2026年八年级数学人教版 第02讲 与三角形有关的线段(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第02讲 与三角形有关的线段(暑假预习讲义)，共6页。
预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 判断能否构成三角形
题型 2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围
题型 3 三角形的稳定性
题型 4 等边三角形的分类讨论
题型 5 根据三角形的中线求长度
题型 6 根据三角形的中线求面积
题型 7 重心的概念
题型 8 三角形的角平分线
题型 9 做三角形的高
题型 10 与三角形的高有关的计算
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
三 角 形 的高、中线、角平分线； 重心；垂心；内心； 三角形稳定性
三角形三边
关系
理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能区分三者概念，掌握规范几何语言表达。
会画出锐角、直角、钝角三角形的高、中线、角平分线，掌握三类线段在不同三角形中的位置特征。
掌握中线平分面积、三线共点等核心性质，能利用性质进行线段、角度、面积的简单计算。
了解三角形重心、垂心、内心的概念，理解三角形的稳定性及其生活应用。
熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、求第三边取值范围、解
决边长相关计算。
学习重点：三角形高、中线、角平分线的定义、画法与性质；几何语言书写。
学习难点：掌握等腰三角形三边关系分类讨论。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边.
简化判断（最快用法）：
只需验证：较短两条边的和＞最长边，满足就能构成三角形。取值范围
设三边长为 a、b、c，且 c 为最长边：a+b > c
若已知两边为 m、n（m>n），第三边 x 范围：m-n < x < m+n
即时即练以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A．1cm ， 5cm ， 3cmB． 8cm ， 5cm ， 6cm
C． 3cm ， 4cm ， 8cmD．1cm ， 5cm ， 9cm
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，选项 A：1 3  4  5 ，∴不能组成三角形，不符合要求；
选项 B： 5  6  11  8 ，∴能组成三角形，符合要求；
选项 C： 3  4  7  8 ，∴不能组成三角形，不符合要求；
选项 D：1 5  6  9，∴不能组成三角形，不符合要求．
【方法总结】
三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
知识点 02三角形的稳定性
性质：三角形三边确定，形状、大小就固定不变，即三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性。
应用：支架、桥梁钢架、自行车车架利用稳定性；伸缩门利用四边形不稳定性。
即时即练港珠澳大桥全长约为 55 千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有．
【答案】稳定性
【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，
∴运用的数学原理是三角形的稳定性．
【方法总结】
三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
知识点 03三角形的中线、角平分线、高
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶
点与交点之间的线段．
边上的高是（ ）
A．2B．3C．6D． 3 2
【答案】B
【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解：∵ AD 为V ABC 的中线， BE 为△ABD 的中线，
图形语言
作图语言
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．
取 BC 边的中点 D ， 连接
AD．
作∠BAC 的平分线 AD ，交
BC 于点 D．
标示图形
符号语言
AD 是△ABC 的高．
AD 是△ABC 中 BC 边上的高．
AD⊥BC 于点 D．
∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)
AD 是△ABC 的中线．
AD 是△ABC 中 BC 边上的中线．
1
BD＝DC＝ BC
2
点 D 是 BC 边的中点．
AD 是△ABC 的角平分线．
AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D．
1
∠1＝∠2＝ ∠BAC．
2
推理语言
因为 AD 是△ABC 的高，所以 AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为 AD 是△ABC 的中线，
1
所以 BD＝DC＝ BC．
2
因为 AD 平分∠BAC ，所以
1
∠1＝∠2＝ ∠BAC．
2
用途举例
线段垂直．2．角度相等．
线段相等．2．面积相等．
角度相等．
注意事项
与边的垂线不同．
不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于
一点．
一个三角形有三条中线，它
们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一点．
即时即练
如图， AD 为V ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．若V ABC 的面积为30, BD  5 ，则V BDE 中 BD
∴ S ABD
 1 S
2
ABC , S BDE
 1 S
2
ABD
 1 S
4
ABC ，
设V BDE 中 BD 边上的高为h ，
∵V ABC 的面积为30, BD  5 ，
∴ S BDE
 1 BD·h  1  5h  1  30 ，
224
∴ h  3 .
