2026年山东省德州市中考数学试卷及答案

这是一份2026年山东省德州市中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中比﹣2小的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．−3D．0
2．（4分）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）483.5万用科学记数法表示为（ ）
A．4.835×106B．0.4835×107
C．48.35×105D．4.835×107
4．（4分）商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则csB的值为（ ）
A．35B．45C．34D．54
6．（4分）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为x元，由已知可列方程（ ）
A．7001.5x−900x=5B．900x−7001.5x=5
C．9001.5x−700x=5D．700x−9001.5x=5
7．（4分）如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于12CD的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线．小明说，可以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
D．三条边分别相等的两个三角形全等
8．（4分）在反比例函数y=3x的图象上有两点A（﹣2，y1）和B（m，y2），若y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2且m≠0B．﹣2＜m＜0C．m＜﹣2或m＞0D．m＜﹣2或m＞2
9．（4分）如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h，下列关于d和h的大小关系正确的是（ ）
A．d＜hB．d＝hC．d＞hD．无法确定
10．（4分）若2a＝5b＝1000，则1a+1b的值为（ ）
A．12B．13C．15D．110
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）整式3a2b2的次数为 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的m的值 ．
13．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是 ．
14．（4分）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 元．
15．（4分）如图，在四边形BCED中，∠B＝∠D＝90°，BD＝3，CE＝5．取BD的中点A，连接AC，AE，将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，若BC和DE恰好都能与EC重合，线段AE的长为 ．
三、简答题：共8小题，总计90分。
16．（10分）（1）解不等式：x−1＞−2x+52x−13＜x+12；
（2）化简：(1−1a−1)÷(a−2)2a−1．
17．（10分）为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下：
问题一：您选择的出行方式是（ ）
A．步行
B．私家车
C．自行车
D．电动车
E．公交车
问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（ ）
A.6：30～7：00
B.7：00～7：30
C.7：30～8：00
D.8：00～8：30
E.8：30～9：00
两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图．
（1）m的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数；
（4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议．
18．（10分）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
（1）如图，若九宫格的中心数为n，四个角的数字分别是A、B、C、D．
①用含n的式子表示A；
②探究B•C﹣A•D是否为定值，请证明；
（2）若框选出的九宫格的中心数是方程x2﹣13x+22＝0的根，求九宫格中最大的数．
19．（12分）如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AE=23，四边形ABED的面积为43，求线段AC的长．
20．（12分）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量y（L）与时间x（h）的函数关系式图象如图所示．
（1）汽车从出发到加油站行驶了 小时，在加油站加了 升汽油；
（2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式；
（3）若目的地距离加油站200km，汽车的行驶速度为80km/h，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量．
21．（12分）如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是AC的中点，BC是⊙O的直径．过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，连接OD并延长交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AF：EF＝1：2，CF＝2，求阴影部分的面积．
22．（12分）已知二次函数y=(x−m)2+23(x−m)−3，m为常数．
（1）当m＝0时，求该二次函数的对称轴；
（2）若当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离．
23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AD=14AC，BC＝8，求线段BF的长；
（3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出ADAC的值．
2026年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
1．（4分）下列实数中比﹣2小的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．−3D．0
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，故不符合题意；
B．∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，故符合题意；
