2026年八年级数学人教版 第06讲 角的平分线(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第06讲 角的平分线(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了方法总结，易错提醒，技巧归纳，变式 1-1，变式 1-2，变式 2-1，变式 2-2，变式 3-1等内容，欢迎下载使用。
内容导航
预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 利用角平分线定义求角度
题型 2 尺规作角平分线（作图题）
题型 3 运用角平分线性质证明线段相等
题型 4 运用角平分线判定证明角平分线
题型 5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题
题型 6 角平分线与全等三角形综合
题型 7 多角平分线组合计算角度
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
1 / 44
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关键词
学习目标导航
角平分线、尺规作图、性质、判定、点到直线的距离、辅助
线
理解角平分线的概念，会用尺规作一个已知角的平分线，掌握作图原理与步骤。
掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用定理进行计算和推理。
掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
能区分角平分线的性质与判定，结合全等三角形、平行线等知识综合解题。
学会遇角平分线作垂线的常用辅助线作法，规范书写几何证明过程。
学习重点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。
学习难点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 角平分线的定义
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
几何语言：若射线 OC 平分∠AOB，则：∠AOC =∠BOC = 1 ∠AOB。
2
补充：一个角有且只有一条角平分线。
即时即练如图，在Rt△ABC 中，C  90 ， AD 平分BAC ，交 BC 于点 D， DE AB 于点 E，若CD  3 ， 则 DE 的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线定理，根据已知条件结合角平分线定理可得出CD  DE ，从而求得 DE 的值．
【详解】解：∵ AD 平分BAC ， AED  C  90 ，
∴ CD  DE ，
∵ CD  3 ，
∴ DE  3 ，故选：A．
【方法总结】
角的平分线是射线；三角形的角平分线是线段，二者概念不同，不能混用表述。
把一个角分成两个相等的角的射线是角平分线。
知识点 02 尺规作已知角的平分线
作图工具
无刻度直尺、圆规（禁止使用量角器）
已知、求作已知：∠AOB
求作：射线 OC，使 OC 平分∠AOB
作图步骤（标准四步）
以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 D、E；
分别以点 D、E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C；
2
过点 O、C 作射线 OC。
结论：射线 OC 即为所求作的角平分线。
作图原理
连接 DC、EC，由作图可知 OD=OE，DC=EC，OC=OC，根据 SSS 可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC=∠EOC。
作图要求
全程保留作图痕迹；
第二步两弧半径必须大于 1 DE，否则两弧无法相交。
2
即时即练下列作图中，点M 到 AC ， BC 两边距离相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断．
【详解】解： 点M 到 AC 、 BC 两边距离相等，
点M 在ACB 的角平分线上，
由作法可知，选项 C 中 CM 为
ACB
的角平分线，选项 A、B、D 均不符合题意．
【方法总结】
1.第一步半径长短适中，保证弧与角的两边有清晰交点即可。
2.第二步两弧半径必须大于 1 DE，且两次画弧圆规半径保持一致，两弧交点必须落在角内部。
2
全程保留所有圆弧、交点等作图痕迹，不可擦除。
最后必须规范书写作图结论。
知识点 03 角平分线的性质定理
定理内容：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。
关键：距离指点到直线的垂线段长度。
几何语言:
∵OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，
∴PD = PE
4.使用场景：已知角平分线 + 垂直，直接证明两条垂线段相等，无需再证全等。
即时即练如图，在V ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DE AB 于 E，DF AC 于 F，AB  9cm ，DF  4cm ， 则△ABD 的面积是（）
12cm2
【答案】C
13cm2
18cm2
36cm2
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，
DE  DF  4cm ，再根据三角形面积计算公式可求出△ABD 的面积．
【详解】解：∵ AD 为BAC 的平分线， DE AB 于 E， DF AC 于 F，
∴ DE  DF  4cm ，
∵ AB  9cm ， DE AB ， DE  4cm ，
∴ S ABD
 1  AB  DE  1  9  4  18 cm2 ．

22
【易错提醒】
这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
知识点 04 角平分线的判定定理（性质逆定理）
定理内容：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言：
∵点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上。
使用场景：已知垂线段相等+垂直，证明射线是角平分线。
即时即练如图， DE AB 于 E， DF AC 于 F，若 BD  CD，BE  CF ．
求证： AD 平分BAC ；
已知 AC  10 ， BE  2 ，求 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）求出E  DFC  90 ，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED ≌Rt△CFD ，推出 DE  DF ，根据角平分线性质得出即可．
（2）根据全等三角形的性质得出 AE  AF ，由线段的和差关系求出答案．
【详解】（1）证明：∵ DE AB ， DF AC ，
E  DFC  90 ，
在Rt△BDE 与Rt△CDF 中，
BD  CD

 BE  CF ，
Rt BDE≌Rt CDF HL ，
DE  DF ，
又∵ DE AB ， DF AC ，
 AD 平分BAC ．
（2）解：由（1）得Rt
 CF  BE  2 ，
AC  10 ，
BDE≌Rt
CDF ，
 AF  AC  CF  10  2  8 ，在Rt ADE 与Rt ADF 中，
 AD  AD