【易错提醒】
三角形的高/中线/角平分线三者全都是线段，有两个端点；单独的角平分线是射线，垂线是直线，和三角形对应线段不是同一概念。
任意三角形都有 3 条高、3 条中线、3 条角平分线。
锐角三角形三条高全部在三角形内部，交点（垂心）也在内部；
直角三角形中两条直角边互为对应边上的高，斜边上有 1 条高；三条高的交点就是直角顶点。
钝角三角形中只有钝角所对边上的高在内部；另外两条高需要先延长钝角的两条邻边，再从顶点向延长线作垂线，两条高落在三角形外部。
题型 1 判断能否构成三角形
【例 1】下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1， 2 ， 4B． 8 ， 6 ， 4C．15 ， 5 ， 6D．1， 3 ， 4
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可．
【详解】解： A 、∵较短边为1， 2 ，最长边为4 ，1 2  3  4，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B 、∵较短边为4 ， 6 ，最长边为8 ， 6  4  2  8 且6  4  10  8 ，
∴能构成三角形，符合题意；
C 、∵较短边为5 ， 6 ，最长边为15 ， 5  6  11  15 ，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D 、∵较短边为1， 3 ，最长边为4 ，1 3  4 ，不满足两边之和大于第三边，
∴不能构成三角形，不符合题意．
【例 2】已知三角形的两边长分别为4 和5 ，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A． 9B． 7C． 5D． 3
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三边关系得到第三边的取值范围，进而判断出选项中不符合该范围的数值．
【详解】解： 三角形的两边长分别为4 和5 ，设第三边长为 x ，
由三角形三边关系可得5  4  x  5  4，即1  x  9 ，
选项中9 不满足1  x  9 ，其余选项均满足，
此三角形第三边的长不可能是9 ．故选： A ．
【技巧归纳】
核心妙招：短边和>最长边
先把三条边按从小到大排序：a≤b ≤c只需验证：a + b > c
若成立，就能构成三角形；若不成立，直接排除。
易错提醒： 不用验证所有组合，只验证这一组即可。注意题目给的是线段长度，还是能取的整数范围。
【变式 1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A． 4cm，4cm，8cm
C．11cm，5cm，5cm
【答案】D
B． 8cm，16cm，7cm D．13cm，10cm，20cm
【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形．
【详解】解：A. ∵ 4  4  8 ，
∴ 长度为4cm，4cm，8cm 的三根小木棒不能组成三角形，A 不符合题意；
B. ∵ 7  8  15  16 ，
∴ 长度为8cm，16cm，7cm 的三根小木棒不能组成三角形，B 不符合题意；
C. ∵ 5  5  10  11 ，
∴ 长度为11cm，5cm，5cm 的三根小木棒不能组成三角形，C 不符合题意；
D. ∵10 13  23  20 ，
∴ 长度为13cm，10cm，20cm 的三根小木棒能组成三角形，D 符合题意．
【变式 1-2】下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
2cm 、2cm 、4cmB．1cm 、2cm 、4cm
C． 4cm 、7cm 、11cmD． 5cm 、8cm 、12cm
【答案】D
【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可得出结论．
【详解】解：A.∵ 2  2  4 ，不满足三边关系，
∴ 不能组成三角形，不符合题意；
∵1 2  3  4，不满足三边关系，
∴ 不能组成三角形，不符合题意；
∵ 4  7  11，不满足三边关系，
∴ 不能组成三角形，不符合题意；
∵ 5  8  13  12 ，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，符合题意．
题型 2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围
【例 1】已知一个三角形的两边长是 4 和 7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是（写一个）
【答案】5（或 7 或 9，答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长．
【详解】解：设三角形第三条边的长度为 x ，根据三角形三边关系可得： 7  4  x  7  4 ，
∴ 3  x  11 ，
∵三角形的周长 4  7  x  11 x ，且三角形周长为偶数，
∴ x 为奇数，
∴ 3  x  11 范围内的奇数为5 ， 7 ， 9 ，任选一个即可．
【例 2】由三条线段 a、b、c 可以组成一个三角形，其中a  3cm, b  5cm ，那么 c 的长度可以是（）
A．1cmB． 2cmC． 7cmD． 8cm
【答案】C
【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边c 的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知
b  5cm
∴ b  a  c  a  b
即5  3  c  5  3
化简得2cm  c  8cm
a  3cm ，
观察选项，只有7cm 在此范围内，故选 C．
【变式 2-1】已知三角形三边长为 a，b，c，其中 a，b 满足
 b  7  0 ，那么这个三角形的最
2