C．−3＞−2，故不符合题意；
D．0＞﹣2，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（4分）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（4分）483.5万用科学记数法表示为（ ）
A．4.835×106B．0.4835×107
C．48.35×105D．4.835×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：483.5万＝4835000＝4.835×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可．
【解答】解：商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液的众数．
故选：C．
【点评】本题考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数和方差的意义是解答本题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则csB的值为（ ）
A．35B．45C．34D．54
【分析】过点A作AM⊥BC于M，用等腰三角形三线合一的性质求出BM的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，
由条件可知BM=12BC=4，
在Rt△ABM中，
csB=BMAB=45．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握该知识点是关键．
6．（4分）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为x元，由已知可列方程（ ）
A．7001.5x−900x=5B．900x−7001.5x=5
C．9001.5x−700x=5D．700x−9001.5x=5
【分析】由两种书籍单价间的关系，可得出科技类书籍的单价为1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用700元购买文学类书籍的数量比用900元购买科技类书籍的数量多5本，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵科技类单价是文学类单价的1.5倍，且设文学类书籍的单价为x元，
∴科技类书籍的单价为1.5x元．
根据题意得：700x−9001.5x=5．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（4分）如图，为了作出∠AOB的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于12CD的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，连接OE并延长，射线OE则为∠AOB的角平分线．小明说，可以通过判定△OCE≌△ODE得到对应角相等来证明射线OE是∠AOB的角平分线，他使用的全等判定方法是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
D．三条边分别相等的两个三角形全等
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CE＝DE，加上OE为公共边，则根据全等三角形的判定方法得到△OCE≌△ODE，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：根据作法得OC＝OD，CE＝DE，
而OE为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OCE≌△ODE，
所以∠COE＝∠DOE，
即射线OE则为∠AOB的角平分线．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、直角三角形全等的判定和角平分线的性质．
8．（4分）在反比例函数y=3x的图象上有两点A（﹣2，y1）和B（m，y2），若y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2且m≠0B．﹣2＜m＜0C．m＜﹣2或m＞0D．m＜﹣2或m＞2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为反比例函数解析式为y=3x，
所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小．
因为A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在该反比例函数的图象上且y2＞y1，
所以m＜﹣2或m＞0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
9．（4分）如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h，下列关于d和h的大小关系正确的是（ ）
A．d＜hB．d＝hC．d＞hD．无法确定
【分析】根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等进行计算即可．
【解答】解：由题知，
扇形的弧长为：60⋅π⋅R180=13πR，
所以圆锥底面圆的周长为13πR．
令圆锥底面圆的半径为r，
则2πr=13πR，
所以r=R6，
则圆锥的高h=R2−(16R)2=356R．
因为OA＝OB且∠AOB＝60°，
所以△AOB是等边三角形，
所以点O到AB的距离d=32R．
因为d2=34R2，ℎ2=3536R2，
则34R2＜3536R2，
所以d＜h．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算及展开图折叠成几何体，熟知圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等是解题的关键．
10．（4分）若2a＝5b＝1000，则1a+1b的值为（ ）
A．12B．13C．15D．110
【分析】由题意得2a＝103，5b＝103，那么(2a)1a=103a，(5b)1b=103b，将两式相乘并计算即可．
【解答】解：若2a＝5b＝1000，
则2a＝103，5b＝103，
那么(2a)1a=103a，(5b)1b=103b，
两式相乘得10=103a+3b，
则3a+3b=1，
那么1a+1b=13，
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
11．（4分）整式3a2b2的次数为 4 ．
【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式定义得：3a2b2的次数为：2+2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的m的值 4（答案不唯一） ．