DE  DF ，
Rt ADE≌Rt ADF HL ，
 AE  AF  8 ，
 AB  AE  BE  8  2  6 ．
【易错提醒】
角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上。
题型 1 利用角平分线定义求角度
【例 1】已知AOB  80，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ， OB 于点 M ， N ，分别以 M ， N
为圆心，以大于 1 MN 的长度为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 P ，以OP 为边作POC  15 ，则BOC
2
的度数为．
【答案】25或55
【分析】根据作图步骤可得OP 为AOB 的角平分线，作POC  15 时分两种情况，分别计算BOC 的度数即可．
【详解】解：由作图步骤可知， OP 是AOB 的角平分线，
∵ AOB  80，
∴ POB  AOP  1 AOB  40 ，
2
如图，当OC 在POB 内部时，
BOC  POB  POC  40 15  25 ，
如图，当OC 在AOP 内部时，
BOC  POB  POC  40 15  55 ，
∴BOC 的度数为25或55 ．
【例 2】如图，在V ABC 中， C  90 ，按以下步骤作图：
①以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径作圆弧，分别交 AB ， AC 于点 E ， F ；
②分别以点 E ， F 为圆心，大于 1 EF 的长为半径作圆弧，两弧相交于点G ；
2
③作射线 AG ，交 BC 边于点 D ．若CAB  52 ，则ADC 的大小为．
【答案】64
【分析】根据作图可得 AG 平分BAC ，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：由作图得 AG 平分BAC ，
∵ CAB  52 ，
∴ CAD  1 CAB  26 ，
2
∵ C  90 ，
∴ ADC  90  CAD  90  26  64 ．
【技巧归纳】
角平分线分角为两个相等的角，直接用∠半角= 1 ∠原角计算
2
【变式 1-1】如图，在AOB 中， PC  OA 于点 C， PD  OB 于点 D， PC  PD ，若AOB＝44 ，则AOP
的度数为．
【答案】22 / 22 度
【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明OP是角平分线即可解决问题．
【详解】解： PC  OA 于点C ， PD  OB 于点 D ，且 PC  PD ，
AOP  BOP ，
AOB  44 ，
AOP  22 ，故答案为： 22
【变式 1-2】如图，OC 是AOB 的平分线，点 D ，P 分别在射线OC 和OA 上，OD  DP 且DPO  42．Q
是射线OB 上一点，若 DQ  DP ，则DQO 的度数为（ ）
A． 42B． 48C． 42或48D． 42或138
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过 D 作 DM  OA 于点 M ，过 D 作 DN  OB 于点 N ，根据角平分线的性质可得 DM  DN ，然后分① 当Q 在点 N 右侧时，② 当Q 在点 N 左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，过 D 作 DM  OA 于点 M ，过 D 作 DN  OB 于点 N ，
∵ OC 是AOB 的平分线，
∴ DM  DN ，
当Q 在点 N 右侧时，如图，则PMD  QND  90 ，
∵ DQ  DP ，
∴ Rt
DPM≌Rt
DQN HL ，
∴ DPM  DQN  42 ，即DQO  42 ，
当Q 在点 N 左侧时，如图，则PMD  QND  90 ，
∵ DQ  DP ，
∴ Rt
DPM≌Rt
DQN HL ，
∴ DPM  DQN  42 ，
∴ DQO  180  42  138 ，
综上可得： DQO 的度数为42或138 ，故选： D ．
题型 2 尺规作角平分线（作图题）
【例 1】如图，在Rt△ABC 中， C  90 ，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
DC  DE
【答案】C
AC  AE
AD  BD
BAC  BDE
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由作图痕迹可知， AD 为BAC 的平分线， DE  AB ，结合角平分线的性质可得 DC  DE ，即可判断 A 选项；由已知条件可证明 Rt ACD≌Rt AED ，可得 AC  AE ，即可判断 B 选项；根据B  BDE  90，
B  BAC  90 ，可得BDE  BAC ，即可判断 D 选项，进而可得答案．
【详解】解：由作图痕迹可知， AD 为BAC 的平分线， DE  AB ，
C  90，
 DC  DE ．
故 A 选项正确，不符合题意；
DC  DE ， AD  AD ，
 Rt ACD≌Rt AED HL ．
 AC  AE ．
故 B 选项正确，不符合题意；
在 Rt BDE 中， B  BDE  90，在 Rt ABC 中， B  BAC  90 ，
BDE  BAC ．
故 D 选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出 AD  BD ，故 C 选项不正确，符合题意． 故选：C．
【例 2】如图，在Rt△ABC 中， C  90 ．以点 A 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交 AB ， AC 于 D，
E 两点，再分别以点 D、E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径画弧，两弧交于点 F，射线 AF 交 BC 于点 G，若CG  4 ，
2
AB  8 ，则 ABG 的面积为（）
A．12B．16C．24D．32
【答案】B
【分析】过点 G 作GH  AB 于点 H，根据题意得， AF 是CAB 的角平分线，得CG  GH  4 ，根据三角形面积公式，即可求出 ABG 的面积．
【详解】解：过点 G 作GH  AB 于点 H，
根据题意得， AF 是CAB 的角平分线，
∵ C  90 ， GH  AB ，
∴ CG  GH  4 ，
∴ S ABG
 1  AB  GH  1  8 4  16 ．
22
【技巧归纳】
牢记四步作图法，圆规半径规范，保留全部作图痕迹，最后写结论。
【变式 2-1】画一画，想一想：如图，已知AOB ，
(1)请用尺规作出AOB 的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法）
(2)你能用手中的三角板作出AOB 的角平分线吗？写出做法，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的步骤，逐步画出角平分线即可；
（2）根据HL 作 OCE≌ ODE HL 的步骤，逐步画图即可．
【详解】（1）解：如图所示， OC 即为AOB 的角平分线；
（2）解：如图，
①在射线OB, OA 上，利用三角板的同一条直角边作出OC  OD ，
②利用三角板作出OCF  ODM  90 ，交于点 E，
③连接OE ，
则OE 为AOB 的角平分线．理由如下：
∵ OCF  ODM  90 ， OC  OD ， OE  OE ，
∴ OCE≌ ODE HL ，
∴ DOE  COE ，
∴ OE 为AOB 的角平分线．
【变式 2-2】如图， Rt ABC 中， C  90 ，利用尺规在 BC ， BA 上分别截取 BE 、 BD ，使 BE  BD ；分
别以 D、E 为圆心、以大于 1 DE 的长为半径作弧，两弧在CBA 内交于点 F；作射线 BF 交 AC 于点 G．若
2
CG  1，P 为 AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）
A．无法确定B． 1
2
C．1D．2
【答案】C
【分析】由垂线段最短可得，当GP  AB 时， GP 的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果．
【详解】解：由作图可得： BG 平分ABC ，
由垂线段最短可得，当GP  AB 时， GP 的值最小，
∵ C  90 ，
∴由角平分线的性质定理可得GP  GC  1，即GP 的最小值为1．
题型 3 运用角平分线性质证明线段相等
【例 1】已知：如图，在V ABC 中， ABC 和ACB 的角平分线相交于点 P，且 PE  AB ， PF  AC ，垂足分别为 E、F．求证： PE  PF ；
【答案】见解析
【分析】过点 P 作 PD  BC 于 D，根据角平分线的性质即可得到 PD  PE  PF ．
【详解】证明：过点 P 作 PD  BC 于 D，
∵ ABC 和ACB 的角平分线相交于点 P，且 PE  AB，PF  AC ，
∴ PD  PE，PD  PF ，
∴ PE  PF ．
【例 2】如图，在V ABC 中， C  90 ．
(1)①在图 1 中作ABC 的平分线交 AC 于点 D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在①的条件下，若CD  4 ， AB  BC  20 ，求V ABC 的面积．
(2)如图 2，CE 平分ACB ，F 是线段CE 上一点，延 BF 交线段 AC 于 H 点， FG  BF ，求证： FG  FH ．
【答案】(1)见解析； S△ABC  40
(2)见解析
【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可；
②过点 D 作 DH  AB 于点 H ，由角平分线的性质得到 DH  CD  4 ，再结合三角形面积公式求解即可．
（2）过 F 点分别作 FM  BC 于M ， FN  AC 于 N ，根据角平分线的性质可得 FM  FN ，再证明
FMG≌
FNH AAS ，即可得证．
【详解】（1）①解： BD 即为ABC 的平分线，如图所示．
②解：如图，过点 D 作 DH  AB 于点 H ．
∵ BD 平分ABC ， DC  BC ， DH  AB ，
∴ DH  CD  4 ，
∴ S ABC  S BCD  S ABD
 1 BC  CD  1 AB  DH
22
 1 BC  4  1 AB  4
22
 1  4  BC  AB 
2
 1  4 20
2
 40 ；
（2）证明：过 F 点分别作 FM  BC 于 M ， FN  AC 于 N ．
CE 平分ACB ，
 FM  FN ，
FB  FG ，
BGF  GBF  90， 同理GBF  FHC  90 ，
BGF  FHC ，
在 FMG 和△FNH 中，
FMG  FNH

