新高考数学一轮复习基础版讲义第10章第2节　排列与组合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第10章第2节　排列与组合（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了排列数与组合数，排列数、组合数的公式及性质等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
[常用结论与微点提醒]
1.排列数、组合数常用公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq \\al(m－1,n).
(2)Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1).
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).
(5)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m,n－1)＋…＋Ceq \\al(m,m＋1)＋Ceq \\al(m,m)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1).
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反，等价转化.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(3)若组合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m成立.( )
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )
(5)kCeq \\al(k,n)＝nCeq \\al(k－1,n－1).( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；
(3)若Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，则x＝m或n－m，故错误.
2.(选修三P37T1(3)改编)安排6名歌手演出排序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是( )
A.120B.240C.480D.720
答案 C
解析 先考虑某歌手的位置不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4种位置可以选，共有Ceq \\al(1,4)＝4种结果，剩下5人在5个不同位置，共有Aeq \\al(5,5)＝120种结果，
所以不同安排方法有Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(5,5)＝4×120＝480(种).
3.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案 30
解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)种不同的选法；
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，
有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)种不同的选法.
不同的选法共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)＝18＋12＝30(种).
4.若Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(2,n－1)＋Ceq \\al(3,n－1)(n∈N*)，则n＝________.
答案 5
解析 由Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m－1,n－1)＋Ceq \\al(m,n－1)，所以Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(3,n)，
又因为Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，所以n－2＝3，即n＝5.
考点一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解 (1)从7人中选5人排列，有
Aeq \\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq \\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq \\al(4,4)种方法，共有Aeq \\al(3,7)·Aeq \\al(4,4)＝5 040(种).
(3)法一(特殊元素优先法) 先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq \\al(6,6)种排列方法，共有
5×Aeq \\al(6,6)＝3 600(种).
法二(特殊位置优先法) 左右两边位置可安排另6人中的两人，有Aeq \\al(2,6)种排法，其他有Aeq \\al(5,5)种排法，共有Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(5,5)＝3 600(种).
(4)法一(特殊元素优先法) 甲在最右边时，其他的可全排，有Aeq \\al(6,6)种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有Aeq \\al(1,5)种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有Aeq \\al(1,5)种，其余人全排列，有Aeq \\al(5,5)种不同排法，共有
Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)＝3 720(种).
法二(间接法) 7名学生全排列，有Aeq \\al(7,7)种方法，其中甲在最左边时，有Aeq \\al(6,6)种方法，乙在最右边时，有Aeq \\al(6,6)种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有Aeq \\al(5,5)种方法，故共有
Aeq \\al(7,7)－2Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(5,5)＝3 720(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有eq \f(Aeq \\al(7,7),Aeq \\al(3,3))＝840(种).
感悟提升 排列应用问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
训练1 (1)(2024·黄冈模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A.18种B.36种
C.72种D.108种
答案 B
解析 先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有Aeq \\al(2,3)种放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq \\al(3,3)种放法.
则共有Aeq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)＝36(种)放法.
(2)(2024·泉州质检)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有________种(填数字).
答案 672
解析 若甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排，则有2Aeq \\al(2,4)·Aeq \\al(2,4)种方案；
若丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，则有2Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,4)·Aeq \\al(1,4)种方案.
所以共有2Aeq \\al(2,4)·Aeq \\al(2,4)＋2Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,4)·Aeq \\al(1,4)＝672种停车方案.
(3)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.
答案 840
解析 7名学生的排列共有Aeq \\al(7,7)种，其中女生的排列共有Aeq \\al(3,3)种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有eq \f(Aeq \\al(7,7),Aeq \\al(3,3))＝Aeq \\al(4,7)＝840(种)不同的排法.
考点二 组合问题
例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有
Ceq \\al(2,34)＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有Ceq \\al(3,34)种或者
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(2,34)＝Ceq \\al(3,34)＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)种，选取3种假货有Ceq \\al(3,15)种，共有选取方式Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为Ceq \\al(3,35)，选取3种假货有Ceq \\al(3,15)种，
因此共有选取方式
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
感悟提升 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
训练2 (1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种B.60种
C.30种D.20种
答案 B
解析 先从5人选择1人两天均参加公益活动，有Ceq \\al(1,5)种方式；
再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有Aeq \\al(2,4)种安排方式.
所以不同的安排方式共有Ceq \\al(1,5)·Aeq \\al(2,4)＝60(种).
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
答案 64
解析 法一 由题意，可分三类：
第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)种方案；
第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)种方案；
第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)种方案.