【分析】根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为若点（﹣3，2）向右平移m个单位长度后落在第一象限，
则﹣3+m＞0，
解得m＞3，
所以m的值可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
13．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是 23 ．
【分析】先利用列表法展示所有6种等可能的结果，再找出乙和丙邻座的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中乙和丙邻座的结果数为4，
所以乙和丙邻座的概率=46=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
14．（4分）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 7 元．
【分析】依据题意，先求解y2=x2−12x+39，设单件水果利润为：W元，可得w＝y1﹣y2再进一步求解即可．
【解答】解：由题意，设y2=a(x−6)2+3，
把（3，12）代入得：9a+3＝12，
∴a＝1，
∴抛物线为y2=(x−6)2+3=x2−12x+39，
设单件水果利润为W元，
∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39
＝﹣x2+10x﹣18
＝﹣（x﹣5）2+7，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝5时，单件利润W的最大值为7元．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
15．（4分）如图，在四边形BCED中，∠B＝∠D＝90°，BD＝3，CE＝5．取BD的中点A，连接AC，AE，将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，若BC和DE恰好都能与EC重合，线段AE的长为 3102 ．
【分析】根据题意作图，得到AB＝AB'＝AD＝AD'，AB=AD=12BD=32，DE＝D'E，BC＝B'C，∠ADE＝∠AD'E＝∠B＝∠AB'C＝90°，过点C作CF⊥DE于点F，得到矩形BCFD，由勾股定理得到EF＝4，设BC＝B'C＝DF＝x，则EB'＝CE﹣B'C＝5﹣x，DE＝DF+EF＝x+4，由此列式得到DF=12，则DE=92，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵将△ABC和△ADE分别沿AC，AE折叠，点B，D的对应点为B'，D'，若BC和DE恰好都能与EC重合，则点B'，D'重合，如图，且点A是BD的中点，
∴AB＝AB'＝AD＝AD'，AB=AD=12BD=32，DE＝D'E，BC＝B'C，∠ADE＝∠AD'E＝∠B＝∠AB'C＝90°，
过点C作CF⊥DE于点F，
∴∠CFD＝∠D＝∠B＝90°，
∴四边形BCFD是矩形，
∴∠CFE＝90°，CF＝BD＝3，BC＝DF，
∴EF=CE2−CF2=52−32=4，
设BC＝B'C＝DF＝x，则EB'＝CE﹣B'C＝5﹣x，DE＝DF+EF＝x+4，
∴5﹣x＝x+4，
解得x=12，
∴DE=12+4=92，
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=(32)2+(92)2=3102．
故答案为：3102．
【点评】本题考查折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
三、简答题：共8小题，总计90分。
16．（10分）（1）解不等式：x−1＞−2x+52x−13＜x+12；
（2）化简：(1−1a−1)÷(a−2)2a−1．
【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再取公共解集即可；
（2）根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）解第一个不等式得x＞2，
解第二个不等式得x＜5，
∴不等式组的解集为2＜x＜5；
（2）原式=a−1−1a−1•a−1(a−2)2
=a−2a−1•a−1(a−2)2
=1a−2．
【点评】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
17．（10分）为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下：
问题一：您选择的出行方式是（ ）
A．步行
B．私家车
C．自行车
D．电动车
E．公交车
问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（ ）
A.6：30～7：00
B.7：00～7：30
C.7：30～8：00
D.8：00～8：30
E.8：30～9：00
两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图．
（1）m的值为 55 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数；
（4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议．
【分析】（1）根据扇形统计图的占比求解即可；
（2）求出B时间段的人数，补全条形统计图即可；
（3）运用样本估计总体求解；
（4）电动车、自行车和私家车出行人数占比多，容易造成拥堵；建议可从换出行方式和出行时间段两个方面阐述．
【解答】解：（1）m%＝1﹣15%﹣15%﹣10%﹣5%＝55%，
故m＝55，
故答案为：55；
（2）B组的人数为400×55%﹣（40+49+21+30）＝220﹣140＝80（人），
（3）社区在该时间段使用私家车出行的人数为5000×55%＝2750（人），
故社区在该时间段使用私家车出行的人数为2750人；
（4）建议在条件允许的情况下选用公共交通出行或B时段市民选择早半小时出行．
【点评】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
18．（10分）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
（1）如图，若九宫格的中心数为n，四个角的数字分别是A、B、C、D．
①用含n的式子表示A；
②探究B•C﹣A•D是否为定值，请证明；
（2）若框选出的九宫格的中心数是方程x2﹣13x+22＝0的根，求九宫格中最大的数．
【分析】（1）①由日历的排列规律即可得出结果；
②由日历的排列规律得出B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8，结合①的结果，进行计算即可；
（2）用因式分解法解得一元二次方程的解为x1＝2，x2＝11，x＝2在第1行无法作为中心数，舍去，当n＝11时，九宫格最大数为D，即可得出结果．
【解答】解：（1）①由日历的排列规律可知，A在n的上一行且左一列，
