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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第14讲拓展七：极值点偏移问题(高频精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第14讲拓展七：极值点偏移问题(高频精讲)(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了极值点偏移的含义，极值点偏移问题的一般解法，极值点偏移问题的类型等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22660" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22660 \h 2
\l "_Tc9854" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc9854 \h 3
\l "_Tc7822" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7822 \h 6
\l "_Tc28186" 高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc28186 \h 6
\l "_Tc32560" 方法一：对称化构造法 PAGEREF _Tc32560 \h 6
\l "_Tc6130" 方法二：利用韦达定理代换法令 PAGEREF _Tc6130 \h 13
\l "_Tc18444" 方法三：比值代换法 PAGEREF _Tc18444 \h 20
\l "_Tc27978" 高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27978 \h 27
\l "_Tc11998" 高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc11998 \h 34
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第一部分：知识点必背
1、极值点偏移的含义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；
①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，证明：．
例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;
(2)当时，存在实数，使得，求证：．
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若函数在上恒成立，求的取值范围；
(2)若是函数的两个零点，证明：.
3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，若函数有两个零点．
①证明：；
②证明：．
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．
第14讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22660" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22660 \h 2
\l "_Tc9854" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc9854 \h 3
\l "_Tc7822" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7822 \h 6
\l "_Tc28186" 高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc28186 \h 6
\l "_Tc32560" 方法一：对称化构造法 PAGEREF _Tc32560 \h 6
\l "_Tc6130" 方法二：利用韦达定理代换法令 PAGEREF _Tc6130 \h 13
\l "_Tc18444" 方法三：比值代换法 PAGEREF _Tc18444 \h 20
\l "_Tc27978" 高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27978 \h 27
\l "_Tc11998" 高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc11998 \h 34
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第一部分：知识点必背
1、极值点偏移的含义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；
①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【详解】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以.
当，即时，的零点个数为0.
当，即时，的零点个数为1.
当，即时，
注意到，.
下面证明.
设，所以，
由解得；由解得.
则在单调递增，单调递减，
所以，即.
所以，所以.
因此，，，使得，所以此时的零点个数为2.
综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
（2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.
令，，则.
当时，，所以在区间上单调递增，
所以.
所以.因为，所以.
又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故.
（证法二）由，得
则.
由对数平均不等式，得，
所以，
所以.又，所以.
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，
由为定义域上的增函数可得恒成立.
则由得，
令，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
故,
则有 解得.
故a的取值范围为
（2）
由有
有
即
即.
令
由可得当时，单调递增；
当时，单调递减；则，
即，
解得或(负值舍去)，
故.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，
所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域是.
当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
．
（2），
因为为的两个零点，
所以，不妨设．
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又证明等价于证明，
又因为在上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明，即要证明，
即要证明，
即恒成立．
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，
即在时恒成立，
因此不等式恒成立，
即．
方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1），其中
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值.
若，当时，；
当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值.
（2）方程即为，
故，
因为为上的增函数，所以
所以关于的方程有两个不等的实数根即为：
有两个不同的实数根.
所以，所以，
不妨设，，故，
要证：即证，
即证，即证，
即证，
设，则，
故，所以在上为增函数，
故，所以在上为增函数，
所以，故成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）解：当时，，，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：当时，，该函数的定义域为.
.
当时，由可得或.
（i）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为；
（ii）当时，，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增；
（iii）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）证明：，则，
令，则.
当时，由可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
下面证明不等式，其中，即证，
令，即证对任意的恒成立，
构造函数，其中，
则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，
当时，，所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，
则，即，故原不等式得证.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在，上单调递增
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
又，，
令，得，
当时，时，，所以在单调递增；
当时，方程的，
①当时，，则，所以在单调递增；
②当时，，令，得，，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，
在，上单调递增；
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在，上单调递增；
（2）由（1）得，若有两个极值点，，
则，且，，即，；
故
，，
令，
则，所以在上单调递减；
即，故，
综上所述：的取值范围为：.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）根据已知得，定义域为，
则，
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，由，得或，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上：时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由已知得，定义域为，
从而.
当，即时，恒成立，函数不可能有两个极值点；
当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意；
当时，有两个根，因为，且，
所以两根均为正数，故有两个极值点，
因为，由知，
因为，
所以等价于，
即，
令，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
故成立.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【详解】（1）∵，
，当时，，，在定义域上单调递增；
当时，在定义域上，
时，在定义域上单调递增；
当时，令得，，
，时，；时，
则在，上单调递增，在上单调递减.
综上可知：当时，在定义域上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）
（2）由（1）知有两个极值点，则，
的二根为，
则，，
，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)函数的定义域为，，
因在定义域内有两个极值点，则有二不等的正实根，
从而得，解得，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，而，则，
，
令，则，，
从而得在上单调递增，即有，的值域是，
所以的范围是.
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．
【详解】（1）因为，，
①当时，因为，所以，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；，
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；
④当，即时，，，函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，.
