2026年安徽省中考数学试卷及答案

这是一份2026年安徽省中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列比0小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣2D．6
2．（4分）《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星系，其中130亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13×1010B．1.3×1010C．1.3×109D．13×109
3．（4分）一个几何体如图水平放置，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）下列各式中，计算结果等于a2的是（ ）
A．a+aB．a3﹣a
C．（﹣a）•（﹣a）D．（﹣a）6÷（﹣a）3
5．（4分）已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（ ）
A．23B．33C．43D．63
7．（4分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则ba=（ ）
A．﹣2B．−12C．12D．2
8．（4分）如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD的各边与HNM所在的圆分别相切于点E，M，H，N．BH，BM所在圆的圆心分别是E，F．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π2−1B．5π4−1C．7−3π2D．7−5π4
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y=mx（m≠0）在第一象限内的图象交于点P．若OP＝OB，PAAB=35，则m＝（ ）
A．34B．43C．1225D．2512
10．（4分）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．CM=2DNC．CH＝CND．AN=2CD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：x2﹣25＝ ．
12．（5分）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝ °．
13．（5分）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为 ．
14．（5分）图1是轨道示意图，其中A，B，C，D是矩形的四个顶点，E为AC，BD的交点，AB＝AE＝1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B，C，D，E处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A．
（1）若机器人到点A的距离y（单位：m）关于运动时间x（单位：min）的函数图象如图2所示，则y取最大值时，x＝ ；
（2）将机器人在运动过程中经过点B，C，D，E的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有 种．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|﹣3|+（﹣1）0﹣2﹣1．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），点A，B，C的坐标分别为（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣3，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将线段AB向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）以点B为旋转中心，将线段BC按顺时针方向旋转90°，得到线段BC2，直接写出点C2的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2．设A的面积为xm2，B的面积为ym2．
（1）C的面积为 m2（用含x的代数式表示）；
D的面积为 m2（用含y的代数式表示）；
（2）若A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，求x和y．
18．（8分）某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取n位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．
已知抽取的样本中，E等级的人数为2．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）扇形统计图中a＝ ；
（2）n＝ ；
（3）每位学生的测试结果按如表进行评分：
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于3.5，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）．
参考数据：sin56°≈0.83，cs56°≈0.56，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点A，B分别在▱CDEF的边CD，CF上，DE，EF分别与⊙O相切于点M，N．
（1）求证：四边形OMEN为正方形；
（2）若CD＝9，AB＝10，求CF的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c是勾股数，记为（a，b，c）．
设m，n为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．
【规律探究】
分别对m，n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
【规律应用】
根据如表规律，请完成下列问题：
（1）m＝5，n＝1对应的勾股数是（ ， ， ），序号为 ；
（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝ ，n＝ ；
（3）序号为15的勾股数是（ ， ， ）．
【项目拓展】
（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM．
（1）求证：∠C＝2∠AMD；
（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（i）求证：PF﹣PE＝MN；
（ii）若PF＝4PE，求APPM的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y=3a2x（2a﹣x）（a＞0）．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点A(x1，32)，B(x2，32)（x1＜x2）都在抛物线上．