MGF  NHF ，

FM  FN
 FMG≌
FNH AAS ，
 FG  FH ．
【技巧归纳】
角平分线+双垂直⟹ 垂线段直接相等，省略全等步骤。
【变式 3-1】如图，在V ABC 中，C  90 ，AD 是BAC 的平分线，DE AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD  DF ．
求证： CF  EB ；
若 AB  18 ， AF  8 ，求CF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由 AD 是BAC 的平分线，利用角的平分线的性质定理得到 DC  DE ，再由 BD  DF 得到
Rt FCD≌Rt
BED HL ，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用 AAS 得到
CAD≌
EAD ，利用全等三角形对应边相等得到 AC  AE ，由 AB  AE  EB ，
CF  AC  AF 及（1）中CF  EB 等量代换即可求CF 的长．
【详解】（1）证明：∵ C  90 ， AD 是BAC 的平分线， DE AB ，
∴ DC  DE ， BED  C  90，在Rt△FCD 和Rt BED 中，
 BD  DF

DC  DE ，
∴ Rt
FCD≌Rt
BED HL，
∴ CF  EB ；
（2）解：∵ AD 是BAC 的平分线，
∴ CAD  EAD ，
∵ C  90 ， DE AB ，
∴ AED  C  90 ，在 CAD 和 EAD 中，
 AED  C

CAD  EAD ，

AD  AD
∴ CAD≌
EAD AAS ，
∴ AC  AE ，
∵ CF  AC  AF ， AE  AB  BE ，
∴ CF  AB  BE  AF ，
∵ CF  BE ，
∴ CF  AB  CF  AF ，
∵ AB  18 ， AF  8 ，
∴ CF  18  CF  8 ，
∴ CF  5，
故CF 的长为 5．
【变式 3-2】如图，四边形 ABCD 中， CA 平分BAD ， ABC  ADC  180 ， CF  AD 于 F ．
(1)求证： CB  CD ；
(2)若 AD  16 ， AB  6 ，求 DF 和 AF 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) DF 的长为5 ， AF 的长为11．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键：
过点C 作CE AB ，交 AB 的延长线于 E ，根据角平分线的性质可得CE  CF ，再证明
△△CBE≌ △CDF(AAS) ，进而得出答案；
根据全等三角形的性质得出 BE  DF ，再证Rt
ACE≌Rt
ACF HL ，可得 AF  AE ，求出2DF  10 ，
进而可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，过点C 作CE AB ，交 AB 的延长线于 E ，
∵ CA 平分BAD ， CE AB ， CF  AD ，
∴ CE  CF ， CEB  CFD  90，
∵ ABC  CBE  180 ， ABC  ADC  180 ，
∴ CBE  ADC ，即CBE  CDF ，在△CBE 和V CDF 中，
CBE  CDF

CEB  CFD  90 ，

CE  CF
∴ CBE≌ CDF AAS ，
∴ CB  CD ；
（2）解：∵△CBE≌△CDF ，
∴ BE  DF ，
在Rt ACE 和Rt△ACF 中，
CE  CF

 AC  AC ，
∴ Rt
ACE≌Rt
ACF HL ，
∴ AF  AE ，
∴ AD  DF  AB  BE  AB  DF ，
∴ 2DF  AD  AB  16  6  10 ，
∴ DF  5 ，
∴ AF  AD  DF  16  5  11，
∴ DF 的长为5 ， AF 的长为11．
题型 4 运用角平分线判定证明角平分线
【例 1】已知：如图，在四边形 ABCD 中， BC  CD ，过点 C 作CE AB 于 E，CF  AD 于 F 且 DF  BE ．
(1)求证： AC 平分DAB ；
(2)若 AB  8cm ， DF  2cm ，求 AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 4cm
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形全等的判定证明Rt△BCE≌Rt△DCF ，所以CE  CF ，再根据角平分线的性质定理的逆
定理，即可证明结论；
根据直角三角形全等的判定证明Rt
ACE≌Rt
ACF ，可得 AE  AF ，进一步即可求得答案．
【详解】（1）证明： CE  AB ， CF  AD ，
CFD  90 ， CEB  90 ，
△BCE 和 DCF 均为直角三角形，在Rt BCE 和Rt DCF 中，
BC  DC

 BE  DF ，
Rt△BCE≌Rt△DCF(HL) ，
CE  CF ，
CE  AB ， CF  AD ，
 AC 平分BAD ；
（2）解： CE  AB ， CF  AD ，
 ACE 和△ACF 均为直角三角形，
在Rt ACE 和Rt△ACF 中，
 AC  AC

 CE  CF ，
Rt△ACE ≌ Rt△ACF (HL) ，
 AE  AF ，
AB  8cm ， DF  BE  2cm ，
 AE  AF  6cm ，
 AD  AF  DF  6  2  4cm ．
【例 2】已知，如图， AB  AC ,BD  CD ,DE  AB 于点 E, DF  AC 于点 F ．
(1)求证： ABD  ACD ；
(2)求证： BE  CF ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键．
连接 AD ，先证
ABD≌
ACD SSS ，然后根据全等三角形的性质可进行求证；
由（1）可得BAD  CAD ，进而根据角平分线的性质定理可进行求证．
【详解】（1）证明：连接 AD ，如图所示：
在△ABD 和 ACD 中，
 AB  AC

