2025高考数学一轮复习-第10章-第4节 随机事件、频率与概率【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第10章-第4节 随机事件、频率与概率【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，考点三频率与概率，课时分层精练，BCD等内容，欢迎下载使用。
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件.②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
4.概率与频率(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的__________.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.(　　)(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　)
解析　随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.
2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　)A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没有中靶
解析　连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.
3.(必修二P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　)A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A＝BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或5
解析　设A＝{1，3}，B＝{1，5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.
4.(必修二P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面向上，504次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为________.
解析　掷一次硬币正面向上的概率为0.5.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　随机事件与样本空间
例1 (1)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为(　　)A.5B.6C.7D.8
解析　因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.
(2)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是__________.(填“必然事件”或“不可能事件”)
解析　从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.
确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
训练1 (1)下列说法错误的是(　　)A.任一事件的概率总在[0，1]内B.不可能事件的概率一定为0C.必然事件的概率一定为1D.概率是随机的，在试验前不能确定
解析　任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值.
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　)A.3B.4C.5D.6
解析　事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点.
考点二　事件的关系与运算
例2 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)A.至少有一个红球；至少有一个白球B.恰有一个红球；都是白球C.至少有一个红球；都是白球D.至多有一个红球；都是红球
解析　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；
对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　)A.A∩D＝B.B∩D＝C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D
解析　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠，B∩D＝，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
训练2 (1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(　　)A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(C∪E)＝1
解析　当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.
(2)(多选)下列说法正确的是(　　)A.对立事件一定是互斥事件B.若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
解析　对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，错误；对于D，对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立，故D错误.
例3 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
解　选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解　设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
训练3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解　当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列事件中不可能事件或必然事件的个数是(　　)①2025年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则|x|的值不小于0.A.1B.2C.3D.4
解析　①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.
2.(2024·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(　　)A.3个都是白球B.3个都是红球C.至少1个红球D.至多2个白球
解析　从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生，故选A.
3.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　)A.A⊆BB.A∩B＝∅C.A∪B＝“至少一次中靶”D.A与B互为对立事件
解析　事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确.
解析　∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，
5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析　由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数是1或2或3.
6.(多选) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(　　)A.2张卡片不全为红色B.2张卡片中恰有一张为红色C.2张卡片中至少有一张红色D.2张卡片都为绿色
解析　C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥；A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B，D正确.
7.(多选)(2024·太原段考)下列说法正确的是(　　　)A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
解析　对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.
8.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝_________________.
{0，2，4，6，8}
解析　最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双.
解析　∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，
∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
解　事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
故P(A)的估计值为0.55.
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
解　事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
12.(2024·荆州调考)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
解　由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6).因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件；
解 因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
解 因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
13.(多选)(2024·昆明诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
则下列说法正确的是(　　)A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.08
解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以B正确；线路一所需时间小于45分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟概率为0.8，小张应选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟则线路一，线路二的时间可以为(上班线路一50，下班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二50)，(上班线路二60，下班线路一50)，(上班线路二60，下班线路一60)，(上班线路二50，下班线路一60)，共6种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.2＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.08，故D正确.
14.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦·时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
解　在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，降雨量为160毫米的有7个，降雨量为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率.