【技巧归纳】
核心妙招：两边之差最长边）判断是否能构成三角形；舍去不能构成的情况，再求周长或边长。
易错提醒： 很多同学只算一种情况，忘了检验三边关系，导致漏解/错解。例：两边为 3 和 7 时，3 不能做腰，只能 7 做腰。
【变式 4-1】已知等腰三角形两边的长分别为 5 和 7，则此等腰三角形的周长为
【答案】17 或 19
【分析】分情况进行讨论，同时利用三角形的三边关系进行判断是否可以构成三角形，进行计算即可．
【详解】解：当三角形三边为5, 5, 7 时，
5  5  7  5  5 ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为5  5  7  17 ；当三角形三边为5, 7, 7 时，
7  5  5  7  5 ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为5  7  7  19 ．
【变式 4-2】等腰三角形的周长为16 ，若一条边长为4 ，则等腰三角形的底边长是 ．
【答案】4
【分析】根据4 为腰长和4 为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当边长为4 的边为腰长时，底边长为16  4 2  8 ，
此时三角形三边长为4，4，8 ，
因为4  4  8 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去，
②当边长为4 的边为底边长时，
腰长为16  4  6 ，
2
此时三角形三边长为6，6，4 ，
满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为4 ．
题型 5 根据三角形的中线求长度
【例 1】已知，在V ABC 中，AB  AC ，AC 边上的中线 BD 把三角形的周长分为 15 和 6 两部分，求腰长 AB ．
【答案】10
【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得 AD  CD  1 AC  1 AB ，再分两种情况分别列出方程，求出
22
解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可．
【详解】解：如图所示，
∵ AB  AC, BD 是 AC 边上的中线，
∴ AD  CD  1 AC  1 AB ．
22
 AB  1 AB  15
 AB  AD  15

当BC  CD  6
2
时，即
BC  1
2
，
AB  6
解得 AB  10, BC  1 ；
 AB  1 AB  6
 AB  AD  62
当BC  CD  15 时，即1，
BC 

AB  15
2
解得 AB  4, BC  13 ，则 AC  4 ，
∵ 4  4  13 ，
∴不能组成三角形，不符合题意．所以腰长 AB 为 10．
【例 2】如图，若 AD 是V ABC 的中线， BD  4 ，则 BC 的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键．根据三角形中线的性质可知 BC  2BD ．
【详解】解：∵ AD 是V ABC 的中线，即 BD  CD
∴ BC  2BD
∵ BD  4
∴ BC  8 ．故选：D．
【技巧归纳】
核心妙招：中线平分对边，先标中点，再用线段和差
中线定义：AD 是 BC 边上的中线 BD = DC = 1 BC
2
常用技巧：
已知中线分对边的长度，可直接求原边长；
已知被中线分成的两个三角形周长差，周长差 = 两腰之差（公共边+中线抵消）。易错提醒：
中线不是角平分线，不要用角的关系乱算；不要把“中线”当成“高”来算直角。
【变式 5-1】如图，已知CD 是V ABC 的中线， AB  20 ，则 BD 的长为（ ）
A．10B．11C．12D．15
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定
义，点 D 为 AB 的中点，因此 BD  1 AB ，代入 AB  20
2
即可求出 BD 的长度．
【详解】解：∵ CD 是V ABC 的中线，
∴ D 是 AB 的中点，
∴ BD  1 AB ，
2
∵ AB  20 ，
∴ BD  1  20  10 ，
2
故选：A．
【变式 5-2】如图，已知V ABC 的周长为 35， AD 是 BC 边上的中线， AB  3 AC ．
2
(1)当 AC  10 时，求 BD 的长．
(2) AC 能否等于 12？为什么？
【答案】(1)5
(2) AC 不能等于 12，理由见解析
【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．
先求出 AB  15 ，再根据三角形的周长公式可得 BC  10 ，然后根据三角形中线的性质解答即可得；
假设 AC 能等于 12，则 AB  18, BC  5 ，再利用三角形的三边关系解答即可得．
【详解】（1）解：∵ AB  3 AC ， AC  10 ，
2
∴ AB  3 10  15 ，
2
∵V ABC 的周长为 35，
∴ AB  AC  BC  35 ，
∴ BC  35  AB  AC  35 15 10  10 ，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ BD  1 BC  5 ．
2
（2）解： AC 不能等于 12，理由如下：假设 AC 能等于 12，
∵ AB  3 AC ，
2
∴ AB  3 12  18 ，
2
∵V ABC 的周长为 35，
∴ AB  AC  BC  35 ，
∴ BC  35  AB  AC  35 12 18  5 ，
∴V ABC 的三边长分别为5,12,18 ，此时5 12  18 ，不满足三角形的三边关系，
∴ AC 不能等于 12．
题型 6 根据三角形的中线求面积
【例1】如图，CD 是V ABC 的中线，点P 在 AC 上，且CP∶AP  3∶4 ，若S ABC  24 ，则△PCD 的面积为．
【答案】 36
