新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第2节　等差数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第6章第2节　等差数列及其前n项和（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了理解等差数列的概念，5尺B等内容，欢迎下载使用。
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
【知识梳理】
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
[常用结论与微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.( )
2.(选修二P15T4改编)已知等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝________.
3.已知等差数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，d＝－eq \f(1,6)，Sn＝－5，则n＝________.
4.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝________.
考点一 等差数列基本量的求解
例1 (1)(2024·北京通州区调研)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝( )
A.5n－16B.5n－11
C.3n－8D.3n－5
(2)(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为( )
A.－2B.2
C.－2或2D.4
(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )
A.25B.22C.20D.15
训练1 (1)(2024·包头质检)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S5＝5，a6＝10，则( )
A.an＝eq \f(3,2)n＋1B.an＝5n－20
C.Sn＝3n2－14nD.Sn＝eq \f(3,2)n2－eq \f(13,2)n
(2)(2024·三明调研)《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(2,3)C.eq \f(1,6)D.eq \f(5,6)
(3)(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
考点二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
训练2 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq \f(2,Sn)＋eq \f(1,bn)＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 项的性质
例3 (1)(2024·湘潭模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq \f(1,2)a8＝( )
A.4B.6C.8D.10
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2－a8＋a15＝5，则S17＝( )
A.87B.86C.85D.84
角度2 和的性质
例4 (1)(2024·广州调研)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3 402块，则中层共有扇面形石板( )
A.1 125块B.1 134块
C.1 143块D.1 152块
(2)(2024·西安质检)若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n,2n＋1)，则eq \f(a6,b6)＝________.
角度3 和的最值
例5 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
训练3 (1)(2024·济南段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝( )
A.－50B.－60C.－70D.－80
(2)(2024·武汉联考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝( )
A.10B.20C.25D.50
(3)(2024·重庆联考)等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是( )
A.d0
C.当n＝5时，Sn最小
D.当Sn>0时，n的最小值为8
【A级 基础巩固】
1.(2024·福州质检)在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝( )
A.30B.40C.60D.80
2.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为( )
A.16.5尺B.13尺C.3.5尺D.2.5尺
3.(2024·台州质检)已知数列{an}满足对于∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an，若a2 024＝2 024，则a1＝( )
A.1B.2C.3D.2 022
4.(2024·成都诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝( )
A.－2B.－1C.1D.2
5.(2024·河南名校联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为( )
A.4或5B.5或6
C.4D.5
6.(2023·江西五市九校联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若eq \f(a5,a7)＝eq \f(39,9)，则eq \f(S9,S13)＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.2D.3
7.(多选)(2024·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S110
C.S22