新高考数学二轮复习专题巩固练习模块六 立体几何与空间向量（测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习模块六 立体几何与空间向量（测试）（2份，原卷版+解析版），共11页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，，则或或直线和平面相交（包含），充分性不成立；
若，，则，必要性成立.
所以”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
所以.
故选：D.
3．如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图为圆柱的截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，
因为平行于地面，故，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和22，
故，
在中，，即圆柱的底面半径为，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(22+10)的圆柱体积的一半，
即为.
故选：C
4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】由及A，B，C，D四点共面得：，
即，又，，
所以，当且仅当时等号成立，
故选：B
5．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，点在圆锥的中截面圆上，它到平面距离的最大值即为该截面圆半径，
而的面积，
所以三棱锥体积的最大值为.
故选：C
6．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】延长交于点，连接，
则∽，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又四边形为平行四边形，
所以∽，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B
7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．πD．
【答案】A
【解析】球心为正方体中心，半径，
法一：连接，相交于点，点为的中点，连接，
可得，因为平面，平面，
所以平面，在上，
则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
，，
由平面、得：，
则截面圆半径，
所以截面面积；
法二：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，A2,0,0，，
，，，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
，令，则，
所以，
则到平面的距离，
截面圆半径，所以截面面积.
故选：A．
8．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，
由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长.
因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且，
，即，解得.
∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，，正确；
对于选项B，，错误；
对于选项C，，错误；
对于选项D，易得为正三角形，
故，正确；
故选：AD．
10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．点与平面的距离为
【答案】ABD
【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
故，
故，所以，
故，A正确；
B选项，因为，，所以四边形为平行四边形，
故，
又平面，平面，故平面，B正确；
C选项，平面的一个法向量为，
又，故
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角不为，C错误；
D选项，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，故，
故点与平面的距离为，D正确.
故选：ABD
11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（ ）
A．
B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为
D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为
【答案】ABD
【解析】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，，
则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确；
对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确；
对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面，
所以，到截面距离为，故C错误；
对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，
故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 .
【答案】
【解析】
如图，点分别为上下底面的中心，连接，
在正四棱台中，有平面，又平面，所以平面平面，
在平面内，过点作于点，又平面平面，所以平面，
所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角的平面角，
又侧棱与底面所成角为45°，所以，
因为上底面边长为，下底面边长为，所以，，
则，，所以，则四棱台的高为，
所以该正四棱台的体积为.
故答案为：.
13．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．

【答案】
【解析】如图，平面与水面的夹角为，
则平面与水平桌面的夹角为．
由题意可得三棱柱的体积为，
所以，解得，
所以．
水面距离桌面的高度为．
故答案为：.
14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .

【答案】
【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，设，，
所以，
，
因为平面，
所以，
故，
，故，
其中，
故，
故当时，，此时满足要求，
所以线段PQ的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点.
(1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）；
(2)证明：平面；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）、、三个不共线的点确定平面，显然平面，
所以、、、四点不共面. （3分）
（2）如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，故
又平面的法向量为
所以，故.
又平面，故平面. （8分）
（3）由（2）可知，
又，，故，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为. （13分）
16．（15分）
如图，四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且，点在线段上，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）设，则，取中点，中点为，
则，平面平面，平面，
平面平面，所以平面，
而，所以，
则以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，（3分）
则
因,则 ，
于是，，
则，
即 平面，
所以平面；（7分）
（2）,
设是平面的一个法向量，
则令，则，（9分）
设是平面的一个法向量，
则令，则，（12分）
设平面与平面的夹角为，
，
平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为. （15分）
17．（15分）
如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点.
(1)证明:平面；
(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面为平行四边形，且，
所以为菱形，所以.
又，，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以. （3分）
在和中：
（）.
所以.
又为中点，所以.
又，平面，且，
所以平面. （6分）
（2）由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系：
因为，，，
所以，，.
所以，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，（10分）
取，得.
所以，，.
设直线与平面所成的角为，
则. （15分）
18．（17分）
在空间直角坐标系中，点分别在轴上.
(1)证明：是锐角三角形；
(2)已知.
①求面积的最大值；
②设二面角的大小分别为，证明：.
【解析】（1）设点，
则，
在中，由余弦定理，
，
所以A是锐角，同理B、C也是锐角，故是锐角三角形，命题得证；（4分）
（2）①仍采用（1）中的设点，且不妨设，由题意，，
由（1），，
则，
，
不妨设是中最小的数，则，由基本不等式，
，（5分）
令，
则，
令，
解得或（舍去）或（舍去），（7分）
故当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
所以，
故，即面积的最大值为．（9分）
②仍采用①中的设点，
先求：显然平面BCO的一个法向量，
设平面ABC的一个法向量，
又，则，
令，解得，故，
，
同理得，，（13分）
故有，
要证，即等价于证：
------①．
事实上，有，
即，
则①式得证，故，
取等当且仅当，命题得证．（17分）
19．（17分）
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为．在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点．在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧．
(1)当时，求的长度．
(2)（i）在图二中，当时，若点，，，将半圆均分成7等份，求；
（ii）证明：．
【解析】（1）如图1，取的中点，过点作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交于点，交的延长线于点，与交于点．
因为，，所以，．
过点作的垂线，交圆于，两点，过点作交于点，又圆面，圆面，所以． （4分）
又因为，所以平面．
因为平面，所以，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，即为椭圆面与底面所成的角，所以，则为等腰直角三角形，．
设，如图2，作圆所在平面的俯视图，则，
由，，得，则，得，
所以，当时，．（7分）
（2）（i）当时，，则，，，则． （9分）
（ii）由（1）知，即是关于的函数，即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，如图3所示．
如图4，将，，，，绘制于函数的图象上，并以，为边作矩形，则矩形的面积即为，所以即为这些矩形的面积之和． （12分）
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面积为，
所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积为． （15分）
又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上，这些矩形的面积之和都小于函数图象与坐标轴围成的图形的面积，所以，得证. （17分）