新高考数学二轮复习专题巩固练习模块五 数列（测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习模块五 数列（测试）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了已知数列的前项和为，，，则，已知等比数列的前项和为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的公比为，则，从而，
则，
故选：D.
2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，
反之成立，不一定有数列是等差数列.
故选：A.
3．已知，均为等差数列，且，，则数列的前9项和为（ ）
A．45B．50C．54D．60
【答案】C
【解析】因，均为等差数列，且，，可得的公差为，
则，
而的前9项和为
.
故选：C.
4．若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（ ）
A．39700B．39800C．39900D．40000
【答案】A
【解析】设，由，得，则，
故
．
故选：A
5．已知等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【解析】根据题意，等比数列的前n项积为，
则，所以.
故选：B．
6．已知等比数列的各项均为正数，且，记，则使得的最小正整数的值为（ ）
A．25B．26C．27D．28
【答案】C
【解析】由，所以，
所以或
又，所以0，又，所以，
所以，
则使得的最小正整数的值为27.
故选:C.
7．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】D
【解析】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，令，则，
而，所以，即数列单调递减，故，
所以，所以的最小值为.
故选：D.
8．已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
令，，得，可得，
所以，得，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故，，所以，
所以的前30项的和为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由，，可得
，故A正确；B错误；
对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列，
则，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】设等比数列的公比为，因为，
所以，解得或，
所以或.
对于A选项，在等比数列中，，又，所以，所以A选项正确；
对于B选项，若，则数列递增，，即，所以，所以B选项正确；
对于C选项，若，则数列递减，，即，所以，所以C选项不正确；
对于D选项，若，则数列递减，，又，
所以，所以D选项正确，
故选：ABD.
11．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的
B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的
D．若，则数列是有界的
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为，所以，所以存在正数，
使得恒成立，所以数列是有界的，故A错误；
对于选项B：因为，所以，
所以
，
所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故B正确；
对于选项C：因为，所以当时，；
当时，；所以，
所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故C正确；
对于选项D：因为，
所以，
又，所以，
所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知递增的等比数列满足，，则的前3项和 ．
【答案】21
【解析】因为是等比数列，
所以．又，
所以或（舍去），
则的公比，，
从而．
故答案为：21
13．欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，
则，
当时，，
则.
故答案为：
14．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得.给出如下4个结论：
①可能为等差数列；
②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，总存在，使得.
其中正确命题的序号是 .
【答案】①③
【解析】对于①，取等差数列，易验证其满足要求，①正确.
对于②，若为等比数列，设公比为，显然不满足要求，
考虑的情况，依题意，应有，
即
，
两式相除，得.
若，则取为奇数，那么，所以，
所以.
当足够大时，显然不成立；
若，则，
因为，所以当足够大时，
可以使，故也不成立.从而知②错误；
对于选项③，取，则 ，所以，
当时，，故③正确.
对于选项④， 取数列， 显然不存在，使得，故④错误.
故答案为：①③
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，
得，∵是由正数组成的等比数列，则，，
则，解得或（舍），又，所以，
解得，所以
（2），
所以
16．（15分）
已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为.
（3）因为，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以.
17．（15分）
已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，则由，
即，得 ，
解得 或，因为，故舍去，
所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令数列的前项和为，则，
即①，
②，
两式相减得：
，
所以.
（3）设数列的前项和为
由，，得，
则，即；
故

.
18．（17分）
已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)设，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，
当时，，解得；
由，得，
所以，整理得，
所以，所以，
所以，所以，所以是等差数列，
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，
又，所以是递增数列.
当时，若对任意的恒成立，则；
当时，若对任意的恒成立，则，即，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，假设存在正整数，使得成等差数列，
则，即，其中，故，即.
设，则，
故数列为递减数列，而，故的正整数解为，
此时，故即，由的单调性可得，
所以符合条件的数组为2,3.
19．（17分）
集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”.
(1)若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）;
(2)若数列满足：.
（i）证明：数列为等比数列，并求出;
（ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合.
【解析】（1），（满足要求即可）
（2）（ⅰ）．
是以6为首项，2为公比的等比数列，
即．
两边同除以，有．而．
因此是以为首项，为公比的等比数列，则．
（ⅱ）当时，不是9的倍数
当时，
故只需为整数．
①时，，不是整数．
②时，，不是整数．
③时，．
而．
当为偶数，，即．
此时．
当为奇数，．
综上，满足条件集合是的子集．