∴A＝n﹣7﹣1＝n﹣8；
②B•C﹣A•D为定值，证明如下：
由题意得：B＝n﹣6，C＝n+6，D＝n+8，
∴B•C﹣A•D
＝（n﹣6）（n+6）﹣（n﹣8）（n+8）
＝n2﹣36﹣（n2﹣64）
＝28，
∵结果为常数，
∴B•C﹣A•D为定值；
（2）解方程x2﹣13x+22＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣11）＝0，
解得：x1＝2，x2＝11，
∵日历中3×3九宫格中心数不能在最上行（第1行）或最下行（第5行），
∴x＝2在第1行无法作为中心数，舍去，
当n＝11时，九宫格最大数为D，
D＝n+8＝11+8＝19，
∴该九宫格中最大的数为19．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、因式分解的应用、列代数式等知识，根据日历排列找出规律是解题的关键．
19．（12分）如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AE=23，四边形ABED的面积为43，求线段AC的长．
【分析】（1）由AB∥CE得AB∥DE，结合BE∥AD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，判定四边形ABED为平行四边形．在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是斜边CE的中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得AD=12CE=DE．平行四边形ABED中一组邻边AD＝DE，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，判定四边形ABED为菱形；
（2）求线段AC的长设菱形ABED的高为h，由菱形面积公式得DE×ℎ=43；因AB∥CE，点A到CE的距离等于h，且CE＝2DE（D是CE中点），故△ACE的面积S△ACE=12×CE×ℎ=DE×ℎ=43．又Rt△ACE的面积也可表示为S△ACE=12×AC×AE，已知AE=23，代入得12×AC×23=43，化简后解得AC＝4．
【解答】证明：（1）∵AB∥CE，点D在CE上，
∴AB∥DE．
又∵BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形．
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点，
∴AD=12CE=DE．
∵四边形ABED是平行四边形且AD＝DE，
∴四边形ABED是菱形．
解：（2）设菱形ABED边DE上的高为h．
∵四边形ABED是菱形，
∴菱形ABED的面积=DE×ℎ=43．
∵AB∥CE，
∴点A到CE的距离等于h．
∴△ACE的面积=12×CE×ℎ．
∵点D是CE的中点，
∴CE＝2DE．
∴△ACE的面积=12×2DE×ℎ=DE×ℎ=43．
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，
∴△ACE的面积=12×AC×AE．
∵AE=23，
∴12×AC×23=43，
∴3AC=43，
∴AC＝4．
【点评】题目考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
20．（12分）一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量y（L）与时间x（h）的函数关系式图象如图所示．
（1）汽车从出发到加油站行驶了 3 小时，在加油站加了 35 升汽油；
（2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式；
（3）若目的地距离加油站200km，汽车的行驶速度为80km/h，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量．
【分析】（1）观察函数图象，可得出汽车从出发到加油站行驶了3小时，利用在加油站加了的汽油量＝加油后油箱的油量﹣加油前油箱的油量，可求出在加油站加了的汽油量；
（2）根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式；
（3）利用汽车到达目的地时油箱的剩余油量＝50﹣汽车去往目的地时的耗油速度×目的地距离加油站的距离汽车的行驶速度，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：汽车从出发到加油站行驶了3小时，
在加油站加了50﹣15＝35（升）汽油．
故答案为：3，35；
（2）设汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，45），（3，15）代入y＝kx+b得：45=b15=3k+b，
解得：k=−10b=45，
∴汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量y与时间x的函数关系式为y＝﹣10x+45（0≤x≤3）；
（3）由（2）可知：汽车去往加油站时的耗油速度是10升/小时，
∴汽车去往目的地时的耗油速度是10升/小时，
∴50﹣10×20080=25（升）．
答：汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为25升．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
21．（12分）如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，点D是AC的中点，BC是⊙O的直径．过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，连接OD并延长交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AF：EF＝1：2，CF＝2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，通过△AOF≌△COF证OC⊥FC，再结合点C在⊙O上，即可得证；
（2）阴影部分的面积为S四边形OCFA﹣S扇形OCA，通过线段转化即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴点C在⊙O上，
∵D是AC的中点，
∴∠AOF＝∠COF，
在△AOF和△COF中，
OA=OC∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF＝90°，
∴OC⊥FC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵AF，CF是⊙O的切线，
∴AF＝CF，
∵AF：EF＝1：2，CF＝2，
∴AF＝2，EF＝4，
∵∠FCE＝90°，
∴sin∠E=FCEF=24=12，
∴∠E＝30°，
∴∠CFE＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠OFC=∠OFA=180°−∠CFE2=60°，