 BD  CD ，

 AD  AD
 ABD≌
ACD SSS ，
ABD  ACD ；
（2）证明：由（1）可知： △ABD≌△ACD ，
BAD  CAD ，
∵ DE ⊥ AB ， DF AC ，
DE  DF ，
在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，
DB  DC

DE  DF ，
Rt
DEB≌Rt
DFC HL ，
 BE  CF ．
【技巧归纳】
先证两条垂线段相等，结合垂直条件，判定射线为角平分线
【变式 4-1】课本再现
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
(1)定理证明
已知：如图，点 P 在AOB 内部，PD  OA ，PE  OB ，垂足分别为 D、E ，且 PD  PE ．求证：点 P 在AOB 的平分线上．
(2)定理应用
如图，四边形 ABCD 中， BC  CD ， B  ADC  180 ，求证： AC 平分BAD ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）证明Rt PDO≌Rt PEO HL ，所以POD  POE ，从而得证；
（ 2 ）过点C 作CM  AB， CN  AD ，垂足分别是点 M ， N ，由同角的补角相等得出B  CDN ，然后
证明 BCM≌ DCN AAS ，所以CM  CN ，最后由角平分线的判定即可求证．
【详解】（1）证明：∵ PD  OA ， PE  OB ，
∴ PDO  PEO  90 ， 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP  OP

PD  PE ，
∴ Rt PDO≌Rt PEO HL ，
∴ POD  POE ，
∴点 P 在AOB 的平分线上；
（2）证明：过点C 作CM  AB， CN  AD ，垂足分别是点 M ， N ，
∴ CMB  CND  90 ，
∵ B  ADC  180 ， CDN  ADC  180 ，
∴ B  CDN ，
在 BCM 和 DCN 中，
CMB  CND 90 

B  CDN，

BC  CD
∴ BCM≌ DCN AAS ，
∴ CM  CN ，
又∵CM  AB， CN  AD ，
∴点C 在BAD 的平分线上，
∴ AC 平分BAD ．
【变式 4-2】如图，在V ABC 中，点 D 在边 BC 的延长线上，连接 AD ， ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接CE ，过点 E 作 EH  BD 于点 H ，若ACE  34， CEH  56 ．
求证： AE 平分CAF ；
若 AB  8 ， CD  10 ， AC  6 ，且 S△ABE  16 ，求 ACD 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 32
【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
过点 E 作 EM  BF 于点 M ， EN  AC 于点 N 根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得
EM  EH 、 EN  EH ，即可得到 EM  EN ，根据角平分线的判定定理即可解答；
根据 S
 1 AB  EM 结合已知条件可得 EM 的长，最后运用 S
 S S
即可解答．
ABE2
△ACD
△ACE
△ CED
【详解】（1）证明：如图，过点 E 作 EM  BF 于点 M ， EN  AC 于点 N ．
BE 平分ABC ，
 EM  EH ．
ACE  34 ， CEH  56 ，
HCE  90  CEH  90  56  34  ACE ，
CE 平分ACD ，
 EN  EH ，
 EM  EN ，
AE 平分CAF ．
（2）解：
AB  8 ， CD  10 ， AC  6 ，且 S△ABE  16 ，
 S△ABE
 1 AB  EM  1 8 EM  16 ，
22
 EM  4 ，
 EN  EH  EM  4 ，
 S△ ACD
 S△ ACE
 S△CED
 1 AC  EN  1 CD  EH  1  6  4  1 10  4  32 ，故 ACD 的面积为 32．
2222
题型 5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题
【例 1】如图，在V ABC 中，C  90 ， AD 平分CAB ，CD  2cm ，则点 D 到直线 AB 的距离为cm ．
【答案】2
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可．
【详解】解：∵ C  90 ， AD 平分CAB ， CD  2cm ，
∴点 D 到直线 AB 的距离 CD  2cm ．
【例 2】如图，OP 平分AOB ， PC  OA 于点C ，点 D 在OB 上，若 PC  3cm，OD  8cm ，则 POD 的面积为cm2 ．
【答案】12
【分析】利用角平分线的性质，得出点 P 到OB 的距离等于 PC 的长，再根据三角形面积公式求解 POD 的面积．
【详解】解：如图所示，过点 P 作 PE  OB 于点 E ．
OP 平分AOB ， PC  OA ， PE  OB ，
 PE  PC （角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵ PC  3cm，
 PE  3cm ． 又∵ OD  8cm ，
 S POD
 1 OD  PE  1  8 3  12 cm2 ．

22
【技巧归纳】
见角平分线，立刻向角两边作垂线，构造相等线段，再结合全等解题。
【变式 5-1】如图， AB ∥CD ， BE 和CE 分别平分ABC 和BCD ， AD 过点 E ，且与 AB 互相垂直，点 P
为线段 BC 上一动点，连接 PE ．若 AD  8 ，则 PE 的最小值为
【答案】4
【分析】过 E 作 EH  BC 于 H ，由平行线的性质推出 AD  CD ，由角平分线的性质推出 AE  EH ，DE  EH ，
得到 AE  DE  1 AD  4 ，由垂线段最短得到 PE  EH ，即可得到 PE 的最小值．
2
【详解】解:过 E 作 EH  BC 于 H ，
∵ AB ∥CD ， AD AB ，
∴ AD  CD ，
∵ BE 和CE 分别平分ABC 和BCD ，
∴ AE  EH ， DE  EH ，
∴ AE  DE  1 AD  4 ，
2
∴ EH  4 ，
∵ PE  EH ，
∴ PE 的最小值为4 ．
BPC
【变式 5-2】如图，V ABC 的外角MBC 和NCB 的平分线 BP 、CP 相交于点 P，PE  BC 于 E 且 PE  3 cm ，若V ABC 的周长为15cm ， S 7.5cm2 ，则V ABC 的面积为cm2 ．
【答案】7.5
【分析】过点 P 作 PF  AN 于 F，作 PG ^ AM 于 G，连接 AP ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PF  PG  PE ，根据 S BPC  7.5 ，求出 BC ，然后求出 AC  AB ，再根据S△ ABC  S△ ACP  S△ ABP  S△ BCP计算即可得解．
【详解】解：如图，过点 P 作 PF  AN 于 F，作 PG ^ AM 于 G，连接 AP ，
∵ MBC 和NCB 的平分线 BP 、CP 交于 P， PE  BC ，
∴ PF  PG  PE  3 ，
∵ S BPC  7.5 ，
∴ 1 BC  3  7.5 ，
2
解得： BC  5 ，
∵V ABC 的周长为 15，
∴ AB  AC  BC  15 ，
 AB  AC  10 ，
 S△ABC  S△ACP  S△ABP  S△BCP
 1 AC  PF  1 AB  PG  1 BC  PE
222
 1  3 AC  AB  BC 
2
 1  310  5 2
 7.5(cm2) ．
题型 6 角平分线与全等三角形综合
【例 1】如图 ABC 中， C  90 ， AD 平分BAC ， DE  AB 于 E ，给出下列结论：① DC  DE ；② DA
平分CDE ；③ DE 平分ADB ；④ BE  AC  AB ；⑤ BAC  BDE ．其中正确的是．
【答案】
①②④⑤
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明 Rt ACD≌Rt AED HL 得到
② ADC  ADE, AC  AE ，
即可判断②，根据 BE  AC  BE  AE  AB 即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误．
【详解】解：∵ C  90 ， AD 平分BAC ， DE  AB ，
∴ DC  DE ，故①正确；在 Rt ACD 和 Rt AED 中，
 AD  AD

