新高考数学一轮复习基础版讲义第3章第1节 导数的概念及运算（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第3章第1节 导数的概念及运算（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数的定义及其导数，故选C等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0.
f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[常用结论与微点提醒]
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs x.( )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
解析 (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cs x，错误.
(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，错误.
(4)函数y＝x2与x＝0这条直线只有一个公共点，但它们相交，错误.
2.(多选)下列导数的运算中正确的是( )
A.(3x)′＝3xln 3B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2)D.(sin xcs x)′＝cs 2x
答案 ABD
解析 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，
所以C项错误，其余都正确.
3.(选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x－sin x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________.
答案 1－eq \r(2)
解析 f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x－cs x，
令x＝eq \f(π,4)，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)，
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1－eq \r(2).
4.(选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________.
答案 2e
解析 由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，
所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e，
由y＝aln x＋2，得y′＝eq \f(a,x)，
所以该曲线在点(1，2)处切线斜率为a.
因为两切线平行，所以a＝2e.
考点一 导数的概念
例1 已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1)eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；
(2)eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).
解 (1)∵eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，
即eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k，
∴eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq \f(k,2).
(2)∵eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，
∴eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.
感悟提升 由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形.
训练1 (1)eq^\(lim,\s\d4(h→0)) eq \f(sin（x＋2h）－sin x,h)＝( )
A.0 B.2cs x
C.cs 2x D.2cs 2x
答案 B
解析 eq^\(lim,\s\d4(h→0))eq \f(sin（x＋2h）－sin x,h)＝2eq^\(lim,\s\d4(h→0))eq \f(sin（x＋2h）－sin x,2h)＝2(sin x)′＝2cs x.
(2)若f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(a)＝－1，则eq^\(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f（3x－2a）－f（3a－2x）,x－a)＝( )
A.－5 B.－4
C.－1 D.0
答案 A
解析 eq^\(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f（3x－2a）－f（3a－2x）,x－a)＝5eq^\(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f（3x－2a）－f（3a－2x）,（3x－2a）－（3a－2x）)＝5f′(a)＝－5.
考点二 导数的运算
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；(2)y＝lneq \r(1＋x2)；(3)y＝eq \f(cs x,ex)；(4)y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝
2xsin x＋x2cs x.
(2)y′＝eq \f(1,\r(1＋x2))·(eq \r(1＋x2))′＝eq \f(x,1＋x2).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(（cs x）′ex－cs x（ex）′,（ex）2)＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
(4)∵y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴y′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(1,2)x·4cs 4x＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
训练2 (1)(多选)(2024·浙江名校联考)下列求导正确的是( )
A.(lg23)′＝eq \f(1,3ln 2)B.[ln(2x)]′＝eq \f(1,x)
C.(sin2x)′＝sin 2xD.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(cs x＋sin x,x2)
答案 BC
解析 对于A，(lg23)′＝0，故A错误；
对于B，[ln(2x)]′＝(ln 2＋ln x)′＝(ln 2)′＋(ln x)′＝eq \f(1,x)，故B正确；
对于C，(sin2x)′＝2sin xcs x＝sin 2x，故C正确；
对于D，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(（cs x）′x－x′cs x,x2)＝eq \f(－sin x·x－cs x,x2)，故D错误.
(2)(2024·江西名校联考)已知f(x)＝ex－f′(0)x，则f(2)＝( )
A.e2－4 B.e2－2
C.e2－1 D.e2－e
答案 C
解析 由f(x)＝ex－f′(0)x得f′(x)＝ex－f′(0)，则f′(0)＝e0－f′(0)，得f′(0)＝eq \f(1,2)，
故f(x)＝ex－eq \f(1,2)x，因此f(2)＝e2－1.
考点三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例3 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为( )
A.y＝eq \f(e,4)x B.y＝eq \f(e,2)x
C.y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D.y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
答案 C
解析 y′＝eq \f(ex（x＋1）－ex·1,（x＋1）2)＝eq \f(xex,（x＋1）2)，
则曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线斜率k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)，
所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)，
即y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4)，故选C.
