新高考数学二轮复习高分突破练习05 数列经典题型精练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习高分突破练习05 数列经典题型精练（2份，原卷版+解析版），共26页。
1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩．
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
【典型例题】
例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记为数列的前n项积，已知
(1)证明: 数列是等差数列；
(2)若将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 求数列的前项和;
(3)已知等比数列的首项为1，公比为若 对任意的恒成立，求的值.
例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，．
(1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，的前n项和为，求．
例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
(1)求数列的通项和数列的通项；
(2)若，求数列的前项和.
例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？
(2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．
例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【过关测试】
1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列的前项积为，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
(1)求数列的前n项和;
(2)令，求的前9项之和．
3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列的前项和为.
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.
6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．
8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．
(1)求及的通项公式；
(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．
(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．
10．（2024·广东深圳·统考一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
11．（2024·全国·校联考模拟预测）数列的前项和满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，证明：数列的前项和满足．
12．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）设整数满足，集合.从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为.例如.
(1)若，求；
(2)记.求和的整式表达式；
(3)用含，的式子来表示.
14．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
15．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
(1)求；
(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
16．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
17．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知数列满足，正项数列满足．当时，记．
(1)证明：是等比数列；
(2)求．
18．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求
19．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考开学考试）已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；
(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.
20．（2024·四川德阳·统考模拟预测）（）.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
21．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足.规定，.
(1)试证明：；
(2)求数列的通项公式；
(3)试证明：时，.
22．（2024·山西吕梁·统考一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
23．（2024·河北·高三校联考期末）设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，设，记为数列的前项和，证明：．
24．（2024·山东·高三校联考开学考试）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
25．（2024·山东德州·高三统考开学考试）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
26．（2024·天津·高三校联考期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
27．（2024·江西·高三校联考开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．
28．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知正项等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和.