∵CP'＝1＝CD，
∴∠CDP′＝∠CP′M＝∠MCP′，
∴△MCP′∽△CDP′，
∴MP′CP′=CP′DP′，即x1=1DP′，
∴DP′=1x，
∴DM=DP′−MP′=1x−x，
在Rt△CDM中，CM2+CD2＝DM2，
∴x2+1=(1x−x)2，
整理，得x2=13，
解得x=33（负值舍去），
∴CM=MP′=33，DP′=1x=3，
在Rt△CDM中，tan∠CDM=CMCD=33，
∴∠CDM＝30°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDM＝60°，
又∵AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP＝AD＝1，
∴PP′=DP′−DP=3−1，
在Rt△BPP'中，BP′=PP′⋅sin∠BPP′=(3−1)⋅sin45°=6−22，故④错误；
综上，正确的结论为①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）先化简，再求值：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2），其中a＝﹣2．
【分析】展开式子：利用单项式乘单项式法则计算2a•（﹣a），完全平方公式展开（a+3）2，平方差公式展开（a+2）（a﹣2）；合并同类项：将展开后的各项合并，化简为6a+5；代入求值：把a＝﹣2代入化简后的式子，计算得结果为﹣7．
【解答】解：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2）
＝﹣2a2+（a2+6a+9）+（a2﹣4）
＝﹣2a2+a2+6a+9+a2﹣4
＝6a+5，
当a＝﹣2时，原式＝6×（﹣2）+5＝﹣7．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则将式子进行化简，然后代入数值计算即可．
18．（8分）请在横线上添加下列条件中的一个：①AE＝CF，②BE＝BF，③BE∥DF，使结论成立，并完成证明．
【条件】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上， ①或③ ．（选填序号，选择一个正确的即可）
【结论】∠ABE＝∠CDF．
【分析】选择①或③，根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质分别证明即可．
【解答】解：选择①证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠A=∠CAE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠CDF；
选择③证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
又∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF，
∴∠ABC﹣∠EBF＝∠ADC﹣∠EDF，
即∠ABE＝∠CDF；
故答案为：①或③．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（8分）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：
A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．
并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 20 ；
m名队员比赛成绩的中位数落在C 组（选填组名）．
（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以计算出m的值和中位数所在的组别；
（2）先画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两名队员恰好被选中的概率．
【解答】解：（1）由统计图可知，
m＝7÷35%＝20，m名队员比赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：20，C；
（2）树状图如下所示，
，
由上可得，一共有12种等可能性，其中甲、乙两名队员恰好被选中的可能性有2种，
∴甲、乙两名队员恰好被选中的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合x1＝2x2的条件，得到关于k的一元二次方程，求解即可得到k的值．
【解答】（1）证明：∵原方程为x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8
＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由条件可知x1+x2＝2k+1，x1x2=k2+k−2，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝2k+1，
∴x2=2k+13，
∴x1=2(2k+1)3，
代入x1x2=k2+k−2得：2(2k+1)29=k2+k−2，
整理得k2+k﹣20＝0，
解得k＝4或k＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
21．（10分）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．
【分析】（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），解方程组得到一次函数解析式为y=12x−3；解方程得到C（8，1），设反比例函数为y=nx（n≠0），于是得到反比例函数为y=8x；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，得到OA＝3，OB＝6，根据相似三角形的性质得到PQ＝2OQ，设点P（a，2a）（a＞0），又点P在反比例函数y=8x上．解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），
∵点A（0，﹣3），B（6，0）在一次函数图象上，
∴b=−36k+b=0，
解得k=12b=−3，
∴一次函数解析式为y=12x−3；
∵点C（m，1）在直线y=12x−3上，
∴C（8，1），
设反比例函数的解析式为y=nx（n≠0），
∴n8=1，
解得n＝8，
∴反比例函数为y=8x；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵点A（0，﹣3），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∵∠AOB＝∠PQO＝90°，∠BOP＝∠OAB，
∴△AOB∽△OQP，
∴AOOQ=BOPQ，
∴PQ＝2OQ，
设点P（a，2a）（a＞0），又点P在反比例函数y=8x上．
∴2a=8a，
取正数解得a＝2．
经检验a＝2是原方程的解．
∴P（2，4）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙O上，∠C+2∠B＝180°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AC＝10，csC=35，求AB的长．
【分析】（1）连接OD，由AB为直径，AC为切线，推导出∠BAC＝90°，由∠AOD＝2∠B，且∠C+2∠B＝180°，得∠C+∠AOD＝180°，求得∠ODC＝360°﹣（∠C+∠AOD）﹣∠BAC＝90°，即可证明CD是⊙O的切线．