CD  ED
∴ Rt ACD≌Rt AED HL ，
∴ ADC  ADE, AC  AE ，
∴ DA 平分CDE ，故②正确
BE  AC  BE  AE  AB ，故④正确；
∵ BAC  B  90, BDE  B  90
∴ BAC  BDE ，故⑤正确；
∵ ADE  BAD  90，而BAD  B ，
∴ BDE  ADE ，
∴ DE 平分ADB 错误，故③错误；综上所述，正确的有①②④⑤．
【例 2】如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在绕点 P
旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：
PM  PN 恒成立；
OM  ON 的值不变；
四边形 PMON 的面积不变；
MN 的长不变．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】如图作 PE  OA 于点 E ， PF  OB 于点 F ，由角平分线的性质定理可得 PE  PF ，证明
Rt PEO≌Rt PFO HL ，得出OE  OF ，证明 MPE≌ NPF ASA ，得出 ME  FN ， PM  PN ，再逐项
分析即可得出结果．
【详解】解：如图：如图作 PE  OA 于点 E ， PF  OB 于点 F ，
∵ OP 平分AOB ，
∴ PE  PF ，
在Rt△PEO 和Rt△PFO 中，
PE  PF

PO  PO ，
∴ Rt
PEO≌Rt
PFO HL ，
∴ OE  OF ，
∵MPN 与AOB 互补，
∴ MPN  AOB  180 ，
∵ EPF  AOB  360  PEO  PFO  180 ，
∴ EPF  MPN ，
∴ EPF  EPN  MPN  EPN，
∴ MPE  NPF ，
在△MPE 和△NPF 中，
MPE  NPF

PE  PF，

PEM  PFN
∴ MPE≌
NPF ASA ，
∴ ME  FN ， PM  PN ，故（1）正确；
∴ OM  ON  OE  ME  OF  NF  2OE ，即OM  ON 的值不变，故（2）正确；
∵ MPE≌
NPF ASA ， Rt
PEO≌Rt
PFO HL ，
∴ S POE  S POF ， S PME  S PNF ，
∴ S四边形PMON  S POE  S PME  S POF  S PNF 2 S POE，即四边形 PMON 的面积不变，故（3）正确；
∵ AOB 为定角，
∴ MPN  180  AOB ，为定角，
∵ PM  PN ，
∴ PMN 的形状确定，
PN ∵的长度变化，
∴ MN 的长度变化，故（4）错误；
综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共3 个．
【技巧归纳】
角平分线提供一组等角，结合公共边、垂直条件，用 AAS/ASA 证明三角形全等
【变式 6-1】如图，在V ABC 与△ABD 中，满足 AC  AD ， BC  BD ．
(1)求证：△ABC ≌△ABD ；
(2)若 P 是线段 AB 上一点， PE  AC ， PF  AD ，垂足分别是点 E，F ，试判断 PE 与 PF 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) PE  PF ，见解析
【分析】（1）根据SSS证明△ABC ≌△ABD 即可；
（2）证明CAB  DAB ，结合 PE  AC ， PF  AD 可得结论.
【详解】（1）证明：在V ABC 和△ABD 中，
 AC  AD


∵ BC  BD ，

 AB  AB
∴ ABC≌ ABD SSS ．
（2）解： PE  PF ， 理由如下：
∵△ABC ≌△ABD ，
∴ CAB  DAB ．
∵ PE  AC ， PF  AD ， ∴ PE  PF ．
【变式 6-2】如图，点 E，F 分别在V ABC 的边 BA ， BC 的延长线上， ABC ， EAC 的角平分线 BP ， AP
1
交于点 P， PM  BE ， PN  BF ，垂足分别为 M， N ．下列结论：① CP 平分ACF ；② APC  MPN ；
3
③ S PAC  S AMP  S NCP ；④ EAC  FCA  270 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】C
【分析】①过点 P 作 PH  AC 于点 H，根据角平分线性质得 PM  PN  PH ，再根据点 P 在ACF 的内部得点 P 在ACF 的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“ HL ”判定Rt△AMP 和Rt AHP 全等， Rt△NCP 和Rt△HCP 全等得APM  APH ， CPN  CPH ，由此得APC  APM  CPN ，进而得
MPN  2APC ，据此可对结论②进行判断；③根据Rt△AMP 和Rt AHP 全等， Rt△NCP 和Rt△HCP 全
等得 S PAM  S PAH ，S NCP  S HCP ，由此得 S PAC  S PAM  S NCP ，据此可对结论③进行判断；④设ABC ，则BAC  BCA  180 ， EAC  180  BAC ， FCA  180  BCA ，由此可得
EAC  FCA  360  BAC  BCA  180 ，进而得当ABC   90 时， EAC  FCA  270 ，
依题意可知ABC 不一定等于90 ，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①过点 P 作 PH  AC 于点 H，如图所示：
BP 是ABC 的平分线， PM  BE ， PN  BF ，
 PM  PN ，
AP 是EAC 的平分线， PM  BE ， PH  AC ，
 PM  PH ，
 PN  PH ，
又 点 P 在ACF 的内部，
点 P 在ACF 的平分线上，
CP 平分ACF ，故结论①正确；
PM  BE ， PH  AC ，
 AMP 和△AHP 都是直角三角形，
在Rt△AMP 和Rt AHP 中，
PM  PH

