2026年湖南省中考数学试卷及答案

这是一份2026年湖南省中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某品牌三角板的售价是每副3元，则买a副这样的三角板需要（ ）
A．3a元B．（3+a）元C．a3元D．a3元
2．（3分）如图，该电池的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．（3分）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．43B．2C．32D．5
5．（3分）已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．4
6．（3分）若x＝1是分式方程2x+ax=3的解，则a的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（3分）在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．34
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则下列说法正确的是（ ）
A．BC＝2ADB．∠ADC＝135°
C．AD∥BCD．BD平分∠ABC
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．(−2，0)
10．（3分）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（ ）
A．a•tanαB．（a﹣b）sinαC．（a﹣b）csαD．（a﹣b）tanα
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）化简：3a+2a＝ ．
12．（3分）因式分解：t2﹣25＝ ．
13．（3分）已知x2﹣4x＝0，则代数式2x2﹣8x+2026的值是 ．
14．（3分）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝ ．
15．（3分）如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于AB的长的6倍，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，A，B，C是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D．
（1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝ ；
（2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝ ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：2sin30°+|﹣3|+22．
18．（6分）解不等式组：x−2＞1①2(x+1)＞4②．
19．（8分）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造，他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙成效大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
20．（8分）如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径．
21．（10分）科技创新，从“小”做起．某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理，部分信息如下：
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）本次问卷调查中，参与调查的学生有 人；
（2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为 ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校有1200名学生，选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
（5）该校准备给四个科技活动项目设置80个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额．
22．（10分）某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图2，该阅读室摆放了5行8列共40套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
【数据分析】
（1）如图1，连接FH，则FH＝ 米，取2≈1.414，EH≈ 米（结果保留一位小数）；
（2）求阅读室的长与宽；
【问题解决】
（3）调整桌椅摆放方向如图3所示（EH平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为0.6米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60套桌椅，并说明理由．
23．（12分）如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离．
24．（12分）【问题背景】
如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．
【动手操作】
将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S；
操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP．
【问题解决】
（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝ °；
（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：
①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；
（3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值．
2026年湖南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）某品牌三角板的售价是每副3元，则买a副这样的三角板需要（ ）
A．3a元B．（3+a）元C．a3元D．a3元
【分析】根据题意，列出代数式即可．
【解答】解：由题知，
因为三角板的售价是每副3元，
所以买a副这样的三角板需要3a元．
故选：A．
【点评】本题主要考查了列代数式，能根据题意列出代数式是解题的关键．
2．（3分）如图，该电池的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：根据主视图的定义，从正面观察，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．（3分）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据有理数的混合运算法则进行解题即可．
【解答】解：（+1）×2+（﹣2）
＝（+2）﹣2
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（3分）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．43B．2C．32D．5
【分析】根据数轴得出点P表示的数的取值范围，再根据每个选项判断即可．
【解答】解：设点P表示的数是x，由数轴得2＜x＜3，
43＜2，2＜2，32＜2，2＜5＜3，
所以点P表示的数可能是5，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
5．（3分）已知a＞0，b＞0，且（ab）n＝a2b2，则n的值是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．4