7
【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键．
由CD 是V ABC 的中线，得 S
ACD
 1 S
2
ABC
，由CP∶AP  3∶4 ，得 S
PCD
 3 S
7
ACD
，即可求解．
【详解】解： CD 是V ABC 的中线，
 S ACD
 1 S
2
ABC
 12 ，
CP∶AP  3∶4 ，
CP  3 AC ，
7
 S PCD
 3 S
7
ACD
 3 12  36 ．
77
故答案为： 36 ．
7
ACEABC
【例 2】如图， AD 是V ABC 的中线， CE 是 ACD 的中线， S 3cm2 ，则 S cm2 ．
【答案】12
【分析】三角形中线平分三角形面积，先由CE 是 ACD 的中线得 S ACD  2S ACE  6cm2 ，再由 AD 是V ABC
的中线得 S ABC  2S ACD  12cm2 ．
【详解】解：∵ CE 是 ACD 的中线， S ACE  3cm2 ，
∴ S ACD  2S ACE  6cm2 ，
∵ AD 是V ABC 的中线，
∴ S ABC  2S ACD  12cm2 ．
【技巧归纳】
核心妙招：一条中线把三角形分成面积相等的两部分原理：等底同高，面积相等。
AD 是中线 ：S ABD = S ACD= 1 S ABC
△
△
2
△
拓展用法：
再取一次中线，面积再减半；
多条中线组合，可快速求小三角形面积。
易错提醒：
中线分的是面积相等，不是周长相等；
重心把中线分成 2:1 两段，可进一步细分面积
【变式 6-1】如图，在V ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC , AD, CE 的中点，且V ABC 的面积等于4cm2 ，则阴影部分图形面积等于 cm2 ．
【答案】1
ABDACDBDECDE
【分析】根据三角形中线的性质得S S 2cm2 ，同理可得 S 1cm2 ，同理 S 1cm2 ，进而求出 S BCE  2 ，最后根据三角形中线的性质得出答案．
△ABC
【详解】解：∵ S 4cm2 ，点 D 是 BC 的中点，
∴ S ABD  S ACD
 1 S
2
ABC
 2cm2 ．
∵点 E 是 AD 的中点，
∴ S ABE  S BDE
 1 S
2
ABD
 1cm2 ，同理 S
ACE  S CDE
 1 S
2
ACD
 1cm2 ，
∴ S△BCE  S△BDE  S △CDE  2 ．
∵点 F 是CE 的中点，
∴ S BEF
 1 S
2
BCE
 1cm2 ．
【变式 6-2】如图，若V ABC 的面积为 3，且点 A，B，C 分别是 EC 、 AF 、 BD 的中点，则求阴影部分的面积为．
【答案】18
【分析】连接 AD 、BF 、CF ，由点 A，B，C 分别是 EC ，AF ，BD 的中点得出 S CBF  S ABC  3 ，S ABE  S ABC  3 ，
S ACD  S ABC  3 ，从而得出S DBF  2 S CBF  6 ， S FAE  2S ABE  6 ， S ECD  2 S ACD  6 ，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接 AD 、 BF 、CF ，
，
∵V ABC 的面积为 3，且点 A，B，C 分别是 EC ， AF ， BD 的中点，
∴ S CBF  S ABC  3 ， S ABE  S ABC  3 ， S ACD  S ABC  3 ，
∴ S DBF  2 S CBF  6 ， S FAE  2S ABE  6 ， S ECD  2 S ACD  6 ，
∴阴影部分的面积为 S DBF  S FAE  S ECD 18 ．
题型 7 重心的概念
【例 1】长方形 ABOC 和 DEFO 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是．
【答案】  1 , 31
 5 10 

【分析】根据中点坐标公式计算出长方形 ABOC 和 DEFO 的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解．
【详解】解：如图， G 、 H 分别为长方形 ABOC 和 DEFO 的重心，
∵ A4,8 ， B 4, 0 ， C 0,8 ， D 0, 3 ， E 6, 3 ， F 6, 0 ， O 0, 0 ，
∴ G 2, 4 ， H  3, 3  ， AB  OC  8 ， AC  OB  4 ， DE  OF  6 ， FE  OD  3 ，
2 

∴长方形 ABOC 的面积 S1  48  32 ，长方形 DEFO 的面积 S2  3 6  18 ，
∴重心的坐标 x  S1 xG  S2 xH
S1  S2
 322  18 3  1 ，
32 185
S y  S y 32 4  18 331
y  1 G2 H  2 ，
S1  S2
32 1810
∴重心坐标为  1 , 31 ．
 5 10 

【例 2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线MN 上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查重心．
根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．由作图可知，MN 为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线 MN 上，不符合题意；
B． MN 为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线 MN 上，符合题意；
C．组合图形关于直线MN 对称，重心一定在直线 MN 上，不符合题意；
D．点 M 为正方形的重心，点 N 为长方形的重心，重心一定在直线 MN 上，不符合题意．故选：B．
【技巧归纳】
三条中线的交点，永远在三角形内部，分中线为 2:1