综上，不同的选课方案共有
Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)＝64(种).
法二 若学生从这8门课中选修2门课，
则有Ceq \\al(2,8)－Ceq \\al(2,4)－Ceq \\al(2,4)＝16(种)选课方案；
若学生从这8门课中选修3门课，
则有Ceq \\al(3,8)－Ceq \\al(3,4)－Ceq \\al(3,4)＝48(种)选课方案.
综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).
考点三 排列与组合的综合
角度1 相邻与相间问题
例3 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A.12种B.24种C.36种D.48种
答案 B
解析 先将丙和丁捆在一起有Aeq \\al(2,2)种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有Aeq \\al(3,3)种排列方式，最后将甲插入中间两空，有Ceq \\al(1,2)种排列方式，
所以不同的排列方式共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Ceq \\al(1,2)＝24(种).
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.
答案 120
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.
对于第一种情况，形式为“eq \x( )小品1歌舞1小品2eq \x( )相声eq \x( )”，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＝36(种)安排方法；
同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“eq \x( )小品1eq \x( )相声eq \x( )小品2eq \x( )”，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,4)＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
角度2 分组、分配问题
例4 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
解 (1)无序不均匀分组问题.先选1本有Ceq \\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本有Ceq \\al(2,5)种选法；最后余下3本全选有Ceq \\al(3,3)种方法，
故共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝60种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝360种.
(3)无序均匀分组问题.共有eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))＝15种.
(4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有
15Aeq \\al(3,3)＝90种.
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以Aeq \\al(2,2)即可，共有eq \f(Ceq \\al(4,6)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))＝15种.
(6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有
15Aeq \\al(3,3)＝90种.
感悟提升 1.相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
2.对于分堆与分配问题应注意三点
(1)处理分配问题要注意先分堆再分配；
(2)被分配的元素是不同的；
(3)分堆时要注意是否均匀.
训练3 (1)(2024·湖北名校联考)为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为( )
A.1 176B.2 352
C.1 722D.1 302
答案 A
解析 由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况；
把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有eq \f(Ceq \\al(1,7)Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(5,5),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝126种；
把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有eq \f(Ceq \\al(2,7)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝630种；
把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式有eq \f(Ceq \\al(3,7)Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝420种，
综上，不同的安排方式种数为
126＋630＋420＝1 176.
(2)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.
答案 24
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24.
【A级 基础巩固】
1.若Aeq \\al(3,m)＝6Ceq \\al(4,m)，则m等于( )
A.9B.8C.7D.6
答案 C
解析 因为Aeq \\al(3,m)＝6Ceq \\al(4,m)，
所以m(m－1)(m－2)＝6×eq \f(m（m－1）（m－2）（m－3）,4×3×2×1)，
即1＝eq \f(m－3,4)，解得m＝7.
2.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种B.12种C.9种D.6种
答案 B
解析 1号球和2号球都不放入1号盒子，则3号球和4号球必有一个放入1号盒子，剩下的三个球全排列，所以不同的方法共有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,3)＝2×6＝12(种).
3.(2024·南昌调研)某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援，其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少有1名男医生，则不同的派遣法有( )
A.18种B.36种C.54种D.72种
答案 C
解析 3名男医生各去1个区域，有Aeq \\al(3,3)种去法，2名女医生有32种去法，
则不同的派遣法共有Aeq \\al(3,3)·32＝54种.
4.同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有( )
A.24种B.48种C.72种D.96种
答案 C
解析 根据题意分3步进行分析：
第一步，将除A，B，C之外的三人全排列，有
Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，
第二步，由于A，D必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，
第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有
Aeq \\al(2,3)＝6(种)情况，
则共有6×2×6＝72(种)不同的安排方法.
5.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种B.60种C.120种D.240种
答案 C
解析 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有Ceq \\al(1,6)＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1种不同的读物，有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,4)＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法.
6.(2024·成都蓉城名校联考)某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，若数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则不同的排法共有( )
A.24种B.144种C.48种D.96种
答案 D
解析 若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，
物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48种排法，
由分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96种不同的排法.
7.(2024·邯郸模拟)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社.已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有( )
A.21种B.30种C.42种D.60种
答案 C
解析 4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(1,4)＋\f(Ceq \\al(2,4),Aeq \\al(2,2))))种情况，
3个社团中选择2个社团，有Ceq \\al(2,3)种情况，
把2个组分配给2个社团，有Aeq \\al(2,2)种情况，
由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Ceq \\al(1,4)＋\f(Ceq \\al(2,4),Aeq \\al(2,2))))Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝42种.
