新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第1节　数列的概念与简单表示法（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第1节　数列的概念与简单表示法（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了数列的表示法，数列的通项公式，数列的递推公式等内容，欢迎下载使用。
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.
【知识梳理】
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))
若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
2.(选修二P8T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a5＝________，猜想an＝________.
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式an＝________.
4.已知an＝n2－3n＋1，则数列{an}的最小项为________.
考点一 由an与Sn的关系求通项
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
迁移 在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，求an.
训练1 (1)(2024·山西名校联考)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
考点二 由数列的递推关系求通项公式
角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
例2 (2024·西安质检)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列{an}的通项公式是________.
角度2 累乘法——形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)，求an
例3 (2023·重庆育才中学调研)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝( )
A.nB.n＋1
C.2nD.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))eq \s\up12(n)
训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A.2＋ln nB.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln nD.1＋n＋ln n
(2)已知在数列{an}中，a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2（n＋1）,n)，则an＝________.
考点三 数列的性质
角度1 数列的周期性
例4 (2024·厦门质检)已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，a1＝2，n∈N*，若Tn＝a1a2…an，n∈N*，则T10＝________.
角度2 数列的单调性
例5 (多选)(2024·湖南六校联考)已知数列{an}满足a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝an＋eq \f(1,an)，则下列说法正确的是( )
A.an＋1≥2an
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)))是递增数列
C.{an＋1－4an}是递增数列
D.an≥n2－2n＋2
角度3 数列的最值
例6 (2024·合肥质检)若数列{an}的前n项积bn＝1－eq \f(2,7)n，则an的最大值与最小值之和为( )
A.－eq \f(1,3)B.eq \f(5,7)C.2 D.eq \f(7,3)
训练3 (1)已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－eq \f(1,an)，则T2 025＝________.
(2)已知数列{an}满足an＝n2－λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是___________.
(3)已知数列{an}的通项an＝eq \f(2n－19,2n－21)，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________.
【A级 基础巩固】
1.数列{an}的前几项为eq \f(1,2)，3，eq \f(11,2)，8，eq \f(21,2)，…，则此数列的通项可能是( )
A.an＝eq \f(5n－4,2)B.an＝eq \f(3n－2,2)
C.an＝eq \f(6n－5,2)D.an＝eq \f(10n－9,2)
2.已知an＝eq \f(n－1,n＋1)，那么数列{an}是( )
A.递减数列B.递增数列
C.常数列D.摆数列
3.(2024·青岛质检)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则a10＝( )
A.36B.15C.46D.66
4.(2024·沈阳市郊联体联考)九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具，有多种玩法.在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记an(3≤n≤9, n∈N*)为解下n个圆环需要移动圆环的最少次数，且an＝an－2＋2n－1，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为( )
A.30B.90C.170D.341
5.(2024·潍坊调研)已知数列{an}满足an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3－a）n－8，n≤6，,an－6，n>6，))n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.(2，3)B.[2，3)C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,7)，3))D.(1，3)
6.已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)，若a1＝eq \f(1,2)，则a2 025＝( )
A.－1B.eq \f(1,2)C.1D.2
7.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(n)，则下列说法正确的是( )
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}递减
8.(2024·深圳调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋4n(n∈N*)，则a5＝________.
9.已知数列{an}，Sn为其前n项和，Sn＝2an＋1＋1，a1＝eq \f(3,2)，则an＝________.
10.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项.
11.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λaeq \\al(2,n)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
【B级 能力提升】
13.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝eq \f(an,n2)，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2 025＝________.
14.已知数列{an}中，an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－9，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列