【分析】根据积的乘方法则解答即可．
【解答】解：∵（ab）n＝a2b2（a＞0，b＞0），
∴n＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）若x＝1是分式方程2x+ax=3的解，则a的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】将x＝1代入原方程后解得a的值即可．
【解答】解：若x＝1是分式方程2x+ax=3的解，
则2+a＝3，
解得：a＝1，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．
7．（3分）在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识．将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．34
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，
∴恰好抽中“湘剧”卡片的概率为14，
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，则下列说法正确的是（ ）
A．BC＝2ADB．∠ADC＝135°
C．AD∥BCD．BD平分∠ABC
【分析】根据∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，可得BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∠ABD＝∠ADB＝45°，逐项判断即可．
【解答】解：∵BC＝2BD≠2AD，故A选项错误．
∵∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，
∴BC＝2BD，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ADC＝90°+45°＝135°，故B选项正确；
∵∠CBD≠∠ADB，
∴AD与BC不平行，故C选项错误；
∵∠CBD≠∠ABD，
∴BD不平分∠ABC，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA＝OC，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．(−2，0)
【分析】由等腰三角形的性质和直角三角形的性质推出∠OCB＝∠OBC，再由等腰三角形的判定得OC＝OB，则OC＝OA＝1，即可解决问题．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
由题意可知，∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
∴OC＝OA＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E．已知AC＝a，EF＝b，∠ACD＝α，且a＞b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（ ）
A．a•tanαB．（a﹣b）sinαC．（a﹣b）csαD．（a﹣b）tanα
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明四边形AEFG是矩形，得到AE＝FG，AG＝EF＝b，则CG＝a﹣b，根据tanα=GFCG，得到FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，即可求出AE．
【解答】解：过点F作 FG⊥AC于点G，
∵AC⊥AB，EF⊥AB，FG⊥AC，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE＝FG，AG＝EF＝b，
∵AC＝a，
∴CG＝AC﹣AG＝a﹣b，
在Rt△CGF 中，∠GCF＝∠ACF＝a，
∴tanα=GFCG，
∴FG＝CGtanα＝（a﹣b）tanα，
∴AE＝FG＝（a﹣b）tanα，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）化简：3a+2a＝ 5a ．
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：3a+2a＝（3+2）a＝5a．
故答案为：5a．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．（3分）因式分解：t2﹣25＝ （t+5）（t﹣5） ．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：t2﹣25＝（t+5）（t﹣5），
故答案为：（t+5）（t﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
13．（3分）已知x2﹣4x＝0，则代数式2x2﹣8x+2026的值是 2026 ．
【分析】将要求的代数式变形为2（x2﹣4x）+2026，再整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x＝0，
∴2x2﹣8x+2026＝2（x2﹣4x）+2026＝2×0+2026＝2026，
故答案为：2026．
【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键．
14．（3分）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝ 120° ．
【分析】根据正六边形的内角和求得每一个内角为120°，由外角和角可得∠ABD＝∠CBD＝60°从而求解．
【解答】解：∵这两个多边形为正六边形，
∴每一个内角是(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABD和∠CBD是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°，
∴每一个外角是360°6=60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式和外角和为360°是关键．
15．（3分）如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于AB的长的6倍，则阴影部分的面积为 6π ．
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
设∠AOB的度数为n°，
则n⋅π⋅6180=16×2π×6，
解得n＝60，
所以∠AOB＝60°，
所以阴影部分的面积为60⋅π⋅62360=6π．
故答案为：6π．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
16．（3分）如图，A，B，C是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D．
（1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝ 2 ；
（2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝ 32 ．
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得∠OCD＝∠OAD，在Rt△OAD中求tan∠OAD即可；
（2）连接BE并延长，交x轴于点F，先根据平行关系得出BE∥AD，根据A，B，E三点坐标关系得出BF＝2AD，再根据相似三角形的相似比得出EF=12AD，即可求出BE=BF−EF=32AD．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ODA＝90°，OD＝4，AD＝2，
∵C在△OAD的外接圆上，∠OCD，∠OAD所对圆弧均为OD，
∴tan∠OCD＝tan∠OAD=ODAD=2，
故答案为：2；
（2）如图，连接BE并延长，交x轴于点F，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由E是线段OA的中点得E(x12，x22)，