（i）求x1a的值；
（ii）设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m与2a﹣2的大小，并说明理由．
2026年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列比0小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣2D．6
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．2＞0，故不符合题意；
B．0＝0，故不符合题意；
C．﹣2＜0，故符合题意；
D．6＞0，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（4分）《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星系，其中130亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13×1010B．1.3×1010C．1.3×109D．13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：130亿＝13000000000＝1.3×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）一个几何体如图水平放置，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的定义画出其主视图即可．
【解答】解：这个组合体的主视图为．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，看得见的棱用实线，看不见的棱用虚线．
4．（4分）下列各式中，计算结果等于a2的是（ ）
A．a+aB．a3﹣a
C．（﹣a）•（﹣a）D．（﹣a）6÷（﹣a）3
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故此选项不符合题意；
B、a3与﹣a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、（﹣a）•（﹣a）＝（﹣a）2＝a2，故此选项符合题意；
D、（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）3＝﹣a3，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（4分）已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先将给定数据按从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义，奇数个数据的中位数为排序后最中间的数，即可求解．
【解答】解：已知一组数据1，2，9，5，2，3，6，
将数据从小到大重新排列为：1，2，2，3，5，6，9这组数据共有7个，个数为奇数，
根据中位数的定义，中位数为排序后第4个数，第4个数为3，因此此组数据的中位数是3．
故选：B．
【点评】本题考查中位数，正确进行计算是解题关键．
6．（4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，∠ABC＝45°，AE⊥BC，边BC分别与AE，AF相交于点M，N．若BC＝12，则MN＝（ ）
A．23B．33C．43D．63
【分析】依题意得△ABC是等腰直角三角形，根据AE⊥BC于点M，得AM＝BM＝CM＝6，∠AMN＝90°，再求出∠MAN＝∠EAF＝30°，在△AMN中得AN＝2MN，然后由勾股定理可得MN=23，据此可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AE⊥BC于点M，BC＝12，
∴AM＝BM＝CM=12BC＝6，∠AMN＝90°，
在△AEF中，∠AEF＝90°，∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∴∠MAN＝∠EAF＝30°，
在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝30°，
∴AN＝2MN，
由勾股定理得：AM=AN2+−MN2=(2MN)2−MN2=3MN，
∴3MN＝6，
∴MN=23．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
7．（4分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则ba=（ ）
A．﹣2B．−12C．12D．2
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0，
整理得，b2﹣4ab+4a2＝0，
则（b﹣2a）2＝0，
所以b＝2a，
所以ba=2aa=2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（4分）如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD的各边与HNM所在的圆分别相切于点E，M，H，N．BH，BM所在圆的圆心分别是E，F．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π2−1B．5π4−1C．7−3π2D．7−5π4
【分析】设EH交MH于点O，则ON＝OM＝FM＝1，EB＝2，∠HON＝∠NOE＝∠EOM＝∠BEH＝90°，由S阴影＝S扇形HON+S扇形NOE+S扇形EOM+S扇形BEH﹣S正方形MOEF﹣S扇形BFM，求得S阴影=3π2−1，于是得到问题的答案．
【解答】解：设EH交MH于点O，
∵矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，
∴ON＝OM＝FM＝1，EB＝2，∠HON＝∠NOE＝∠EOM＝∠BEH＝90°，
∵S阴影＝S扇形HON+S扇形NOE+S扇形EOM+S扇形BEH﹣S正方形MOEF﹣S扇形BFM，
∴S阴影=90π×12360×3+90π×22360−12−90π×12360=3π2−1，
故选：A．
【点评】此题重点考查正方形的性质、扇形的面积公式等知积，正确理解和应用扇形的面积公式是解题的关键．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y=mx（m≠0）在第一象限内的图象交于点P．若OP＝OB，PAAB=35，则m＝（ ）
A．34B．43C．1225D．2512