PA  PA ，
Rt
AMP≌Rt
AHP HL ，
APM  APH ，
同理： Rt
NCP≌Rt
HCP HL ，
CPN  CPH ，
APC  APH  CPH  APM  CPN ，
MPN  APC  APM  CPN  2APC ，
APC  1 MPN ，故结论②不正确；
2
Rt
AMP≌Rt
AHP ， Rt
NCP≌Rt
HCP ，
 S PAM  S PAH ， S NCP  S HCP ，
 S PAM  S NCP  S PAH  S HCP ，
又 S PAC  S PAH  S HCP ，
 S PAC  S PAM  S NCP ，故结论③正确；
④设ABC ，
在V ABC 中， BAC  BCA  180 ，
EAC  180  BAC ， FCA  180  BCA ，
EAC  FCA  360  BAC  BCA  360  180   180 ，
当 90 时， EAC  FCA  270 ，即当ABC  90时， EAC  FCA  270 ，依题意可知： ABC 不一定等于90 ，
EAC  FCA 不一定等于270，故结论④不正确，综上所述：正确结论的序号是①③，共 2 个．
题型 7 多角平分线组合计算角度
【例 1】如图，在V ABC 中，AB  BC  2a ，BAC 和ABC 的平分线 AD, BE 相交于点O ，AD 交 BC 于点 D ，
BE 交 AC 于点 E ， CE  b ，若 ABO 的面积为ac ，则V ABC 的面积为．
【答案】2ac  bc
【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知OE  AC ，
AC  2CE  2b ，根据角平分线的性质得到OF  OE  OG，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接OC ，作OG  BC ， OF  AB ，垂足分别为G，F ，
∵ ABO 的面积为ac ， AB  BC  2a ，
∴ 1 AB OF  ac ，
2
∴ 1  2a  OF  ac ，
2
∴ OF  c ；
∵ AB  BC ， BE 平分ABC ，
∴ OE  AC ， AC  2EC  2b ，
∵BAC 和ABC 的平分线分别为 AD，BE 相交于点 O，且OG  BC ， OF  AB ，
∴ OE  OF  OG  c ，
∴ S ABC  S ABO  S ACO  S BCO
 1 AB  OF  1 BC  OG  1 AC  OE
222
 ac  1  2a  c  1  2b  c
22
 ac  ac  bc
 2ac  bc ．
故答案为： 2ac  bc ．
【例 2】如图，ABC、EAC 的平分线 BP、AP 交于点 P ， PM  BE ， PN  BF ，则下列结论中正确的个数是（ ）
①CP 平分ACF ；②ABC  2APC  180；
③∠ACB  2∠APB ；
④S PAC  S PAM  S PCN ．
A．1B． 2C． 3D． 4
【答案】D
【分析】过点 P 作 PD  AC 于 D ，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt
PAM≌Rt
PAD ，
根据全等三角形的性质得出APM  APD ，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点 P 作 PD  AC 于 D ，
∵ PB 平分ABC ， PA 平分EAC ， PM  BE, PN  BF , PD  AC ，
∴ PM  PN ， PM  PD ，
∴ PM  PN  PD ，
∵ PN  BF , PD  AC ，
∴点 P 在ACF 的角平分线上，故①正确；
②∵ PM  BE, PN  BF ，
∴ ABC  90  MPN  90  360 ，
∴ ABC  MPN  180 ，在Rt PAM 和Rt△PAD 中，
PM  PD

PA  PA ，
∴ Rt
PAM≌Rt
PAD HL ，
∴ APM  APD ，
同理： Rt
PCD≌Rt
PCN HL ，
∴ CPD  CPN ，
∴ MPN  2APC ，
∴ ABC  2APC  180 ，②正确；
③∵ PA 平分CAE ， BP 平分ABC ，
∴ CAE  ABC  ACB  2PAM ，
∵ PAM  1 ABC  APB ，
2
∴ ABC  ACB  2  1 ABC  APB 
 2

∴∠ACB  2∠APB ，③正确；
④由②可知Rt PAM≌Rt PAD HL ， Rt PCD≌Rt PCN HL ，
∴ S APD  S APM ， S△CPD  S△CPN ，
∴ S APM  S CPN  S APC ，故④正确，
综上可知，正确的结论有：①②③④，共有 4 个．
【技巧归纳】
多次利用角平分线分角，结合三角形内角和、外角性质分步计算。
【变式 7-1】如图，V ABC 中BAC  60 ，再分别作V ABC 的两条角平分线 BE 和CD ，BE 和CD 相交于点 P，连接 AP ，有以下结论：① BPC  120 ；② AP 平分BAC ；③ PD  PE ；④ BD  CE  BC ；其中正确的 个数是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】分别分析四个结论的正确性，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定等知识逐一验证即可．
【详解】解：∵ BAC  60 ，
∴ ABC  ACB  180 ∠BAC  120 ，
∵V ABC 的两条角平分线 BE 和CD 相交于点 P，
∴ PBC  PBA  1ABC ， PCB  PCA  1ACB ，
22
∴ PBC  PCB  1 ABC  ACB   60 ，
2
∴ BPC  180  PBC  PCB  120 ，故①正确；
如图，作 PQ AB 于点 Q， PF  BC 于点 F， PH  AC 于点 H，
∵ BE 平分ABC ， CD 平分ACB ， BE 与CD 交于点 P，
∴ PQ  PF ， PH  PF ，
∴ PQ  PH ，
∴点 P 在BAC 的平分线上，
∴ AP 平分BAC ，故②正确；
如图，在 BC 上截取 BR  BD ，连接 PR ，
在△PBR 和△PBD 中，
BR  BD

PBR  PBD ，

BP  BP
∴ PBR≌
PBD SAS ，
∴ PR  PD ， BPR  BPD ，
∵ BPD  CPE  180  BPC  60，
∴ BPR  BPD  60 ，
∴ CPR  BPC  BPR  60，
∴ CPR  CPE ，
在△PCR 和 PCE 中，
CPR  CPE