【变式 7-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条高，取其交点
B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴支撑点是三角形三边中线的交点．故选：B．
【变式 7-2】在V ABC 中， D 是V ABC 的重心，连接 AD 并延长交 BC 于点 E ，若 BC  12 ，则 BE  ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点 E 是 BC 边的中点，再利用中点的定义即可求出 BE 的长度．
【详解】解：∵ D 是 ABC 的重心，
∴ AE 是 ABC 的中线，
∴ E 是 BC 的中点，
∵ BC  12 ，
∴ BE  1 BC  1 12  6 ，
22
故答案为： 6 ．
题型 8 三角形的角平分线
【例 1】如图，V ABC 的角平分线 AD 、中线 BE 相交于点O ，则① AO 是 ABE 的角平分线；② BO 是△ABD的中线； ③ DE 是△ADC 的中线； ④ S ADE  S CDE ，其中结论正确的有（）
A．1个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
【答案】C
【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可．
【详解】解： ① ∵ AD 是V ABC 的角平分线，
∴ BAD  CAD ，
∴ AO 平分BAE ，
∴ AO 是 ABE 的角平分线，原说法正确；
∵ BE 是V ABC 的中线，中线是顶点与对边中点的连线，
∴ AE  EC ，
∴ O 不是 AD 的中点，
∴ BO 不是△ABD 的中线，原说法错误；
∵ BE 是V ABC 的中线，
∴ AE  EC ，
∴ DE 是△ADC 的中线，原说法正确；
∵ DE 是△ADC 的中线，
∴ S ADE  S CDE ，原说法正确，
∴有3 个是正确的．
【例 2】如图， ABC 中，1  2 ，G 为 AD 的中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 边上一点，且CF  AD
于点 H，下列说法错误的是（）
A． BG 是 ABD 中边 AD 上的中线B． AD 是 ABE 中BAE 的平分线
C． CH 是 ACH 中 AH 边上的高D． AH 是 ACF 的角平分线和高
【答案】B
【详解】解：∵G 为 AD 的中点，
∴ AG  DG  1 AD ，即 BG 是 ABD 中边 AD 上的中线，故 A 选项正确，不符合题意；
2
∵ 1  2 ，
∴ AG 是 ABE 中BAE 的平分线，故 B 选项错误，符合题意；
∵ CF  AD 于点 H，
∴ CH 是 ACH 中 AH 边上的高，故 C 选项正确，不符合题意；
∵ CF  AD ， 1  2 ，
∴ AH 是 ACF 的角平分线， AH 是 ACF 的高，故 D 选项正确，不符合题意．
【技巧归纳】
核心妙招：角平分线平分内角，得到两个相等的小角几何语言：
AD 平分∠BAC：∠BAD = ∠CAD = 1 ∠BAC
2
常见考法：
已知内角，求被平分后的角；与高、中线结合，求角度。 易错提醒：
三角形的角平分线是线段，不是射线；
只平分内角，不平分外角（除非题目明确说外角平分线）。
【变式 8-1】如图， CD 、 AE 、CF 分别是V ABC 的高线、角平分线、中线，则下列结论中错．误．的是（ ）
A． CD  AB
B． CAE  1 CAB
2
C． AF  BF
【答案】D
D． BE  CE
【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可．
【详解】解：∵ CD 是高线，
∴ CD  AB ，故选项 A 正确；
∵ AE 是角平分线，
∴ CAE  BAE  1 BAC ，故选项 B 正确；
2
∵ CF 是中线，
∴ AF  BF ，故选项 C 正确；
无法证明 BE  CE ，故选项 D 错误．
【变式 8-2】如图，在V ABC 中， C  90, D, E 是 AC 上两点，且 AE  DE, BD 平分EBC ，下列说法中不正确的是（ ）
A． 1  2  3B． BD 是 BCE 的角平分线
C． BE 是△ABD 的中线D． BC 是V BDE 的高
【答案】A
【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用 AE  DE 和三角形中线的定义可判断 C 选项的正确；利用 BD 平分EBC 和角平分线的定义即可判断出 B 选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断 D 选项的正确；利用角平分线的定义只能得到2  3 ，但没有办法得到1  2  3 ，可判断出 A 选项错误．
【详解】解：∵ AE  DE ，即点 E 为 AD 中点，
∴ BE 是△ABD 的中线，故 C 正确，不符合题意；
∵ BD 平分EBC ，
∴ BD 是 BCE 的角平分线，故 B 正确，不符合题意；
∵ C  90 ，即 BC  CE ，
∴ BC 是 BDE 的高，故 D 正确，不符合题意；
∵ BD 平分EBC ，
∴2  3 ．
但没有办法得到1  2  3 ，故 A 错误，符合题意．故选：A．
题型 9 做三角形的高
【例 1】如图，AD BC ，BE  AC ，CF  AB ，垂足分别为点 D 、E 、F ，V ABC 中 BC 边上的高是（ ）
A． CFB． BEC． CDD． AD
【答案】D
【详解】解：∵ AD BC ，
∴V ABC 中 BC 边上的高是 AD ．
【例 2】下面四个图形中，线段 BD 是V ABC 的高的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解．
【详解】解：A、B、C 选项中线段 BD 不能表示 ABC 任何边上的高，故选：D．
【技巧归纳】
核心妙招：一垂二标三延长，不同三角形画法不一样通用步骤：