【分析】依据题意，过P作PC⊥y轴于C，则PE∥OA，可得OBBE=ABBP=58，由一次函数为y＝kx﹣1（k≠0），则当x＝0时，y＝﹣1，则B（0，﹣1），从而OB＝1，可得OP＝OB＝1，进而BE=85，则OE＝BE﹣OB=35，即P的纵坐标为35，结合一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y=mx（m≠0）在第一象限内的图象交于点P，进而P的横坐标为：m35=5m3，则PE=5m3，m＞0，故OP=OE2+PE2=925+25m29=1，最后计算可以得解．
【解答】解：过P作PC⊥y轴于C，
∴PE∥OA，
∴OBBE=ABBP=58．
由题意，∵一次函数为y＝kx﹣1（k≠0），
∴当x＝0时，y＝﹣1，则B（0，﹣1）．
∴OB＝1．
∴OP＝OB＝1．
∴BE=85，则OE＝BE﹣OB=35．
∴P的纵坐标为35．
∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y=mx（m≠0）在第一象限内的图象交于点P，
∴P的横坐标为：m35=5m3，则PE=5m3，m＞0．
∴OP=OE2+PE2=925+25m29=1．
∴m=1225（负值不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质与一次函数的性质是关键．
10．（4分）如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．DF＝CEB．CM=2DNC．CH＝CND．AN=2CD
【分析】对于选项A，连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，记为⊙M，证明点D在⊙M上得∠ADB＝90°，进而得∠FEA＝45°，由此得△FAD是等腰直角三角形，则DF＝AF，证明△AFC和△CBE全等得AF＝CE，据此得选项A正确；
对于选项B，由AD＝DC得弧AD＝弧DC，则∠1＝∠2＝22.5°，由垂径定理得MD⊥AC，证明△AMC是等腰直角三角形得∠MCA＝45°，由此得MQ＝AQ＝CQ，在Rt△MQC中，由勾股定理得CM＝MQ=2AQ，明△ADN是等腰直角三角形得AD＝DN，在△AQD中，由∠AQD＝90°得AQ＜AD，则AQ＜DN，由此得CM＜2DN，则选项B错误；
对于选项C，证明∠CNH＝∠CHN＝67.5°得CH＝CN，据此得选项C正确；
对于选项D，对于选项D，根据△ADN是等腰直角三角形且AD＝ND，由勾股定理得AN＝√2AD，然后根据AD＝CD得选项D正确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC，
∴AB是△ABC外接圆的直径，
∵点M是AB的中点，
∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M，
∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点，
∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°，
∴∠CAB＝∠EDB＝45°，
∴点D在⊙M上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°，
∵AF⊥DE，垂足为F，
∴∠F＝90°，
∴△FAD是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，
在△BCE中，∠E＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠FCA＝∠EBC，
在△AFC和△CBE中，
∠F=∠E=90°∠FCA=∠EBCAC=BC，
∴△AFC≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE，
∴DF＝CE，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
∵AD＝DC，
∴AD=DC，
∴∠1＝∠2=12∠CBA＝22.5°，
由垂径定理得：MD⊥AC，
∴∠MQC＝∠AQD＝90°，
在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点，
∴CM⊥AB，CM＝AM＝BM=12AB，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠MCA＝45°，
又∵MD⊥AC，
∴MQ＝AQ＝CQ=12AC，∠CMB＝∠CMA＝90°，
在△MQC中，由勾股定理得：CM=MQ2+CQ2=2MQ=2AQ，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM是AB边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AD＝DN，
在△AQD中，∠AQD＝90°，
∴AQ＜AD，
∴CM＜2AD，
故选项B错误，符合题意；
对于选项C，
在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°，
∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°，
∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°，
在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°，
∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°，
∴CH＝CN，
故选项C正确，不符题意；
对于选项D，
∵CM⊥AB，AM＝BM，
∵CM是AB边的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠3＝∠2＝22.5°，
∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°，
又∴∠CAD＝∠1＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°，
在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴AD＝ND，
由勾股定理得：AN=AD2+ND2=2AD，
∵AD＝CD，
∴AN=2CD，
故选项D正确，不符合题意，
综上所述：选项B错误，符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：x2﹣25＝ （x+5）（x﹣5） ．
【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣应用公式法，熟练掌握因式分解﹣应用公式法进行求解是解决本题的关键．
12．（5分）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝ 36 °．
【分析】根据正五边形的性质和它的内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合正五边形的外角和是360°，求得正五边形的每个外角是72°，然后可解答．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE=180°×(5−2)5=108°，
