人教A版2025-2026学年高一数学下学期期末模拟试卷及解析

这是一份人教A版2025-2026学年高一数学下学期期末模拟试卷及解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】设，则，
复数在复平面内对应的点为，位于第一限．
2． 【社会热点题】Tken是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Tken的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ）
A．2875B．5692C．8509D．16771
【答案】C
【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509.
3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件
【答案】B
【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的；
若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件，
如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”，
此时，满足，
但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同，
故与不互为对立事件，故条件是不充分的.
综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件.
4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】过作，垂足为，如下图：

由题意可得，，
由斜二测画法，还原可得下图：

易知，，，
所以原梯形面积为.
5若复数满足，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与定点的距离，
而圆心到定点的距离为4，
则的最大值为．
6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，
又，所以是等边三角形，，
设，则，作于，则，所以，
即为向量在向量上的投影向量，．
故选A．
7．【决策性问题】小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（ ）同学不用上台表演.
A．小吴：平均数为，中位数为B．小温：中位数为，众数为
C．小蔡：平均数为，方差为D．小龙：中位数为，方差为
【答案】C
【详解】若小吴的个点数分别是，满足选项A；
若小温的个点数分别是，满足选项B；
若小龙的个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D；
若小蔡的平均数为，又有点数，则个点数为，方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6，故选：C．
8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由 ,即 ，
,又 ,
,
,
因为为角的角平分线,
所以,
而,
则，又，
则,所以
化简得：
即,，当且仅当时取等号.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．是纯虚数D．若，则
【答案】BC
【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误；
对B：由，所以，，所以，B正确；
对C：因为实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确；
对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误.
10．【教材改编题】如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，四点共面
B．平面
C．与是异面直线
D．直线，，相交于一点
【答案】BCD
【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D．
【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面，
所以，，，四点不共面，故A错误；
对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且，
又平面，而平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为点，分别在棱，上，且，，
所以，且，所以，且，所以，，，四点共面，
又平面，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交，
设，又平面，平面，所以平面，且平面，
又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确．
11．【方案设计题】重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（ ）
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
【答案】ABC
【详解】对于选项A：已知，，，在中，根据正弦定理（这里为三角形的三边，为三角形的三个内角），可以求出的长度.
又因为已知，在直角中，结合已求出的和等条件，就可以求出的高度，所以选项A正确.
对于选项B：已知，，，在中，依据正弦定理可以求出的长度.
再结合已知的，在直角中就可以求出的高度，所以选项B正确.
对于选项C：过点作，连接.
根据三角函数的关系，，，
可以推导出.
由于，已知，所以可以求得的大小.
在中，已知，和，利用正弦定理可求得的长度.
在中，已知和AC，就可以求得的长度，所以选项C正确.
对于选项D：在和中，都只知道一边一角，
根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小，
也就不能求出其他角或边，从而无法求出的高度，所以选项D错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________.
【答案】
【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为，
则，故.
13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是___________________．
【答案】且
【详解】， ，若与的夹角为钝角，则，即：，又不共线，则,即：，则且
14．【情境题】如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
【答案】
【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为,
因为汤圆与碗的内壁相切，所以，
又因为三颗汤圆两两相切，所以，
设等边三角形的中心为，
因为汤圆与碗口等高，所以，
在中，，
在中，，
即，即，
所以，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知中，角，，所对的边分别为，，，且
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求边，的长.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为；
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，又，故；
（2），则，
由余弦定理可得，即，即，
则，，
故，，故.
16．（15分）
【社会热点题】中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图.
(1)求续航能力在区间内的实验次数；
(2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得，即续航能力在区间内的频率为，
所以续航能力在区间内的实验次数为次.
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里.
（3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为，
所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，
则在中的有1次实验，在中的有6次实验，
设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为，
可得
所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法，
设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”，
可得，共有6个基本事件，
所以事件的概率为
可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为.
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点.
(1)证明：.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在正中，为的中点，，
平面平面，平面平面，
且，平面，平面，
又平面，，
又，且，平面，
平面，
平面，
；
（2）如图，取的中点为，连接，，
在正中，，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
若，则，
，
由（1）知平面，，
平面，
平面，，
设点到平面的距离为，
而，
由可得，，
．
18．(17分)
【情境题】甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．
(1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值；
(2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题：
①求甲总分为1分的概率；
②求甲的总分高于乙的总分的概率.
【答案】(1)，当时，最大值为
(2)①；②．
【详解】（1）设答对文化测试的第题，
则甲恰好答对两道文化测试题的概率为：


，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即时取等号，此时最大值为；
（2）当时，
①甲通过文化测试的概率为，
则，
甲乙两人通过体育测试的概率均为，
则，
当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，
故甲总分为1的概率为：
；
②乙通过文化测试的概率为，则同理可得，
设甲总分为分，，设乙总分为分，，
，，
，
，
故甲总分高于乙总分的概率为
．
19．（17分）
【新定义题】如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”．
(1)当时，若，求的长；
(2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；
(3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：．
【答案】(1)PR=19；(2)10；(3)证明见解析
【详解】（1）因为边长为1的等边三角形，
又，，．
在中，由余弦定理，，
故PR=19．
（2）如图，设，，则，
，
，因，，
则，
．
因，则当时，取得最大值为10；
（3）如图，设△PQR为△ABC的“变换三角形”，
则，，，
于是