过顶点，向对边（或对边延长线）作垂线；标出垂足和直角符号；
钝角三角形要先延长对边，再作高。
【变式 9-1】如图，在V ABC 中 BD AB 交 AC 于 D 点，CE AB 交 AB 的延长线于 E 点，AF BC 交CB 的 延长线于 F 点．下列线段中， BC 边上的高是（ ）
A． AEB． AFC． BDD． CD
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【详解】解：在V ABC 中， BC 边上的高是 AF ，故选：B．
【变式 9-2】如图， V ABC 中 AC 边上的高是（ ）
A．线段 BEB．线段CEC．线段 ADD．线段 BC
【答案】A
【分析】本题考查三角形高的定义，关键是理解三角形高的概念：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高．
【详解】解：根据三角形高的定义，在 ABC 中， AC 边上的高是从点 B 向 AC 边所在直线作的垂线段，观察图形可知线段 BE 符合条件；
故选：A．
题型 10 与三角形的高有关的计算
【例 1】如图所示， BD ， BE ， BF 分别是V ABC 的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ）
A． AE  EC
C． AC  2CF
【答案】A
B． ABE  1 ABC
2
D． BD  CD
【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段．
【详解】解：对于选项 A，∵ BE 是 ABC 的角平分线，并非中线，
∴不能推出 AE  EC ，该选项错误；
对于选项 B， BE 是 ABC 的角平分线，根据角平分线的定义，ABE  CBE  1 ABC ，该选项正确；
2
对于选项 C，∵ BF 是 ABC 的中线，
∴ F 为 AC 的中点，即 AC  2CF  2AF ，该选项正确；对于选项 D，∵ BD 是 ABC 的高，
∴ BD  AC ，即 BD  CD ，该选项正确．故选：A．
【例 2】如图， AD、AE 分别是V ABC 的高、中线， AD  6，S
ABC  24 ，则 BE 的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ AD 是V ABC 的高，
∴ AD BC ，
∵ AD  6，S
ABC  24 ，
∴ S△ABC
 1 BC  AD  24 ，
2
∴ BC  8 ，
∵ AE 是V ABC 的中线，
∴ BE  CE  1 BC  4 ．
2
故选：B．
【技巧归纳】
核心妙招：用面积法，同一个三角形面积不变
核心公式：S ABC = 1 BC×hBC = 1 AC×hAC =AB×hAB
1
△
2
2
2
用法：
已知一边和这边上的高，可求面积；
已知面积和另一边，可求这条边上的高。易错提醒：
直角三角形的面积：S = 1 直角边 1×直角边 2，不要用斜边和斜边上的高乱算；
2
钝角三角形的高在外部，计算时底用原边长即可，高是顶点到延长线的距离。
【变式 10-1】如图，在V ABC 中， BC  8 ， AD ， CE 是它的高， AF 是它的中线．若 AB  BF ， S△ACF  6 ，求线段CE 的长．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得 AB  BF  1 BC  4 ，
2
S ABC  2S ACF
 12 ，再由 S
△ ABC
 1 AB  CE ，即可求解．
2
【详解】解：∵ AF 是中线， BC  8 ， S△ACF  6 ，
∴ AB  BF  1 BC  4 ， S
2
ABC  2S ACF
 12 ，
∵ CE 是高，
∴ S 1 AB  CE ，即 1  4CE  12 ，
△ ABC22
∴ CE  6 ．
【变式 10-2】如图， AD 是V ABC 的中线， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F ， DF  2DE ，则 AB 是 AC
的倍．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得 S ABD = S ACD ，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵ AD 是V ABC 的中线，
∴ BD  CD ，
∴ S ABD = S ACD ，
∴ 1 AB  DE  1 AC  DF ，
22
∵ DF  2DE ，
∴ 1 AB  DE  1 AC 2 DE，
22
整理得： AB  2AC ，
∴ AB 是 AC 的 2 倍．故答案为：2．
已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）
9cmB．12cmC．12cm 或者15cmD．15cm
【答案】D
【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当腰长为3cm ，底边长为6cm 时，三角形三边长为3cm ， 3cm ， 6cm ，
因为3  3  6 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况；
当腰长为6cm ，底边长为3cm 时，三角形三边长为6cm ， 6cm ， 3cm ，满足三角形三边关系，此时周长为6  6  3  15cm ，
因此该等腰三角形的周长为15cm ．
下列长度的3 条线段，能组成三角形的是（）
A．1， 2 ， 3B． 5 ， 6 ，12C． 2 ， 2 ， 4D． 4 ， 5 ， 6
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可.
【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系.
A 选项 ∵1 2  3 ，∴不能组成三角形.