8.(多选)(2024·沈阳调研)某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生，5名女生.若从中选取4名学生参加研讨会，则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
答案 AD
解析 选取的4名学生都是女生的不同选法共有Ceq \\al(4,5)＝5种，故A正确；
恰有2名女生的不同选法共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,5)＝100种，故B错误；
至少有1名女生的不同选法共有Ceq \\al(4,10)－Ceq \\al(4,5)＝205种，故C错误；
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,5)＝155种，故D正确.
9.(2024·宁波调研)中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序.若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为________.(用数字作答)
答案 24
解析 先将徵、羽两音阶捆绑在一起有Aeq \\al(2,2)种，然后与宫、商、角进行全排列有Aeq \\al(4,4)种，考虑到顺序问题，则可排成不同的音序的种数为eq \f(Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4),Aeq \\al(2,2))＝24.
10.甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种.
答案 90
解析 首先把6项工程平均分成三部分，即有eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))种不同的方法，再分别分给甲、乙、丙三家公司，有Aeq \\al(3,3)种不同的方法，所以不同的承包方案有eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))×Aeq \\al(3,3)＝90(种).
11.在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________.
答案 36
解析 依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有Ceq \\al(2,4)种方法，
再将其进行全排列共有Aeq \\al(3,3)种方法，
由分步乘法计数原理得，共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)安排方法.
12.某小区共有3个环保宣传点同时进行宣传，有6名志愿者被分配到这3个宣传点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行宣传工作的传授，每个宣传点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个宣传点，则不同的分配方案种数是________.
答案 216
解析 根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2，1，1的三组，再分配到3个宣传点，共有eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)种分法，
然后把2名“生手”分配到3个宣传点中的2个，有Aeq \\al(2,3)种分法，
所以共有eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(2,3)＝216(种)不同的分配方案.
【B级 能力提升】
13.(2024·南通调研)已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有( )
A.30种B.40种C.50种D.80种
答案 C
解析 喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，共3种.
当喜剧片2人且动作片2人时，共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)种观影方案，
当喜剧片3人且动作片2人时，共有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,2)种观影方案，
当喜剧片2人且动作片3人时，共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)种观影方案，
所以一共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝50种观影方案.故选C.
14.(2024·山东名校联考)A，B，C，D，E，F六人站成一排，C站第三位，A不站在两端，D和E相邻，则不同排列方式共有( )
A.16种B.20种
C.24种D.28种
答案 B
解析 符合要求的排法可分为三类，
第一类为A站在第二位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排A，C，有1种排法，再排D，E，有2Aeq \\al(2,2)种排法，最后排其余两人有Aeq \\al(2,2)种排法，
由分步乘法计数原理可得第一类共有1×4×2＝8种排法；
第二类为A站在第四位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排A，C，有1种排法，再排D，E，有2Aeq \\al(2,2)种排法，最后排其余两人有Aeq \\al(2,2)种排法，
由分步乘法计数原理可得第二类共有1×4×2＝8种排法；
第三类为A站在第五位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排A，C，有1种排法，再排D，E，有Aeq \\al(2,2)种排法，最后排其余两人有Aeq \\al(2,2)种排法，
由分步乘法计数原理可得第三类共有1×2×2＝4种排法.
由分类加法计数原理可得符合要求的排法共有8＋8＋4＝20种.
15.(2024·北京十一校联考)把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这2张票具有连续的编号，那么不同的分法共有________种.(用数字作答)
答案 144
解析 根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张，至多2张，
则有2个人各1张，2个人各2张且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，
即在其中的5个空隙中插入3个板子，有Ceq \\al(3,5)＝10种情况；
其中出现3张三连号的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456，共4种情况，不满足题意，
所以有10－4＝6种情况；
②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有Aeq \\al(4,4)＝24种情况，
由分步乘法计数原理可得，共有6×24＝144种不同的分法.
16.(2024·湖南师大附中质检)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.
答案 120
解析 先排偶数，有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，3个偶数，共有4个空格，
再将奇数插空，共有Aeq \\al(3,4)＝24种情况，
故组成没有重复数字且奇数不相邻的六位数的个数为Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(3,4)＝6×24＝144，
若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有Ceq \\al(1,2)种选择，第五位与第六位，其中之一为偶数，
故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有Ceq \\al(1,2)种选择，剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有Aeq \\al(3,3)＝6种选择，
则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4位于第四位共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝24个，
所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，且4不在第四位的六位数共有144－24＝120个.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！)
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1)