2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第六章第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.❶
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1q.
(2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(3)前n项和公式：Sn＝,
(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.
(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0,0,0，…
(1)任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项．
(2)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．
(3)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列．
＝(q≠1)．
[熟记常用结论]
1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
5．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、选填题
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　 B．±5
C．4 D．±4
解析：选C　∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.
又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.
2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，①
又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，②
联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，
∵an＞0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
解析：选C　由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.
解析：由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，
设数列{an}的公比为q，则q2＝9，
所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.
答案：
5．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得q4＝16，解得q＝2，
所以S7＝＝＝127.
答案：127

考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D.
解析：选C　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2.
设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.
2．(2019·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：选C　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，由得q＝－.
综上，q的值是1或－，故选C.
3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析：选B　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵∴
由①除以②可得＝2，
解得q＝，代入①得a1＝2，
∴an＝2×n－1＝，
Sn＝＝4，
∴＝＝2n－1.
答案：2n－1
[名师微点]
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二等比数列的判定与证明[师生共研过关]
[典例精析]
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
[证明]　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
[解题技法]
等比数列的判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列

[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
[过关训练]
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列　　 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a＝a3·a9.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，
∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．
考点三等比数列的性质及应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．10
C．8 D．2＋log35
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－
C. D.
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
[解析]　(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，
所以a7＋a8＋a9＝.
(3)由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
[答案]　(1)B　(2)A　(3)2
[解题技法]
应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[过关训练]
1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A　由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×3＝135.
2．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.
解析：因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则＝.
答案：

一、题点全面练
1．(2019·武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)
A．7　　　　　　　　　　 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D　由
解得或
∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，
∴S5＝＝＝.
3．(2018·邵阳二模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)
A．2 B.
C. D．1或2
解析：选B　设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
4．(2018·安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)
A．1 B．－1
C. D．2
解析：选D　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.
5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是(　　)
A．13 B．12
C．11 D．10
解析：选B　设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，∴T＝(a1·an)n，即7292＝3n，
∴n＝12.
6．(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝________.
解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝a＝52，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a2·…·a9)＝log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5a＝log559＝9.
答案：9
7．设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
解析：易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.
答案：150
8．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝＋.
∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3，
∴原式＝＝×＝－.
答案：－
9．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，
此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
10．已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)证明：记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以是首项为，公比为的等比数列．
所以－1＝·n－1，即an＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，－1＝·n－1，
即＝·n－1＋1.
所以数列的前n项和
Tn＝＋n＝＋n.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．
解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝＝，
∴≤q≤2，a4＝a3q≥，a4＝a2q2≤8，∴a4∈.
答案：
2．已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－，求这四个数．
解：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，
得
把a2q2＝代入④，得q2－q＋1＝0，此方程无解；
把a2q2＝－代入④，得q2＋q＋1＝0，
解此方程得q＝－或q＝－4.
当q＝－时，a＝8；当q＝－4时，a＝－.
所以这四个数为8，－2，，－或－，，－2,8.
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与方程交汇]在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(　　)
A．－2 B．－
C．± D.
解：选B　根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4＜0，a3a7＞0，得a3＜0，a7＜0，即a5＜0，由a3a7＝a，得a5＝－＝－.故选B.
4．[与集合交汇]设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解：选C　{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项，∴q＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增．
按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24,36，－54，81，
相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24,36，－54,81是{an}中连续的四项．
∴q＝－.
5．[与等差数列的交汇]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝3bn－λ·2 (λ∈R)，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
解：(1)由已知可得
所以q2＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6，
所以an＝3n，bn＝3n－1.
(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n.
由题意，知cn＋1＞cn对任意的n∈N*恒成立，
即3n＋1－λ·2n＋1＞3n－λ·2n恒成立，
亦即λ·2n＜2·3n恒成立，即λ＜2·n对任意的n∈N*恒成立．
由于函数y＝n在[1，＋∞)上是增函数，
所以min＝2×＝3，
故λ＜3，即λ的取值范围是(－∞，3)．

(三)素养专练——学会更学通
6．[逻辑推理]已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).

第一列
第二列
第三列
第一行
1
10
2
第二行
6
14
4
第三行
9
18
8
解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
答案：2×3n－1
7．[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
∵2n＝64×210＝216，∴n＝16，
即病毒共复制了16次．
∴所需时间为16×3＝48(分钟)．
答案：48