新高考数学一轮复习基础版讲义第10章第4节　随机事件、频率与概率（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第10章第4节　随机事件、频率与概率（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了事件的关系，事件的运算，概率与频率，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.事件的关系
3.事件的运算
4.概率与频率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
[常用结论与微点提醒]
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A.至多一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都没有中靶
3.(必修二P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
4.(必修二P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面向上，504次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为________.
考点一 随机事件与样本空间
例1 (1)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是________.(填“必然事件”或“不可能事件”)
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为( )
A.5B.6C.7D.8
训练1 (1)下列说法错误的是( )
A.任一事件的概率总在[0，1]内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的，在试验前不能确定
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
考点二 事件的关系与运算
例2 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是( )
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A.A∩D＝B.B∩D＝
C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D
训练2 (1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是( )
A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件
C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1
(2)(多选)下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
考点三 频率与概率
例3 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
训练3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
【A级 基础巩固】
1.下列事件中不可能事件或必然事件的个数是( )
①2025年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④x∈R，则|x|的值不小于0.
A.1B.2C.3D.4
2.(2024·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是( )
A.3个都是白球B.3个都是红球
C.至少1个红球D.至多2个白球
3.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是( )
A.A⊆B
B.A∩B＝∅
C.A∪B＝“至少一次中靶”
D.A与B互为对立事件
4.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝( )
A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8
5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A.A⊆B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
6.(多选) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2张卡片不全为红色
B.2张卡片中恰有一张为红色
C.2张卡片中至少有一张红色
D.2张卡片都为绿色
7.(多选)(2024·太原段考)下列说法正确的是( )
A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
8.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝________.
9.某城市2024年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为________.
10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双.
11.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
12.(2024·荆州调考)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·昆明诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.08
14.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦·时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率.
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立
定义
表示法
图示
并事件
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)