（2）作AF⊥CD于点F，OE⊥AF于点E，则四边形ODFE是矩形，由切线长定理得CD＝AC＝10，因为CFAC=csC=35，所以CF=35AC＝6，则OE＝DF＝CD﹣CF＝4，可证明∠OAE＝∠C，则AEOA=cs∠OAE＝csC=35，所以AE=35OA，由OE=OA2−AE2=45OA＝4，求得OA＝5，则AB＝2OA＝10．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵在⊙O中，AB为直径，AC为切线，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴∠AOD＝2∠B，
∵∠C+2∠B＝180°，
∴∠C+∠AOD＝180°，
∴∠ODC＝360°﹣（∠C+∠AOD）﹣∠BAC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：作AF⊥CD于点F，OE⊥AF于点E，则∠AFC＝∠OEA＝90°，
∵CD与⊙O相切于点D，AC与⊙O相切于点A，
∴CD＝AC＝10，
∵CFAC=csC=35，
∴CF=35AC=35×10＝6，
∵∠OEF＝∠EFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形ODFE是矩形，
∴OE＝DF＝CD﹣CF＝10﹣6＝4，
∵∠OAE+∠CAF＝90°，∠C+∠CAF＝90°，
∴∠OAE＝∠C，
∴AEOA=cs∠OAE＝csC=35，
∴AE=35OA，
∵OE=OA2−AE2=OA2−(35OA)2=45OA＝4，
∴OA＝5，
∴AB＝2OA＝10，
∴AB的长为10．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
23．（10分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．
根据以上信息，完成下列任务：
【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？
【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
【分析】（1）依据题意，设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n万枚，则3m+n=11，2m+3n=12，从而计算可以得解；
（2）依据题意，设该月有x条加工线加工皮蛋，有（9﹣x） 条加工线加工咸蛋，则由题意得，2(9−x)≥12×3x，可得x≤367，结合加工厂安排皮蛋加工线不低于3条，故3≤x≤367，又x为正整数，从而可以得解；
（3）依据题意得，未能加工的鸭蛋数：30﹣3x﹣2（9﹣x）＝12﹣x＞0，又设该月的利润为y万元，故y＝3x×0.7+2（9﹣x）×1.2﹣（12﹣x）×0.1＝﹣0.2x+20.4，结合一次函数的性质计算可以得解．
【解答】.解：（1）由题意，设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n万枚．
∴3m+n=11，2m+3n=12，
∴m=3，n=2.
答：加工厂每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，咸蛋2万枚；
（2）设该月有x条加工线加工皮蛋，有（9﹣x） 条加工线加工咸蛋．
由题意得，2(9−x)≥12×3x．
∴x≤367．
∵加工厂安排皮蛋加工线不低于3条，
∴3≤x≤367，
又∵x为正整数，
∴x＝3或4或5．
∴加工厂有3种安排方案；
（3）由题意得，未能加工的鸭蛋数：30﹣3x﹣2（9﹣x）＝12﹣x＞0．
设该月的利润为y万元．
∴y＝3x×0.7+2（9﹣x）×1.2﹣（12﹣x）×0.1＝﹣0.2x+20.4．
∵﹣0.2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y取得最大值，y最大＝19.8（万元），即安排3条皮蛋加工线，6条咸蛋加工线可获得最大利润19.8万元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
24．（10分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．
【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．
【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．
【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求DPDC的值．
【分析】（1）先根据菱形的性质求出OC＝OA＝3，进而求出OP＝2，最后用线段的和求出AP，即可得出答案；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，根据菱形的性质表示出CP=12x，OC=12y，CE=14y，进而表示出AE=AC−CE=34y，再在Rt△PCE和在Rt△PAE中根据勾股定理表示出PE2，进而得出等式(x2)2−(y4)2=x2−(3y4)2，最后整理即可得出结论；
（3）设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′得出AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，进而得出∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，由AB∥CD，得出∠APD＝∠PAB＝2∠DAP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，判断出∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，进而得出DF＝AF＝PD，再判断出△PDF∽△PAD，得出DP2＝AP•FP，
设DP＝m，DC＝n，则AP＝n，FP＝n﹣m，得出m2＝n（n﹣m）即m2+mn﹣n2＝0，最后求解即可得出mn，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
AC＝6，
∴OC＝OA＝3，
∵OP＝2CP，
∴OP＝2，
∴AB＝AP＝OP+OA＝5；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴PE∥BD，
∵CP＝DP，AB＝x，AC＝y，
∴CP=12x，OC=12y，CE=12OC=14y，
∴AE=AC−CE=34y，
在Rt△PCE中，PE2=PC2−CE2=(x2)2−(y4)2，
在Rt△PAE中，PE2=PA2−AE2=x2−(3y4)2，
即(x2)2−(y4)2=x2−(3y4)2，
整理得y2=32x2，
即y=62x，y=−62x（舍去）．
∴y与x之间的函数关系式为y=62x（x＞0）；
（3）如图，设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′，
则AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，
又∠ABD′＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD＝∠APD′＝∠AD′P＝∠AD′B＝∠ABD′，
