新高考数学一轮复习基础版讲义第3章第4节 导数与函数的极值（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第3章第4节 导数与函数的极值（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了会用导数求函数的极大值、极小值等内容，欢迎下载使用。
2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会利用极值求参数.
【知识梳理】
1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
[常用结论与微点提醒]
1.对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.( )
(2)单调函数没有极值.( )
(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.( )
(4)极大值一定大于极小值.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 A
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
3.函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________.
答案 －16 16
解析 由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
则f′(x)，f(x)随x的变化情况如表所示.
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值16，函数f(x)在x＝2处取得极小值－16.
4.(选修二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是_______________.
答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.
由题意知f′(x)有变号零点，
∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，
解得c≠0，
即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
考点一 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知，当x0；
当－20时，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))，则f′(x)>0；若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))，则f′(x)0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝eq \f(1,a).
考点三 由函数的极值求参数
例3 (1)若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－2，2)
答案 A
解析 f′(x)＝2x＋2(a－2)－eq \f(4a,x)＝eq \f(2x2＋2（a－2）x－4a,x)＝eq \f(2（x－2）（x＋a）,x)(x＞0).
①若a≥0，当x＞2时，f′(x)＞0，
当0＜x＜2时，f′(x)＜0，
所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意，故舍去.
②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，
由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，
所以当x＝2时，f(x)取得极大值，满足题意.
③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，
由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，
所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意.
④若a＝－2，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)无极值.
综上，a＜－2满足条件，故选A.
(2)(2024·苏州质检)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 f′(x)＝ln x＋1－2ax，
由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，则2a＝eq \f(ln x＋1,x)，
设g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，则g′(x)＝－eq \f(ln x,x2).
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)的极大值为g(1)＝1，
又当x＞1时，g(x)＞0，
当x→＋∞时，g(x)→0，
当x→0时，g(x)→－∞，
所以0＜2a＜1，即0＜a＜eq \f(1,2).
感悟提升 1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.
2.判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.
训练3 (1)(2024·南京六校联考)若函数f(x)＝x＋(x2－ax)ln x的极值点是1，则f′(2)＝( )
A.4ln 2＋1 B.2ln 2＋1
C.2ln 2 D.1
答案 B
解析 因为f(x)＝x＋(x2－ax)ln x，
所以f′(x)＝1＋(2x－a)ln x＋(x2－ax)·eq \f(1,x)＝(2x－a)ln x＋x－a＋1.
因为1是f(x)的极值点，
所以f′(1)＝(2－a)ln 1＋1－a＋1＝0，得a＝2.
经检验a＝2满足题意，故f′(2)＝2ln 2＋1.
(2)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac0，,x1＋x2>0，,x1x2>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2＋8ac>0，,\f(b,a)>0，,－\f(2c,a)>0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2＋8ac>0，,ab>0，,ac0时，h(x)>0；当x0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a0，g(x)单调递增.
所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，
极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，
极小值是g(a)＝－eq \f(1,6)a3－sin a.
综上，当a0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－eq \f(1,6)a3－sin a.
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值