∵正五边形的外角和是360°，
∴∠CBF＝360°÷5＝72°．
∴∠CDE﹣∠CBF＝108°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．
13．（5分）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为 12 ．
【分析】只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利用概率公式计算即可．
【解答】解：所有可能出现的结果共4种，且每种结果发生的可能性相等，
其中抽取到“开平方”问题的结果有2种．
根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为24=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
14．（5分）图1是轨道示意图，其中A，B，C，D是矩形的四个顶点，E为AC，BD的交点，AB＝AE＝1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B，C，D，E处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A．
（1）若机器人到点A的距离y（单位：m）关于运动时间x（单位：min）的函数图象如图2所示，则y取最大值时，x＝ 1+3 ；
（2）将机器人在运动过程中经过点B，C，D，E的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有 4 种．
【分析】（1）首先由矩形得到EC＝BE＝AE＝1m，∠ABC＝90°，然后结合图象判断出机器人从点A出发，运动到点B，然后运动到点C时y取得最大值，然后利用勾股定理求解；
（2）根据题意分情况讨论，分别求出所有运动方式的用时，然后比较求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴EC＝BE＝AE＝1m，∠ABC＝90°，
由图象可得，当x＝1时，y＝1，
∴当x＝1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E，
∵从x＝1到y取最大值时，y随x的增大而增大，
∴机器人从点B运动到点C，或从点E运动到点C，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意，
∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值，
∵AC＝AE+EC＝2m，AB＝1m，∠ABC＝90°，
∴BC=AC2−AB2=22−12=3(m)，
∴y取最大值时，x=AB+BC=1+3，
故答案为：1+3；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴EC＝ED＝1m，CD＝AB＝1m，AD=BC=3m，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴机器人的运动方式有：
①A→B→C→E→D→A，
∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD）÷1＝（1+3+1+1+3）÷1=23+3（min）；
②A→B→C→D→E→A，
∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA）÷1＝（1+3+1+1+1）÷1=3+4（min）；
③A→B→E→C→D→A，
∴运动时间为（AB+BE+EC+CD+DA）÷1＝（1+1+1+1+3）÷1=3+4（min）；
④A→E→B→C→D→A，
∴运动时间为（AE+EB+BC+CD+DA）÷1＝（1+1+3+1+3）÷1=23+3（min）；
⑤A→E→D→C→B→A，
∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA）÷1＝（1+1+1+3+1）÷1=3+4（min）；
⑥A→D→C→E→B→A，
∴运动时间为（AD+DC+CE+EB+BA）÷1＝（3+1+1+1+1）÷1=3+4（min）；
⑦A→D→E→C→B→A，
∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+BA）÷1＝（3+1+1+3+1）÷1=23+3（min）；
⑧A→D→C→B→E→A，
∴运动时间为(AD+DC+CB+BE+EA)÷1=(3+1+3+1+1)÷1=23+3(min)；
∵23+3−(3+4)
=23+3−3−4
=3−1＞0，
∴23+3＞3+4，
∴3+4为最短用时，共4种，
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数的图象，分类讨论等，掌握综合知识是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：|﹣3|+（﹣1）0﹣2﹣1．
【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可．
【解答】解：|﹣3|+（﹣1）0﹣2﹣1
＝3+1−12
=72．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），点A，B，C的坐标分别为（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣3，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将线段AB向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）以点B为旋转中心，将线段BC按顺时针方向旋转90°，得到线段BC2，直接写出点C2的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，线段A2B2即为所求；
（3）如图，画出线段BC2，
∴点C2的坐标为（3，1）．
【点评】本题考查了图形的对称，平移，旋转，掌握作图是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2．设A的面积为xm2，B的面积为ym2．
（1）C的面积为 （2x+2） m2（用含x的代数式表示）；
D的面积为 （3y﹣3） m2（用含y的代数式表示）；
（2）若A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，求x和y．
【分析】（1）由题意分别列出代数式即可；
（2）根据A的面积与B的面积之和为10m2，C的面积比D的面积少5m2，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）∵C的面积比A的面积的2倍多2m2，D的面积比B的面积的3倍少3m2，