∴∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP．
∵∠PDA+∠APD+∠DAP＝180°，
∴5∠DAP＝180°，
∴∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，
∴∠ADF=∠PDF=12∠ADP=36°，
∴∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，
∴∠DPF＝∠DFP＝72°，
∴DF＝AF＝PD．
又∠DPF＝∠APD，
∴△PDF∽△PAD．
∴DPAP=FPDP．
∴DP2＝AP•FP，
设DP＝m，DC＝n，
则AP＝n，FP＝n﹣m，
∴m2＝n（n﹣m），
∴m2+mn﹣n2＝0，
即(mn)2+mn−1=0，
∴mn=5−12或mn=−5−12（舍去），
∴DPDC=5−12．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出正确的辅助线．
25．（12分）已知抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1（t为常数）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（1，m），求t的值．
（2）抛物线与x轴交于A，B两点，点P（2t﹣1，0）为线段AB上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线y=−12x﹣3交于点M，N，求MN最大值．
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）都在抛物线上，当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4时，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解；
（2）由题意易得M（2t﹣1，﹣t2+2t），N(2t−1，−t−52)，然后可得MN=|−(t−32)2+194|，进而根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝t，开口向下，则可分：①当t＞4时，②当2＜t≤4时，③当0≤t≤2时，④当t＜0时，然后分类进行求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1可知：对称轴为直线x＝t，
∵抛物线过点（﹣3，m），（1，m），
∴这两点关于对称轴对称，即t=−3+12，
∴t＝﹣1；
（2）令y＝0，则有﹣（x﹣t）2+1＝0，
解得：x1＝t+1，x2＝t﹣1，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为t+1，t﹣1，
∵点P（2t﹣1，0）为线段AB上一点，
∴t﹣1≤2t﹣1≤t+1，
解得：0≤t≤2，
∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线y=−12x−3交于点M，N，且P（2t﹣1，0），
∴M（2t﹣1，﹣t2+2t），N(2t−1，−t−52)，
∴MN=|−t2+2t−(−t−52)|=|−t2+3t+52|=|−(t−32)2+194|，
∵﹣1＜0，
∴当t=32时，−(t−32)2+194取得最大值，最大值为194，
∴MN的最大值为194；
（3）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝t，开口向下，
∴当x＞t时，y随x的增大而减小，当x＜t时，y随x的增大而增大，
根据题意可知：当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4时，y2的最小值应大于y1的最大值，
分析抛物线对称轴x＝t与x＝2和x＝4时三种关系，
①当t＞4时，如图，
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，此时都有y1＜y2；
②当2＜t≤4时，且当3＜t≤4时，此时当x2＝2时，y2取得最小值，当x1＝﹣2t时，y1取得最大值，
∴t﹣2＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞﹣1，
∴当3＜t≤4时，y1＜y2恒成立，
当2＜t≤3时，如图，
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，
y1在x1＝﹣2t上取得最大值，y2在x2＝4上取得最小值，
∴4﹣t＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞1，
∴当2＜t≤4时，都有y1＜y2；
③当0≤t≤2时，如图，
由图可知：﹣2t﹣1＜t，﹣2t＜t，
y1在x1＝﹣2t上取得最大值，y2在x2＝4上取得最小值，
∴4﹣t＜t﹣（﹣2t），
解得：t＞1，
∴当1＜t≤2时，都有y1＜y2；
④当t＜0时，则﹣2t＞0，
若﹣2t﹣1＜t时，则y1的最大值大于y2，即y1＜y2不成立，
若﹣2t﹣1＞t时，如图，
∴当x1＝﹣2t﹣1时，点C的纵坐标取得最大值，当x2＝4时，点D的纵坐标取得最小值，
∴﹣2t﹣1＞4，
解得：t＜−52；
综上所述：的取值范围为t＜−52或t＞1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象等，掌握综合知识是解题的关键．
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甲
乙
丙
丁
方差
2.1
5.2
4.3
1.1
背景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．
（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）
素材一
若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；
若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．
素材二
现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；
经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素材三
每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．
运动员
甲
乙
丙
丁
方差
2.1
5.2
4.3
1.1
背景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．
（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）
素材一
若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；
若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．
素材二
现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；
经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素材三
每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．