CP  CP，

PCR  PCE
∴ PCR≌
PCE ASA ，
∴ PR  PE ， CR  CE ，
∴ PD  PE ，故③错误；
∵ BD  CE  BR  CR ，且 BR  CR  BC ，
∴ BD  CE  BC ，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，共 3 个．
【变式 7-2】如图，在Rt△ABC 中， C  90 ， AC  12 ， BC  9 ，CAB 和ABC 的平分线交于点 O，
OM  BC 于点 M，则OM 的长为．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得OE  OD  OM ，再利用等积法求解即可．
【详解】解：如图，
∵ C  90 ， AC  12 ， BC  9 ，
92  122
∴ AB  15 ，
过 O 分别作 AC、AB 的垂线，垂足为 D、E，连接OC ，
∵O 是CAB 和ABC 的平分线的交点，
∴ OE = OD ， OE  OM ，
∴ OE  OD  OM ，
∵ S△ ABC  S△ ABC  S△ AOC  S△BOC ，
∴ 1 12  9  1 15 OM  1 12  OM  1  9  OM ，
2222
解得OM  3 ．
如图，OC 平分AOB ，在OC 上取一点 P，作 PF  OB ，已知OF  5cm ， POF 的面积为5cm2 ，点 E
是射线OA 上一动点．则 PE 长度的最小值为（ ）
1cmB．1.5cmC． 2cmD． 2.5cm
【答案】C
【分析】先求解 PF  2 ，过 P 点作 PH  OB 于 H，根据角平分线的性质得到 PH  PF  2cm ，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵ OF  5cm ， △FOP 的面积为5cm2 ， PF  OB ，
∴ 1  5PF  5 ， 2
∴ PF  2 ，
过 P 点作 PH  OA 于 H，如图：
∵ OC 平分AOB ， PH  OA ， PF  OB ，
∴ PF  PH  2cm ，
∵点 E 是射线OA 上的动点，
∴ PE 的最小值为2cm ．
如图，在V ABC 中， AB  4 ， AC  6 ， AD 为BAC 的平分线， S ADC  12 ，则V ABC 的面积为（ ）
A．8B．20C．28D．34
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在 AB 边与 AC 边的高线．
作 AB 边与 AC 边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据 S ADC  12 ，可求解 AC 边的垂线的长度，由此可得 AB 边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点 D 作 DE  AB 交 AB 于点 E， DF  AC 交 AC 于点 F，如图，
∵ AD 为BAC 的平分线，且 DE  AB ， DF  AC ，
∴ DE  DF ，
∵ S ADC
 1  AC  DF  12 ，
2
即 1  6  DF  12 ，解得 DF  4 ，
2
∴ DE  DF  4 ，
∴ S ADB
 1  AB  DE  1  4  4  8 ，
22
则 S ABC  S ADC  S ADB  12 8 20 ．
故选：B ．
如图， AD 是V ABC 的角平分线， DE，DF 分别是
ADB,
ADC 的高，则下列结论错．误．的是（）
DE  DF
AE  AF
S= S
S△ ABD  AB
【答案】C
ABDACD
S△ ACDAC
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理.
根据角平分线的性质定理得出 DE  DF ，证明Rt△ADE≌Rt△ADF HL ，得出 AE  AF ，根据三角形的面
积公式即可得出 S△ ABD  AB .
S△ ACDAC
【详解】解：A.∵ AD 是V ABC 的角平分线，且 DE，DF 分别是
∴ DE  DF ，
该选项正确，不符合题意；
ADB,
ADC 的高，
B.∵ DE，DF 分别是 ADB, ADC 的高，
∴ AED  AFD  90，由选项 A 得， DE  DF ，又∵ AD  AD ，
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF HL ，
∴ AE  AF ，
该选项正确，不符合题意；
C.根据给出条件，不能得出 S ABD = S ACD ，该选项错误，符合题意；
D. 由选项 A 得， DE  DF ，且 DE，DF 分别是 ADB, ADC 的高，
S1 AB  DEAB
∴ ABD  2 ，
S ACD
1 AC  DFAC
2
该选项正确，不符合题意；故选：C．
如图， Rt△ABC 中， C  90 ，用尺规作如下操作：①在 BC ， BA 上分别截取 BE、BD ，使 BE  BD ；
②分别以点 D ，E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径画弧，两弧在CBA 的内部交于点 F ；③作射线 BF 交 AC
2
于点G ．若CG  1， H 为 AB 上一动点，则GH 的最小值为（ ）．
A． 1
2
【答案】B
B．1C． 3
2
D．2
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短．由作法可知， BG 平分ABC ，由垂线段最短可知，当GH  AB 时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作法可知， BG 平分ABC ，由垂线段最短可知，当GH  AB 时有最小值，
C  90 ， CG  1，
GH  CG  1，即GH 的最小值为 1，故选：B．
如图，在 ABC 中，A  90 ，BD 平分ABC ．如果 BC  5 ， AD  2 ，那么 BCD 的面积是．
【答案】5
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点 D 作 DE  BC 于点 E ，根据角平分线的定义得出 DE  AD  2 ，
进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 D 作 DE  BC 于点 E ，
∵ A  90，
∴ DA  BA ，
∵ BD 平分ABC ， AD  2 ，
∴ DE  AD  2 ，
∵ BC  5 ，
∴△DBC 的面积为 1  BC  DE  1  5 2  5 ，
22
故答案为： 5 ．
如图，在Rt
ABC，ACB  90，BAC 的平分线交 BC 于 D．过 C 点作CG  AB 于 G，交 AD 于 E．过
D 点作 DF  AB 于 F．下列结论：① CED  CDE ；② ADF  2ECD ；③ S AEC ∶S AEG  AC ∶AG ；
S△CED  S△DFB ；⑤ CE  DF ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③⑤
【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质．
由ACB  90，CG  AB ，得ACE  B ，再由三角形外角的性质得CED  CDE ，得CE  CD ；根据角平分线的性质，得CD  DF ，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 S AEC ∶S AEG  AC ∶AG ；等量代换得CE  DF ，从而得出答案．
【详解】解：∵ AE 平分CAB ，
∴ CAE  DAB ，
∵ ACB  90，CG  AB ，
∴ ACE  BCG  90，B  BCG  90 ，
∴ ACE  B ．
∵ CED  CAE  ACE，CDE  B  DAB ， 且CAE  DAB ，
∴ CED  CDE ，①正确；
∴ CE  CD ，
又 AE 平分CAB ， ACB  90 ， DF  AB 于 F，
∴ CD  DF ．
∵E 到 AC 与 AG 的距离相等，
∴ S AEC ∶S AEG  AC ∶AG ，③正确；
∵ CE  CD，CD  DF ，
∴ CE  DF ，⑤正确．
无法证明ADF  2FDB 以及 S△CED  S△DFB ．故答案为：①③⑤．
如图，在V ABC 中， ACB  90 ， AC  12 ， BC  5 ， AB  13 ， BP 平分ABC ，点 D 、E 分别是 BC 、
BP 上不与端点重合的动点，连接CE 、 DE ，则CE  DE 的最小值为．
【答案】 60 / 4 8
1313
【分析】在 BA 上截取线段 BF  BD ，作CG  AB ，垂足为G ，容易证明 DBE≌ FBE SAS  ，则
CE  DE  CE  FE ．由垂线段最短可得，点C 、 E 、 F 都在垂线段CG 上时， CE  DE 最小，利用三角形的面积公式求出CG 的值即可．
【详解】解：如图，在 BA 上截取线段 BF  BD ，作CG  AB ，垂足为G ，
∵ BP 平分ABC ，
∴ DBE  FBE ，在 DBE 和 FBE 中，
BD  BF