∴∠FOC＝90°﹣∠OFC＝30°，
∴OF＝2FC＝4，
由勾股定理得，OC=23，
∴S△FOC=12×23×2=23，S四边形OCFA=2S△OFC=43，S扇形OAC=60°π(23)2360°=2π，
∴阴影部分的面积为S四边形OCFA−S扇形OCA=43−2π．
【点评】本题考查了圆的基本性质，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
22．（12分）已知二次函数y=(x−m)2+23(x−m)−3，m为常数．
（1）当m＝0时，求该二次函数的对称轴；
（2）若当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离．
【分析】（1）依据题意，把 m＝0 代入y=(x−m)2+23(x−m)−3，进一步求解即可；
（2）依据题意得，抛物线的对称轴为直线x=−23−2m2×1=2m−232=m−3，结合题意可得﹣1≤m−3≤0，进一步求解即可；
（3）解方程(x−m)2+23(x−m)−3=21或(x−m)2+23(x−m)−3=−21，结合抛物线的性质可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当m＝0时，二次函数为：y=x2+23x−3，
∴二次函数的对称轴为直线x=−232×1=−3；
（2）∵y=(x−m)2+23(x−m)−3=x2−2mx+m2+23x−23m−3=x2+(23−2m)x+m2−23m−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−23−2m2×1=2m−232=m−3，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴−1≤m−3≤0，解得：3−1≤m≤3，
∴m的取值范围为：3−1≤m≤3；
（3）由题意，∵y=(x−m)2+23(x−m)−3的对称轴为直线x=m−3，而该二次函数的图象上有一点A，且点A到轴的距离为21，
∴|yA|＝21，
∴当yA＝21时，则(x−m)2+23(x−m)−3=21，即(x−m)2+23(x−m)−24=0，
∴(x−m−23)(x−m+43)=0，解得：x1=m+23，x2＝m﹣43，
∴A（m+23，21）或A(m−43，21)，
∴点A到对称轴的距离为：|m−3−m−23|=33；
当yA＝﹣21时，(x−m)2+23(x−m)−3=−21，即(x−m)2+23(x−m)+18=0，
∴Δ=(23)2−4×1×18=12−72=−60＜0，
∴方程无解，
综上：点A到对称轴的距离为：33．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
23．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AD=14AC，BC＝8，求线段BF的长；
（3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出ADAC的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再用等角的余角相等判断出∠D＝∠BEF，进而得出∠D＝∠AED，即可得出结论；
（2）过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝m，进而得出AE＝m，AC＝4AD＝4m，即CD＝5m，BE＝3m，再判断出△ADG∽△CDF，得出AGCF=ADCD，进而得出CF＝5AG，同理得出BF＝3m，再用BC＝BF+CF＝8，建立方程求出AG，即可得出答案；
（3）过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝a，AC＝b，同（2）的方法得出AB＝AC＝b，CD＝a+b，BE＝b﹣a，CF=AG⋅(a+b)a，BF=(b−a)AGa，进而得出EF＝BC＝BF+CF=2b⋅AGa，再求出∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°，在FE上取一点H，使FH＝BF，根据勾股定理求出BH=2BF，在判断出EH＝BH，进而得出EF＝（2+1）BF，由此建立等式，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠BFE＝90°，
∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°，
∴∠D＝∠BEF，
∵∠AED＝∠BEF，
∴∠D＝∠AED，
∴AD＝AE；
（2）解：如图1，过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝m，
由（1）知，AD＝AE，
∴AE＝m，
∵AD=14AC，
∴AC＝4AD＝4m，
∴AB＝AC＝4m，
∴CD＝AD+AC＝5m，BE＝AB﹣AE＝3m，
∴△ADG∽△CDF，
∴AGCF=ADCD，
∴CF=AG⋅CDAD=AG⋅5mm=5AG，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△BEF，
∴AGBF=AEBE，
∴BF=AG⋅BEAE=AG⋅3mm=3AG，
∵BC＝BF+CF＝8，
∴3AG+5AG＝8，
∴AG＝1，
∴BF＝3；
（3）解：如图2，过点A作AG∥BC交DF于G，
设AD＝a，AC＝b，
∴AB＝AC＝b，
∴CD＝AD+AC＝a+b，BE＝AB﹣AE＝b﹣a，
同（2）的方法得，CF=AG⋅CDAD=AG⋅(a+b)a，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△BEF，
∴AGBF=AEBE，
∴BF=AG⋅BEAE=AG⋅(b−a)a=(b−a)AGa，
∴BC＝BF+CF=(b−a)AGa+(b+a)AGa=2b⋅AGa，
∵EF＝BC，
∴EF=2b⋅AGa，
在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝67.5°，
∵DF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠ABC＝22.5°，
在FE上取一点H，使FH＝BF，
∴∠HBF＝∠BHF＝45°，
∴BH=2BF，
∵∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°，
∴∠EBH＝∠ABC﹣∠HBF＝22.5°＝∠BEH，
∴EH＝BH，
∴EF＝EH+FH=2BF+BF＝（2+1）BF，
∵BF=(b−a)AGa，EF=2b⋅AGa，
∴2b⋅AGa=（2+1）•(b−a)AGa，
∴ab=3﹣22．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找出EF与BF的关系是解本题的关键．
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