（2）要证，只需证：，
若有两个极值点，即函数有两个零点，又，
所以是方程的两个不同实根，
即，解得，
另一方面，由，得，
从而可得，
于是．不妨设，
设，则．因此，．
要证，即证：，
即当时，有，
设函数，则，
所以为上的增函数．注意到，，因此，．
于是，当时，有．
所以成立，．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
(2)，（），
时，递增，时，，递减，
时，，
存在使得，则，令，，
，令，
则，在上单调递增，，，
，，.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
【答案】(1)函数的极小值为1，无极大值；
(2)见解析.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值，
且极小值为；
（2）()，
，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以，则.
又函数在上有2个零点，
所以，解得.
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，
所以，
又，，
两式相减，得，设，
要证，只需证，
即证，即证，
令，则，
设，则，
所以函数在上单调递增，有，
即在上恒成立，所以.
综上，.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，令可得，列表如下：
且当时，，作出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
（2）解：由已知可得，可得，
由可得，要证，即证，
即证，即证，
由题意可知，令，即证，
构造函数，其中，即证，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）的定义域为，且，
则，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减.
综上可知：当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是.
（2）由，，，
由于，所以.设，
故：
，
令，则，
由于，故，则在上单调递增，
故，
即：所证不等式成立.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
【答案】（1）最大值为；（2）证明见解析.
【详解】解：
（1）解：当时，
所以．
注意，且当时，，单调递增；
当时，，单调递增减．
所以的最大值为．
（2）证明：由题知，，
即，，
可得．
．
不妨，则上式进一步等价于．
令，则只需证．
设，，
所以在上单调递增，
从而，即，
故原不等式得证．
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【详解】（1）依题意得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又，当且仅当时取“=”，所以．
（2）由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．
当时，令，
得，则，所以其两根为，
由韦达定理得，
又∵，∴，满足条件，
令，则，
∴，∴，
要证只需证，
即证，即证，即，
令，即证，
令，，
则，
所以在单增，，
故结论得证．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，所以．因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
（2）因为且，
所以．（*）
因为，，所以，
令得；函数单调递增；
令得，函数单调递减；所以．
令，，则，等号不恒成立，所以函数在上单调递增，
于是由（*）可得，即．
要证，即证，即证．
不妨设，则上式等价于，即．
令，则，
所以，
所以在上单调递减，所以，即，故原命题得证．
即成立.
例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;
(2)当时，存在实数，使得，求证：．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【详解】（1），，，求导得，
当时，，函数在上单调递增，要在上没有零点，而，
则必有，解得，因此；
当时，由得，当，即时，，函数在上单调递减，
于是，即函数在上没有零点，因此；
当，即时，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，解得，因此，
综上得或，
所以实数a的取值范围是或.
（2），由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
不妨令，由得：，
因为函数在上递减，要证，即证，
只证，就证，
令，，求导得，
函数在上单调递减，，即，因此，
所以.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.
【答案】(1)，单调递减；时，单调递增
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
（2），则，
由题意，知有两解，，不妨设，
要证，即证，
①若，则；
②若，由知，在上单调递减，在上单调递增，也有，
综合①②知，，所以只需证（*）.
又，，
∴两式相减，整理得，代入（*）式，
得，即.
令，即证.
令，则，
∴在其定义域上为增函数，∴，∴成立.
（3）由（2）知，，故，，
取，，所以，，
累加，得.
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若函数在上恒成立，求的取值范围；
(2)若是函数的两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则
当时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则.
若函数在上恒成立，则，则的取值范围是.
（2），
是的两个零点，
故，两式相减得.
要证，只需证，
即证，即证，
即证，即证成立，即证成立.
不妨设，则，故只需证，
令，则，设，
则在时恒成立，
则，故，即成立，
则不等式成立.
3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，若函数有两个零点．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)有极小值，无极大值
(2)①证明见详解；②证明见详解
【详解】（1）由题意可得：，
∵在上单调递增，且，
∴当时，，当时，，
即当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
可得有极小值，无极大值.
（2）若函数有两个零点，则，解得，
当时，则，
结合的单调性可知：在，内均只有一个零点，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递增，
①令，则等价于，等价于，等价于，
∵在上单调递增，则，
即，故.
②若函数有两个零点，令，即，
则，可得，
故，
由，则，
∵在上单调递增，则，即，
∴当时恒成立，
又∵在上单调递减，且，
∴，即，
故.
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），在上增函数等价于对恒成立.
即，设，，
，故
（2）由
，由为两个极值点不妨设
则两式相减得
要证明：等价于证明
即两边同除
等价于证明：，设
即，
设，
由（1）可知：当时，恒成立，成立，
即，∴
∴在单调递减，∴
故成立.