(2)(2024·莆田质检)若直线l经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，0))，且与曲线y＝x2(x＋1)相切，写出l的一个方程______________.
答案 y＝0(答案不唯一)
解析 由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x，
设切点坐标为(t，t2(t＋1))，
则过切点的切线方程为y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)，
把点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，0))代入，可得－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)－t))，
整理得t(t－1)(5t＋3)＝0，
即t＝0或t＝－eq \f(3,5)或t＝1.
当t＝0时，切线方程为y＝0，
当t＝1时，切线方程为y＝5x－3，
当t＝－eq \f(3,5)时，切线方程为y＝－eq \f(3,25)x＋eq \f(9,125)，
综上，直线l的方程为y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0.
角度2 求切点坐标或参数
例4 (1)(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
答案 B
解析 因为f(x)＝aln x＋x2，
所以f′(x)＝eq \f(a,x)＋2x.
又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，
所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，
则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，
将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，
解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.
(2)(2024·济南质检)设x0>1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝( )
A.0 B.1
C.e D.2e
答案 C
解析 由题意得f(x0)＝0，
即aln x0－3x0＋2a＝0，①
又f′(x)＝eq \f(a,x)－3，所以切线斜率k＝eq \f(a,x0)－3，
故在点P(x0，0)处的切线方程为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x0)－3))(x－x0)，
将(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0，②
联立①②解得a＝x0＝e，
故aln x0＝e.故选C.
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，
所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，
依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0，
所以切线的方程为y－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](x－x0)，
又切线过原点，
所以－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](－x0)，
整理得xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以关于x0的方程xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a0.
感悟提升 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
训练3 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
答案 B
解析 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，
即f′(x)＝eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
即a＝2－eq \f(1,x).
因为x＞0，所以2－eq \f(1,x)＜2，
所以a的取值范围是(－∞，2).
(2)(2024·南通质检)已知函数f(x)＝x3－2x2＋2x，则曲线y＝f(x)经过点A(1，1)的切线方程是________________.
答案 3x－4y＋1＝0或x－y＝0
解析 设切点为(t，t3－2t2＋2t)，
由题意知f′(x)＝3x2－4x＋2，
所以切线的斜率k＝3t2－4t＋2，
所以切线方程为y－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(x－t).
因为切线过点A(1，1)，
所以1－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(1－t)，
即(t－1)2(2t－1)＝0，
解得t＝eq \f(1,2)或t＝1，
所以斜率k＝eq \f(3,4)或k＝1，
又切线过点A(1，1)，
得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0.
公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
一、共切点的公切线问题
例1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于( )
A.－3 B.1
C.3 D.5
答案 D
解析 依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.
∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，
∴f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(6,x)－4，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x0）＝g（x0），,f′（x0）＝g′（x0），))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)－m＝6ln x0－4x0，,2x0＝\f(6,x0)－4，))
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
二、不共切点的公切线问题
例2 (2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝( )
A.－30 B.－25
C.26 D.28
答案 C
解析 设直线x＋y＋m＝0与曲线f(x)＝x3＋nx－52相切于点(a，－a－m)，与曲线g(x)＝x2－3ln x相切于点(b，－b－m)，b>0.
由g(x)＝x2－3ln x知g′(x)＝2x－eq \f(3,x)，
又两曲线的公切线斜率为－1，
则2b－eq \f(3,b)＝－1，解得b＝1或b＝－eq \f(3,2)(舍去).
所以1－3ln 1＝－1－m，解得m＝－2.
由f(x)＝x3＋nx－52知f′(x)＝3x2＋n，
又两曲线的公切线斜率为－1，
则3a2＋n＝－1，即n＝－3a2－1，
故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，
整理得a3＝－27，故a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.故选C.
训练 (1)(2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为________.
答案 eq \f(1,2e)
解析 设公共点为P(x0，y0)(x0＞0)，
则axeq \\al(2,0)＝ln x0.
由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax，
由g(x)＝ln x，得g′(x)＝eq \f(1,x).