B 选项 ∵ 5  6  11  12 ，∴不能组成三角形.
C 选项 ∵ 2  2  4 ，∴不能组成三角形.
D 选项 ∵ 4  5  9  6 ，满足三边关系，∴能组成三角形.
三角形两条边的长分别是 5 和 9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（）
A．3B．4C．7D．15
【答案】C
【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可．
【详解】解：设此三角形第三边的长为 x ，则9  5  x  9  5 ，即4  x  14 ，
所以四个选项中只有7 符合条件．
如图，在 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 在边 BC 上，CE  2BE ，AE 和 BD 交于点O ，那么 BOE
和四边形OECD 的面积比是（ ）
1: 3B． 2 : 5C．1: 4D．1: 5
【答案】D
【分析】连接OC ，设S BOE  x ，S COD  y ，根据三角形面积之间的关系可得：S ACE  2 x  2 y，S ABE  4x ，根据CE  2BE ，可得S BOE : S四边形OECD  1: 5 ．
【详解】解：如下图所示，连接OC ，
设 S BOE  x ， S COD  y ，
点 D 是边 AC 的中点，点 E 在边 BC 上， CE  2BE ，
 S AOD  S COD  y ， S COE  2x ，
 S ACE  S AOD  S COD  S COE 2 x 2 y，点 D 是边 AC 的中点，
 S ABD  S CBD ，
 S AOB  S AOD  S BOC  S COD，
 S AOB  y  3x  y ，
 S AOB  3 x ，
 S ABE  S BOE  S AOB  4x ， 点 E 在边 BC 上， CE  2BE ，
 S ABE
 1 S
2
ACE ，
 4x  1 2x  2 y  ，
2
整理得： y  3x ，
 S四边形OECD  S COE  S COD  2x  y  2x  3x  5x ，
 S BOE : S四边形OECD  x : 5x  1: 5 ．
如图， BD 是V ABC 的中线， E ， F 分别为 BD ， CE 的中点，若△AEF 的面积为 6，则V ABC 的面积是
．
【答案】24
【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用，
先求出 S△ACF  6 ，进而求出S ACE  12 ，再根据三角形中线的定义得S ADE  S CDE  6 ，然后求出
S ABE  S BCE  6 ，最后根据S ABC  S ABE  S ACF  S BCE  S AEF 得出答案．
【详解】解：∵点 F 是CE 的中点，
∴ S AEF  S ACF  6 ，
∴ S ACE  S AEF  S ACF  12 ．
∵点 D 是 AC 的中点，
∴ S ADE  S CDE  6 ．
∵点 E 是 BD 的中点，
∴ S ABE  S ADE  S BCE  S CDE  6 ，
∴ S ABC  S ABE  S ACF  S BCE  S AEF  6 4 24 ．
故答案为：24．
如图， AP1 为V ABC 的中线， AP2 为 AP1C 的中线， AP3 为 AP2C 的中线，L ，按此规律， APn 为 APn1C
的中线．
若 AB  12cm ， AC  16cm ，则△ACP1 的周长与△ABP1 的周长相差cm ．
若V ABC 的面积为 64，则 AP5C 的面积为．
【答案】42
【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．
根据三角形的中线性质，可得 BP1  CP1 ，再根据三角形的周长公式解答即可；
根据三角形的中线性质，可得 AP1C 的面积为 32， AP2C 的面积为 16，以此类推，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ AP1 为V ABC 的中线，
∴ BP1  CP1 ，
∵ AB  12cm ， AC  16cm ，
∴△ACP1 的周长与△ABP1 的周长的差为 AC  AP1  CP1    AB  AP1  BP1   AC  AB  16 12  4cm ；故答案为：4
（2） AP1 为V ABC 的中线，
 S AP1C
 1 S
2
ABC
 32 ，
同理 S
AP2C
 1 S 2
AP1C
 16 ，
S AP3C
S AP4C
 1 S
2
 1 S 2
AP2C
AP3C
 8 ，
 4 ，
∴ S AP5C
 1 S
2
AP4C
 2 ．
故答案为：2．
在V ABC 中， AB  AC ， D 为直线 BC 上任意一点，连接 AD ， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F ，
BG  AC 于点G ．
如图 1，观察、测量、猜想、证明 DE ， DF ， BG 之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的： S ABC  S ACD ．
 1 AC  BG  1 AB  DE ．
22
AB  AC ，
．
如图1，当点 D 为 BC 中点时，试判断 BG 与 DE 的数量关系．
如图 2，当点 D 在 BC 的延长线上时，请猜想 DE ， DF ， BG 之间的数量关系并证明．
【答案】(1) BG  DE  DF ； S； 1 AC  DF ； BG  DE  DF