DBE  FBE ，

BE  BE
∴ DBE≌ FBE SAS  ，
∴ DE  FE ，
由垂线段最短可知，CE  FE  CG，
∴当点C 、 E 、 F 都在垂线段CG 上时，CE  FE最小，即CE  DE 最小，
∵ SV ABC
 1 AC  BC  1 AB CG ，
22
∴CG 
AC  BC  5  12  60 ，
AB1313
∴ CE  DE 的最小值为 60 ．
13
故答案为： 60 ．
13
如图，点O 在直线 AB 上， OC 平分AOF ， OD 平分BOF ， F 是 DE 上一点，连结 OF．
(1)求证： OC  OD；
(2)若1 D  90 ，求证： ED ∥ AB ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用COD  90 ，结合已知求得D  BOD ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【详解】（1）证明：∵ OC 平分AOF ， OD 平分BOF ，
∴ COF  1 AOF ， DOF  1 BOF ，
22
∴ COD  COF  DOF 1  AOF  BOF 1 180  90 ，
22
∴ OC  OD；
（2）证明：∵ COD  90 ，
∴ 1 BOD  180  COD  90 ，
∵ 1 D  90 ，
∴ D  BOD ，
∴ ED ∥ AB ．
解答下列各题
(1)【追本溯源】如图 1，P 为AOB 内部一点， PE  OA 于点 E， PF  OB 于点 F，且 PE  PF ，求证：点 P 在AOB 的平分线上；
(2)【结论应用】如图 2，在Rt△ABC 中，Ð B = 90°，点 E 在边 AB 上，DE  DC ，DF AC 于点 F，BE  FC ．
①求证： AD 平分BAC ；
②若 AB  12 ， BD  4 ， V ABC 的面积是 54，求线段 AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②15
【分析】（1）连接OP ，如图 1，根据“ HL ”可证明RtV PEO≌RtV PFO ，所以POE  POF ，从而得到结论；
（2）①先证明Rt
DBE≌Rt
DFC HL ，得到 DB  DF ，然后根据（1）的结论可判断 AD 平分BAC ；
②利用三角形面积公式得到 1 AB  BD  1 AC  DF  54 ，由于 DF  BD  4 ， AB  12 ，代入解方程即可．
22
【详解】（1）证明：连接OP ，如图 1，
∵ PE  OA 于点 E， PF  OB 于点 F，
∴ PEO  PFO  90， 在Rt△PEO 和Rt△PFO 中，
PO  PO

PE  PF ，
∴ Rt
PEO≌Rt
PFO HL ，
∴ POE  POF ，
∴点 P 在AOB 的平分线上；
（2）①证明：∵ DF AC ，
∴ DFC  90 ，
在Rt DBE 和Rt△DFC 中，
DE  DC

BE  FC ，
∴ Rt
DBE≌Rt
DFC HL ，
∴ DB  DF ，
而 DB  AB ， DF AC ，
∴ AD 平分BAC ；
②解：∵ S△ ABD  S△ ACD  S△ ABC ，
∴ 1 AB  BD  1 AC  DF  54 ，
22
∵ DF  BD  4 ， AB  12 ，
∴ 1 12  4  1 AC  4  54，
22
解得 AC  15 ．
即线段 AC 的长为 15．
如图，在V ABC 中， AD BC 于 D， AE 平分CAB ．
若C  50 ，且 EA  EC ，求B 和DAE 的度数；
若 DE  1 CE ， S△
4
ADE
 2 ， AC  4 ， AB  7 ，求V ABC 的面积．
【答案】(1) DAE  10, B  30
(2)22
【分析】（1）先推导出C  EAC  50 ， ADE  ADC  90 ，得到BEA  EAC  C 100 ，则
DAE  BEA  ADE  10 ，进而推导出BAE  EAC 50 ，根据三角形的内角和即可求出B 的度数；
（2）过点 E 作 EF  AC 于点 F， EM  AB 于点 M，先推导出 EF  EM ，求出
S ACE
 1 AD  CE  1 AD  4DE  8 ，得到 EM  EF  4 ，则
22
S S S 1 AB  EM  8  1  7  4  8  22 ，即可解答．
ABCABEACE22
【详解】（1）解： EA  EC ， AD BC
C  EAC  50 ， ADE  ADC  90 ，
BEA  EAC  C  100 ，
DAE  BEA  ADE  10 ，又∵ AE 平分CAB ，
∴ BAE  EAC 50 ，
∴ B  180  EAC  BAE  C  180  50  50  50  30 ；
（2）解：过点 E 作 EF  AC 于点 F， EM  AB 于点 M，如图
∵ AE 平分CAB ，
∴ EF  EM ，
∵ S 1 AD  DE  2, DE  1 CE ，
AED24
∴ CE  4DE ， AD  DE  4,
∴ S ACE
 1 AD  CE  1 AD  4DE  8 ，
22
∴ 1 EF  AC  8 ，即 1 EF  4  8
22
解得 EF  4 ，
∴ EM  4 ，
∴ S S S 1 AB  EM  8  1  7  4  8  22 ．
ABCABEACE22