因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0，y0)处有共同的切线，
所以f′(x0)＝g′(x0)，即2ax0＝eq \f(1,x0)，得a＝eq \f(1,2xeq \\al(2,0))，
所以eq \f(1,2xeq \\al(2,0))·xeq \\al(2,0)＝ln x0，即ln x0＝eq \f(1,2)，得x0＝eeq \s\up6(\f(1,2))，
所以a＝eq \f(1,2xeq \\al(2,0))＝eq \f(1,2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e\s\up6(\f(1,2))))\s\up12(2))＝eq \f(1,2e).
(2)若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为______.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞))
解析 由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，
由y＝ex得y′＝ex.
设公切线与曲线C1切于点(x1，axeq \\al(2,1))，与曲线C2切于点(x2，ex2)，
则有y－axeq \\al(2,1)＝2ax1(x－x1)，
即y＝2ax1x－axeq \\al(2,1)，y－ex2＝ex2(x－x2)，
即y＝ex2x－(x2－1)ex2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax1＝ex2，,axeq \\al(2,1)＝（x2－1）ex2，))可得x2＝eq \f(x1,2)＋1，
所以a＝eq \f(e\f(x1,2)＋1,2x1).
因为a＞0，所以x1＞0，
记f(x)＝eq \f(e\f(x,2)＋1,2x)(x＞0)，则f′(x)＝eq \f(e\f(x,2)＋1（x－2）,4x2)，
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
所以当x＝2时，f(x)min＝eq \f(e2,4)＞0，
所以a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞)).
【A级 基础巩固】
1.(多选)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)B.(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C.(5x)′＝5xlg5xD.(x2cs x)′＝2xcs x－x2sin x
答案 BD
解析 A中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq \f(1,x2)，
C中，(5x)′＝5xln 5，其余正确.
2.若函数f(x)满足eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝2，则eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（2－Δx）－f（2）,2Δx)＝( )
A.2 B.1
C.0 D.－1
答案 D
解析 因为eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝2，
所以eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（2－Δx）－f（2）,2Δx)＝－eq \f(1,2)eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（2－Δx）－f（2）,－Δx)＝－eq \f(1,2)×2＝－1.
3.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝eq \f(1,2)x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 由题意得f(1)＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，f′(1)＝eq \f(1,2)，
所以f(1)＋f′(1)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3.
4.吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝eq \f(4,3)πr3.当V＝eq \f(4π,3) L时，气球的瞬时膨胀率为( )
A.eq \f(1,4π) dm/L B.eq \f(1,3) dm/L
C.3 dm/L D.4π dm/L
答案 A
解析 因为V＝eq \f(4,3)πr3，所以r＝eq \r(3,\f(3,4π)V)，
所以r′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4π)))eq \s\up12(\f(1,3))×eq \f(1,3)V－eq \f(2,3)，
当V＝eq \f(4π,3)时，r′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4π)))eq \s\up12(\f(1,3))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))eq \s\up12(－\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4π)))eq \s\up12(\f(1,3))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4π)))eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \f(1,3)×eq \f(3,4π)＝eq \f(1,4π)(dm/L).
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3) D.f(3)－f(2)＜f′(2)
答案 BCD
解析 由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故A错误，B正确.
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝eq \f(f（3）－f（2）,3－2)＝kAB，
由图知f′(3)＜kAB＜f′(2)，
即f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故C，D正确.
6.(2024·湖南三湘名校联考)设函数f(x)＝2sin α－1x2＋(2－sin α－3)x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l的倾斜角θ的最小值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(5π,6) D.eq \f(3π,4)
答案 D
解析 ∵f′(x)＝2sin αx＋2－sin α－3，
∴f′(1)＝2sin α＋2－sin α－3.
∵－1≤sin α≤1，∴2－1≤2sin α≤2，
则2sin α＋2－sin α≥2eq \r(2sin α·2－sin α)＝2，当且仅当sin α＝0时等号成立，
f′(1)的最小值为－1，
易得f′(1)的最大值为2＋2－1－3