C的面积为（2x+2）m2，D的面积为（3y﹣3）m2，
故答案为：（2x+2），（3y﹣3）；
（2）由题意得：x+y=10(3y−3)−(2x+2)=5，
解得：x=4y=6，
答：x＝4，y＝6．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（8分）某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取n位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．
已知抽取的样本中，E等级的人数为2．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）扇形统计图中a＝ 4 ；
（2）n＝ 50 ；
（3）每位学生的测试结果按如表进行评分：
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于3.5，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
【分析】（1）1减去其他等级的百分比即可得a的值；
（2）根据E等级的人数和百分比即可得n的值；
（3）求出样本数据的平均分，用样本估计总体的思想即可解答．
【解答】解：（1）a＝（1﹣18%﹣40%﹣32%﹣6%）×100＝4，
故答案为：4；
（2）n＝2÷4%＝50，
故答案为：50；
（3）该校七年级学生体能训练整体情况良好，理由如下：
样本数据的平均分为：5×18%+4×40%+3×32%+2×6%+1×4%＝3.62，
3.62＞3.5，
∴该校七年级学生体能训练整体情况良好．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，能从统计图表中获取信息，明确相关统计量的确定方法是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）．
参考数据：sin56°≈0.83，cs56°≈0.56，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80．
【分析】由题意可得∠CAD＝90°，结合三角形的内角和定理可得∠ABD＝90°，解Rt△CAD可得AD的长，解Rt△ABD可得AB的长．
【解答】解：由题意可得∠CAD＝90°，∠BAD＝90°﹣37°＝53°，∠BDA＝90°﹣53°＝37°，CD＝660m，
∴∠ABD＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
在Rt△CAD中，∠ACD＝56°，sin56°≈0.83，
∴sin∠ACD=ADCD=AD660≈0.83，
∴AD≈0.83×660＝547.8（m），
在Rt△ABD 中，∠BDA＝37°，sin37°≈0.60，
∴sin∠BDA=ABAD≈0.60，
∴AB≈0.60×AD＝0.60×547.8＝328.68（m）≈328.7（m），
∴A，B间的距离约为328.7m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点A，B分别在▱CDEF的边CD，CF上，DE，EF分别与⊙O相切于点M，N．
（1）求证：四边形OMEN为正方形；
（2）若CD＝9，AB＝10，求CF的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠C＝90°，再根据平行四边形的性质得到∠E＝∠C＝90°，接着根据切线的性质得到∠OME＝∠ONE＝90°，于是可判断四边形OMEN为矩形，然后利用OM＝ON可判断四边形OMEN为正方形；
（2）延长MO交CF于H点，连结OC，如图，先判断四边形CDEF为矩形得到∠F＝90°，EF＝CD＝9，再利用四边形OMEN为正方形得到ON＝EN＝5，接着证明四边形ONFH为矩形得到∠OHF＝90°，OH＝NF＝4，FH＝ON＝5，于是利用勾股定理可计算出CH＝3，然后计算CH+HF即可．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵DE，EF分别与⊙O相切于点M，N．
∴OM⊥DE，ON⊥EF，
∴∠OME＝∠ONE＝90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN为正方形；
（2）解：延长MO交CF于H点，连结OC，如图，
∵平行四边形CDEF的内角∠DCF＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴∠F＝90°，EF＝CD＝9，
∵AB＝10，四边形OMEN为正方形，
∴ON＝EN＝5，
∴∠MHF＝90°，
∵∠ONF＝∠F＝∠NOH＝90°，
∴四边形ONFH为矩形，
∴∠OHF＝90°，OH＝NF＝9﹣5＝4，FH＝ON＝5，
在Rt△OCH中，∵OC＝5，OH＝4，
∴CH=52−42=3，
∴CF＝CH+HF＝3+5＝8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质和圆周角定理．
六、（本题满分12分）
21．（12分）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c是勾股数，记为（a，b，c）．
设m，n为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．
【规律探究】
分别对m，n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
【规律应用】
根据如表规律，请完成下列问题：
（1）m＝5，n＝1对应的勾股数是（ 24 ， 10 ， 26 ），序号为 7 ；
（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝ 6 ，n＝ 1 ；
（3）序号为15的勾股数是（ 11 ， 60 ， 61 ）．
【项目拓展】
（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得m2﹣n2＝352m＝12，m2+n2＝37，把m2﹣n2＝35，m2+n2＝37，两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入2mn＝12求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为（m﹣1）组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为k(k−1)2组，然后根据题意得出k(k−1)2=15，求出k的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【解答】解：（1）当m＝5，n＝1时，m2﹣n2＝52﹣12＝24，2mn＝2×5×1＝10，m2+n2＝52+12＝26，
