新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第3节　等比数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第3节　等比数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了理解等比数列的概念，了解等比数列与指数函数的关系等内容，欢迎下载使用。
3.了解等比数列与指数函数的关系.
【知识梳理】
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q，或eq \f(S偶,S奇－an)＝q.
3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0).
5.三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq \f(a（1－an）,1－a).( )
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )
2.已知等比数列{an}中，a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，q＜0，则S8＝________.
3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________.
4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
考点一 等比数列基本量的求解
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A.14B.12C.6D.3
(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A.3B.18C.54D.152
(3)(多选)(2024·广东名校联考)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)( )
A.该人第五天走的路程为12里
B.该人第三天走的路程为42里
C.该人前三天共走的路程为330里
D.该人最后三天共走的路程为42里
训练1 (1)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为________.
(2)(2024·唐山模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝1，2S3＝7a2，则S5＝________.
考点二 等比数列的判定与证明
例2 (2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*).
(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
训练2 (2024·重庆九校联考)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
考点三 等比数列的性质
角度1 项的性质
例3 (1)(2024·驻马店统考)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a9＝( )
A.8B.9C.16D.18
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
角度2 和的性质
例4 (2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A.120B.85C.－85D.－120
角度3 等比数列的最值
例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 024a2 025＞1，eq \f(a2 024－1,a2 025－1)＜0，下列结论正确的是( )
A.S2 024＜S2 025
B.a2 024a2 026－1＜0
C.T2 025是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
训练3 (1)(2024·山东名校联考)已知正项等比数列{an}，a3为2a2与a6的等比中项，则eq \f(a3＋a5,a1＋a3)＝( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(1,2)C.eq \r(2)D.2
(2)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝eq \f(1,8)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为________.
(3)(2024·泰州质检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10S2，则eq \f(S6,S2)的值为________.
【A级 基础巩固】
1.正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝eq \f(a4,a2)，S3＝7，则a5＝( )
A.8B.16C.27D.81
2.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( )
A.eq \f(15,8)B.eq \f(65,8)C.15D.40
3.(2024·佛山质检)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为( )
A.30B.10C.9D.6
4.(2024·滨州调研)已知正项等比数列{an}的首项为1，且4a5，a3，2a4成等差数列，则{an}的前6项和为( )
A.31B.eq \f(31,32)C.eq \f(63,32)D.63
5.(2024·洛阳调研)龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2(a3·a5)的值为( )
A.16B.12C.10D.8
6.(2023·西安质检)已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若eq \f(a3,b3)＝3，则eq \f(A5,B5)＝( )
A.3B.27C.81D.243
7.(多选)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是( )
A.{an＋Sn}是等差数列B.{an·Sn}是等比数列
C.{aeq \\al(2,n)}是等差数列 D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等比数列
8.(2023·上海卷)已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________.
9.(2024·盐城调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________.
①anan＋1