ABD2
BG  2DE
DE  BG  DF ；证明见解析
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
由点 D 为 BC 中点，得到 1 AB  DE  1 AC  DF ，结合 AB  AC ，推出 DE  DF ，然后结合 BG  DE  DF
22
即可作答；
同（1）的方法求解．
【详解】（1）解： BG  DE  DF ；
证明：
S△ABC  S△ABD  S△ ACD，
 1 AC  BG  1 AB  DE  1 AC  DF，
222
AB  AC ，
∴ BG  DE  DF ；
解： 点 D 为 BC 中点，
∴ S ABD = S ACD
 1 AB  DE  1 AC  DF ，
22
AB  AC ，
DE  DF ；
BG  DE  DF ，
 BG  2DE ；
解： DE  BG  DF ，理由如下：
Q SV ABD  SV ABC  SV ACD ，
 1 AB  DE  1 AC  BG  1 AC  DF，
222
AB  AC ，
∴ DE  BG  DF ．
综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板 ABC ，如果用一根细绳从重心O 处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】探究图 1 中， AO 的值是多少？
DO
吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下 3 个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．
【解决问题】
任务 1：如图 1，若V ABC 的面积为 6，则△ABF 的面积为．
任务 2：如图 1，若 BOC 的面积为m ，求V AOB 的面积．
任务 3：如图 1，在任务 2 的条件下，求 AO 的值．
DO
【拓展应用】
如图 2，在V ABC 中，点O 是V ABC 的重心．连接 BO ，CO 并延长分别交 AC ，AB 于点 D，E．若 BO  CO ，
BD  6 ， CE  9 ，直接利用上面的结论，求四边形 AEOD 的面积．
【答案】(1) 3
S△AOB  m
2
12
【分析】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可．
【详解】（1）解： 点O 为V ABC 的重心，
点 F 是 AC 边的中点，
V ABC 的面积为 6，
 S ABF
 1 S
2
ABC
 3 ；
解： 点O 为V ABC 的重心，
 D, E, F 分别是 BC, AB, AC 边上的中点，
 S ABF  S CBF , S AOF  S COF ，
 S AOB  S AOF  S BOC  S COF ，
 S△AOB  S△BOC  m ；
解： 点O 为V ABC 的重心，
D 是 BC 边上的中点，
 S BOD
 1 S
2
BOC ，
由（2）知 S△AOB  S△BOC  m ，
 S BOD
 1 S
2
AOB ，
 AO  2 ；
DO
解：由（3）得 OB  OC  2 ，
ODOE
BD  6, CE  9 ，
OD  2, OB  4, OC  6, OE  3 ，
BO  CO ，
 S 1 CE  OB  1  9  4  18 ， S 1 OC OD  1  6 2 6 ，
BCE22△COD22
点O 是V ABC 的重心，
点 E 是 AB 边的中点，
 S ACE  S BCE  18 ，
 S四边形AEOD  S ACE  S COD  18 6 12 ．
如图，在 ABC 中，ACB  90，CD  AB ， AC  3cm ， BC  4cm ， AB  5cm ，求 S ABC 和CD 的长．
【答案】6cm2 ； CD  12 cm
5
【分析】根据直角三角形的面积计算 ABC 的面积再由面积计算CD 的长即可．
【详解】解：∵ACB  90， AC  3cm ， BC  4cm ，
∴ S ABC
 1 AC  BC  1  3 4  6cm2 ，
22
又∵ S
ABC
 1 AC  BC  1  AB  CD ，
22
∴ CD  2S ABC  12 cm ．
AB5
已知a 、b 、c 分别是V ABC 的三边长，化简： | a  b  c |  | a  c  b | ．
【答案】2a  2c
【分析】根据三角形的三边关系，可得a  b  c  0 ， a  c  b  0 ，再根据绝对值的性质，化简合并即可．
【详解】解： a 、b 、c 分别是V ABC 的三边长，
 a  b  c  0 ， a  c  b  0 ，
 | a  b  c | a  b  c ， | a  c  b | a  c  b ，则原式 a  b  c   a  c  b
 a  b  c  a  c  b
 a  b  c  a  c  b
 2a  2c ．
a  2
已知 a，b，c 是 DEF 的三边，其中
【答案】c  2 或c  4
 (b  3)2  0 ，且三角形的周长为奇数．求 c 的值．
a  2
a  2
【分析】利用算术平方根和平方的非负性求出a, b 的值，再利用三角形三边关系求出c 的范围，结合三角形的周长为奇数即可解答．
【详解】解：∵
∴ a  2  0, b  3  0 ，解得a  2, b  3 ，
 b  32  0 ，且
 0, b  32  0 ，
∵a，b，c 是 DEF 的三边，
∴ b  a  c  a  b ，
∴1  c  5 ，
又∵周长为奇数，即a  b  c  2  3  c  5  c 为奇数，
∴ c  2 或c  4 ．