∵AD⊥x轴，BE∥y轴，
∴AD∥BE，
∴B，E两点横坐标相同，
∴x12=x2，即x1＝2x2，
∵A，B都在反比例函数上，
∴x1y1＝x2y2＝k，
∴y1=12y2，即BF＝2AD，
∵AD∥BE，
∴△OEF∽△OAD，
∴EFAD=OEOA=12，
∵BF=BE+EF=BE+12AD=2AD
∴BE=32AD，
∴m=32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了圆的基本性质，反比例函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：2sin30°+|﹣3|+22．
【分析】先根据特殊角的三角函数值、绝对值、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：2sin30°+|﹣3|+22
=2×12+3+4
＝1+3+4
＝8．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
18．（6分）解不等式组：x−2＞1①2(x+1)＞4②．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即可．
【解答】解：x−2＞1①2(x+1)＞4②，
解不等式①，得x＞3，
解不等式②，得x＞1，
所以不等式组的解集是x＞3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（8分）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造，他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙成效大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，则三代治沙人的治沙面积为（3x+5）万亩，根据该地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，则三代治沙人的治沙面积为（3x+5）万亩，
根据题意得：3x+5＝29，
解得：x＝8．
答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（8分）如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径．
【分析】（1）先利用基本作图得OP平分∠AOB，则根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得到AC＝BC=12AB＝6，然后利用勾股定理计算出OC即可．
【解答】（1）证明：由作法得OP平分∠AOB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC为半径，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝6，
在Rt△OAC中，∵OA＝10，AC＝6，
∴OC=102−62=8，
即⊙O的半径为8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质．
21．（10分）科技创新，从“小”做起．某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理，部分信息如下：
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）本次问卷调查中，参与调查的学生有 100 人；
（2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为 90° ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校有1200名学生，选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
（5）该校准备给四个科技活动项目设置80个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额．
【分析】（1）根据项目B的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数；
（2）用项目C的人数占比×360°求解即可；
（3）求出项目A的人数，补全条形图；
（4）用1200乘以小论文占比即可求解；
（5）用学生总人数乘以各项目人数所占占比即可．
【解答】解：（1）根据项目B的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数为：50÷50%＝100（人），
即本次参与调查学生有100人，
故答案为：100；
（2）项目C对应的圆心角的度数为：360°×25100=90°，
故答案为：90°；
（3）项目A的人数为：100﹣50﹣25﹣15＝10（人），
补全条形图：
（4）由题意得，选择参与“小论文”项目的人数约为：1200×15100=180（人）；
（5）分配给项目A的名额为：80×10100=8（人）；
分配给项目B的名额为：80×50%＝40（人）；
分配给项目C的名额为：80×25100=20（人）；
分配给项目D的名额为：80×15100=12（人）．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图相关联，利用样本估计总体．熟练掌握以上知识点是关键．
22．（10分）某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图2，该阅读室摆放了5行8列共40套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
【数据分析】
（1）如图1，连接FH，则FH＝ 2.4 米，取2≈1.414，EH≈ 1.7 米（结果保留一位小数）；
（2）求阅读室的长与宽；
【问题解决】
（3）调整桌椅摆放方向如图3所示（EH平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为0.6米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60套桌椅，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出FH，根据勾股定理求EH即可；
（2）根据长为8个FH的长加上7个过道；宽为5个FH的长加上4个过道求解即可；
（3）设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，根据x个EH的长加上（x﹣1）个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数x的最大值，根据y个EH的长加上（y﹣1）个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出x的最大值，然后与60比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴EA＝FA＝ED＝DH，∠E＝90°，
∴FH＝2AD＝2.4 （米），EF＝EH，
∴EF2+EH2＝2EH2＝FH2＝2.42，
∴EH=2.42≈1.7（米），
故答案为：2.4，1.7；
（2）阅读室的长为2.4×8+0.6×（8﹣1）＝23.4（米），宽为2.4×5+0.6×（5﹣1）＝14.4（米），
答：阅读室的长为23.4米，宽为14.4米；
（3）可以摆下，
理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，
根据题意，得1.7x+0.6（x﹣1）≤23.4﹣0.5×2，
解得x≤10，
∴最大整数x为10，
根据题意，得1.7y+0.6（y﹣1）≤14.4﹣0.5×2，
解得y≤6223，
∴最大整数y为6，
∵10×6＝60，
∴可以摆下．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，列不等式等，掌握其相关知识点是解题的关键．