∴m＝5，n＝1对应的勾股数是（24，10，26），序号为7，
故答案为：24，10，26，7；
（2）根据题意，得m2﹣n2＝35，2mn＝12，m2+n2＝37，
∴m2﹣n2+m2+n2＝35+37，即2m2＝72，
又∵m＞0，
∴m＝6，
把m＝6代入2mn＝12，得2×6n＝12，
解得n＝1，
∴勾股数（35，12，37）对应的m＝6，n＝1，
故答案为：6，1；
（3）由表格知，当m＝2时，符合题意的勾股数有2﹣1＝1组；
当m＝3时，符合题意的勾股数有3﹣1＝2组；
当m＝4时，符合题意的勾股数有4﹣1＝3组；
……，
当m＝k（k≥2的整数）时，符合题意的勾股数有（k﹣1）组；
此时一共有1+2+3+⋯+(k−1)=k(k−1)2组勾股数，
当k(k−1)2=15时，解得k＝6或k＝﹣5（舍去），
∴序号为15时，m＝k＝6，n＝k﹣1＝5，
∴m2﹣n2＝62﹣52＝11，2mn＝2×6×5＝60，m2+n2＝62+52＝61，
序号为15的勾股数是（11，60，61），
故答案为：11，60，61；
（4）不正确，理由：
当m＝5，n＝4时，m2+n2＝52+42＝41，序号为(5−1)×(5−2)2+4=10；
当m＝6，n＝1时，m2+n2＝62+12＝37，序号为(6−1)×(6−2)2+1=11；
∵41＞37，10＜11，
∴序号从10增加到11时，m2+n2的值减小，
∴他的猜想不正确．
【点评】本题考查了勾股数，掌握勾股数是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM．
（1）求证：∠C＝2∠AMD；
（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（i）求证：PF﹣PE＝MN；
（ii）若PF＝4PE，求APPM的值．
【分析】（1）由题意，AD＝DM，AB∥CD，则可证∠DMA＝∠DAM＝∠MAB，则∠C＝∠DAB＝2∠AMD；
（2）（i）作MG⊥PF于G，可证∠EMA＝∠GMA，则可证明△MEP≌△MGP，所以PE＝PG，通过证明四边形MNFG为矩形，得MN＝GF，则题目可证；
（ⅱ）作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，因为PF＝4PE，设PE＝a，则PG＝a，PF＝4a，FG＝MN＝3a，，可证明△AHQ≌△MNC，所以AH＝MN＝3a，且可证PG∥AH，则所以△MPG∽△MAH，所以MPMA=PGAH=a3a=13，则题目可证．
【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，
∴∠DMA＝∠MAB，
∵CD＝2AD，边CD的中点为M，
∴DM=12CD=AD，
∴∠DMA＝∠DAM，
∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD，
∴∠C＝2∠AMD；
（2）（i）证明：作MG⊥PF于G，
∵MN⊥BC，PF⊥BC，
∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°，
∴四边形MNFG为矩形，
∴MN＝GF，∠GMN＝90°，
∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°，
∴∠C＝∠EMG，
∴∠EMG＝2∠EMA，
∴∠EMA＝∠GMA，
∵PE⊥CD，
∴∠MEP＝∠MGP＝90°，
∵MP＝MP，
∴△MEP≌△MGP（AAS），
∴PE＝PG，
∵PF﹣PG＝GF，
∴PF﹣PE＝MN；
（i）解：作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，
由（i）知，MG∥NF，
∵在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠C＝∠DAB，
∴MQ∥AD，
∴∠DAB＝∠AQH，
∴∠C＝∠AQH，
∵MQ∥AD，AB∥CD，
∴四边形AQMD为平行四边形，
∴AQ＝DM，
∵M为边CD的中点，
∴CM＝DM＝AQ，
又∠H＝∠MNC＝90°，
∴△AHQ≌△MNC（AAS），
∴AH＝MN，
∵PF＝4PE，
设PE＝a，则PF＝4a，PG＝a，FG＝MN＝3a，
∴MN＝AH＝3a，
∵MH⊥PF，MH⊥AH，
∴PG∥AH，
∴△MPG∽△MAH，
∴MPMA=PGAH=a3a=13，
∴MPPA=12，
即APPM=2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y=3a2x（2a﹣x）（a＞0）．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点A(x1，32)，B(x2，32)（x1＜x2）都在抛物线上．
（i）求x1a的值；
（ii）设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m与2a﹣2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与x轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标；
（2）（i）根据点A，B的纵坐标，令y=32求出x1，x2，即可求出x1a；
（ii）根据（i）求出AB=x2−x1=2a，那么m不可能超过2a+1，令2a+1＜2a−2，可知a≥6时，m＜2a﹣2恒成立，故只用对a＝1，2，3，4，5依次分类讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2a，0），
则抛物线的对称轴为x=0+2a2=a，
把x＝a代入抛物线解析式得y=3a2×a(2a−a)，
解得y＝3，即为抛物线顶点的纵坐标；
（2）（i）令y=32，可得x(2a−x)=a22，
即x2−2ax+a22=0，
∵x1＜x2，
故解得x1=2−22a，x2=2+22a，
∴x1a=2−22；
（ii）m＞2a﹣2；
由（i）得AB=x2−x1=2a，已知2≈1.414，
∴m＝2a﹣1＞2a﹣2综上所述，m＞2a﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论等，掌握综合知识是解题的关键．
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A
B
C
D
E
分值
5
4
3
2
1
m
n
勾股数（m2﹣n2，2mn，m2+n2）
序号
2
1
（3，4，5）
1
3
1
（8，6，10）
2
2
（5，12，13）
3
4
1
（15，8，17）
4
2
（12，16，20）
5
3
（7，24，25）
6
…
…
…
…
等级
A
B
C
D
E
分值
5
4
3
2
1
m
n
勾股数（m2﹣n2，2mn，m2+n2）
序号
2
1
（3，4，5）
1
3
1
（8，6，10）
2
2
（5，12，13）
3
4
1
（15，8，17）
4
2
（12，16，20）
5
3
（7，24，25）
6
…
…
…
…