23．（12分）如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B到公路l1的距离BD＝3km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4km与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧靠公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1km，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点E到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离．
【分析】（1）由OA＝7km，确定A（7，0），利用勾股定理由AB＝5km、BD＝3km，求点B的横坐标；
（2）用待定系数法分别求直线AB和抛物线OCB的解析式；
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为172km，即HE+EF+FG=172km，设E（e，0），利用抛物线解析式写出H（e，﹣e2+4e），利用直线AB解析式写出G(f，−34f+214)；由EH＝2FG把f用e表示，再得到关于e的一元二次方程，结合e＜1.5取根，即可得到栅栏EH到铁路l2（y轴）的距离．
【解答】解：（1）∵O为原点，l1为x轴，OA＝7km，
∴A（7，0），
∵点B到l1的距离BD＝3km，AB＝5km，
∴DA=AB2−BD2=52−32=4km，
∴OD＝OA﹣DA＝7﹣4＝3km，
∴B（3，3）；
（2）设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，
将A（7，0）、B（3，3）代入得：7k+b=03k+b=3，
解得k=−34b=214，
∴直线AB的函数表达式为：y=−34x+214，
∵顶点C到l1的距离为4km，到l2的距离为2km，
∴C（2，4），
∴设抛物线OCB的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将O（0，0）代入得0＝4a+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴抛物线OCB的函数表达式为：y＝﹣x2+4x；
（3）建1km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元，
∴棚栏总长为172km，
∴HE+EF+FG=172，
设点E的坐标为（e，0），且0＜e＜3，
∵点E到铁路l2的距离小于1.5km，
∴e＜1.5，
∵点H在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴H（e，﹣e2+4e），
∴HE＝﹣e2+4e，
设点F的坐标为（f，0），且f＞e，
∵点G在直线AB：y=−34x+214上，
∴G(f，−34f+214)，
∴FG=−34f+214，
∵EH＝2FG，
∴−e2+4e=2(−34f+214)，
整理得：f=2e2−8e+213，
又∵EF＝f﹣e，
∴HE+EF+FG=(−e2+4e)+(f−e)+(−34f+214)=172，
将f=2e2−8e+213代入，整理得：5e2﹣14e+9＝0，
解得：e1＝1，e2=95，
∵e＜15，
∴e=95不合题意，舍去，
∴e＝1，
∴栅栏EH到铁路l2的距离为1km．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质等知识，掌握其相关知识点是解题的关键．
24．（12分）【问题背景】
如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．
【动手操作】
将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S；
操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP．
【问题解决】
（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝ 100 °；
（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：
①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；
（3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值．
【分析】（1）根据平角定义求解即可；
（2）选择①：根据平行线的性质得出∠ASQ＝∠BAP，结合∠QAS＝∠ABP即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出QS∥CD，根据平行线的性质得出∠QSD＝∠PDC，结合∠QDS＝∠DCP即可得证；
（3）根据（2）中：△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，可得出AB•SQ＝AP•AS，AB•SQ＝DP•DS，则AP•AS＝DP•DS，变形为AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，则AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，得出AP•AD＝AD•DS，然后根据等式的性质即可得出结论；
（4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等，得出DQ＝AR，由图3中△DSQ﹣△CDP，得出QDPC=DSCD，结合 AP＝DS，得出ARPC=APCD，则可证明△ARP∽△CPD，设PD＝x，则 AP＝4﹣x，根据相似三角形的性质求出PR=4x−x23，则PR+PD=4x−x23+x，然后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BPC＝80°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠BPC＝100°，
故答案为：100；
（2）选择①△ASQ∽△BAP，
证明：∵QS∥AB，
∴∠ASQ＝∠BAP，
又∵∠QAS＝∠ABP，
∴△ASQ∽△BAP；
选择②△DSQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
又∵QS∥AB，
∴QS∥CD，
∴∠QSD＝∠PDC，
又∵∠QDS＝∠DCP，
∴△DSQ∽△CDP；
（3）AP＝DS，理由：
∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，
∴SQAP=ASAB①，SQDP=DSCD，
∵AB＝CD，
∴SQDP=DSAB②，
由①得AB•SQ＝AP•AS，
由②得AB•SQ＝DP•DS，
∴AP•AS＝DP•DS，
∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，
∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，
∴AP•AD＝AD•DS，
∴AP＝DS；
（4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等，
∴DQ＝AR，
∵图3中△DSQ∽△CDP，
∴QDPC=DSCD，
由（3）知：AP＝DS，
∴ARPC=APCD，
又∵∠RAP＝∠DCP，
∴△ARP∽△CPD，
∴ARPC=APDC=PRPD，
设PD＝x，则AP＝4﹣x，
∴4−x3=PRx，
解得PR=4x−x23，
∴PR+PD=4x−x23+x
=−13x2+73x
=−13(x−72)2+4912，
∴当x=72时，PR+PD取最大值为4912．
【点评】本题主要考查了平角定义，平行线的性质，平行四边形的性质，平行线的传递性，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
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