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．
【答案】（1）增区间为，；减区间为；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：，
令，得，．
当或时，；当时，．
增区间为，；减区间为；
（2）证明：，是函数的一个零点，不妨设，
则要证，只需证．
由，得，
，是方程的两个实根，
，①
，②，
①②得：，
代入，只需证，不妨设．
，只需证．
，只需证．
设，则等价于．
设，只需证，
又，设，
则，在上单调递增，则．
，从而在上是增函数，
．
综上所述，．
增
极大值
减
0
－
0
+
极小值
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22660" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22660 \h 2
\l "_Tc9854" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc9854 \h 3
\l "_Tc7822" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7822 \h 6
\l "_Tc28186" 高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc28186 \h 6
\l "_Tc32560" 方法一：对称化构造法 PAGEREF _Tc32560 \h 6
\l "_Tc6130" 方法二：利用韦达定理代换法令 PAGEREF _Tc6130 \h 13
\l "_Tc18444" 方法三：比值代换法 PAGEREF _Tc18444 \h 20
\l "_Tc27978" 高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27978 \h 27
\l "_Tc11998" 高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc11998 \h 34
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第一部分：知识点必背
1、极值点偏移的含义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；
①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，证明：．
例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;
(2)当时，存在实数，使得，求证：．
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若函数在上恒成立，求的取值范围；
(2)若是函数的两个零点，证明：.
3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，若函数有两个零点．
①证明：；
②证明：．
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．
第14讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22660" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22660 \h 2
\l "_Tc9854" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc9854 \h 3
\l "_Tc7822" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7822 \h 6
\l "_Tc28186" 高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc28186 \h 6
\l "_Tc32560" 方法一：对称化构造法 PAGEREF _Tc32560 \h 6
\l "_Tc6130" 方法二：利用韦达定理代换法令 PAGEREF _Tc6130 \h 13
\l "_Tc18444" 方法三：比值代换法 PAGEREF _Tc18444 \h 20
\l "_Tc27978" 高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27978 \h 27
\l "_Tc11998" 高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc11998 \h 34
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第一部分：知识点必背
1、极值点偏移的含义
函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；
①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【详解】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以.
当，即时，的零点个数为0.
当，即时，的零点个数为1.
当，即时，
注意到，.
下面证明.
设，所以，
由解得；由解得.
则在单调递增，单调递减，
所以，即.
所以，所以.
因此，，，使得，所以此时的零点个数为2.
综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.
（2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.
令，，则.
当时，，所以在区间上单调递增，
所以.
所以.因为，所以.
又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故.
（证法二）由，得
则.
由对数平均不等式，得，
所以，
所以.又，所以.
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，
由为定义域上的增函数可得恒成立.
则由得，
令，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
故,
则有 解得.
故a的取值范围为
（2）
由有
有
即
即.
令
由可得当时，单调递增；
当时，单调递减；则，
即，
解得或(负值舍去)，
故.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【详解】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，
所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域是.
当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
．
（2），
因为为的两个零点，
所以，不妨设．
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又证明等价于证明，
又因为在上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明，即要证明，
即要证明，
即恒成立．
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，
即在时恒成立，
因此不等式恒成立，
即．
方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1），其中
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值.
若，当时，；
当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值.
（2）方程即为，
故，
因为为上的增函数，所以
所以关于的方程有两个不等的实数根即为：
有两个不同的实数根.
所以，所以，
不妨设，，故，
要证：即证，
即证，即证，
即证，
设，则，
故，所以在上为增函数，
故，所以在上为增函数，
所以，故成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）解：当时，，，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：当时，，该函数的定义域为.
.
当时，由可得或.
（i）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为；
（ii）当时，，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增；
（iii）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）证明：，则，
令，则.
当时，由可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
下面证明不等式，其中，即证，
令，即证对任意的恒成立，
构造函数，其中，
则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，
当时，，所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，
则，即，故原不等式得证.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在，上单调递增
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
又，，
令，得，
当时，时，，所以在单调递增；
当时，方程的，
①当时，，则，所以在单调递增；
②当时，，令，得，，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，
在，上单调递增；
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在，上单调递增；
（2）由（1）得，若有两个极值点，，
则，且，，即，；
故
，，
令，
则，所以在上单调递减；
即，故，
综上所述：的取值范围为：.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）根据已知得，定义域为，
则，
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，由，得或，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，由，得或；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上：时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由已知得，定义域为，
从而.
当，即时，恒成立，函数不可能有两个极值点；
当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意；
当时，有两个根，因为，且，
所以两根均为正数，故有两个极值点，
因为，由知，
因为，
所以等价于，
即，
令，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
故成立.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【详解】（1）∵，
，当时，，，在定义域上单调递增；
当时，在定义域上，
时，在定义域上单调递增；
当时，令得，，
，时，；时，
则在，上单调递增，在上单调递减.
综上可知：当时，在定义域上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）
（2）由（1）知有两个极值点，则，
的二根为，
则，，
，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)函数的定义域为，，
因在定义域内有两个极值点，则有二不等的正实根，
从而得，解得，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，而，则，
，
令，则，，
从而得在上单调递增，即有，的值域是，
所以的范围是.
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，求证：
【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．
【详解】（1）因为，，
①当时，因为，所以，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；，
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；
④当，即时，，，函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，.
（2）要证，只需证：，
若有两个极值点，即函数有两个零点，又，
所以是方程的两个不同实根，
即，解得，
另一方面，由，得，
从而可得，
于是．不妨设，
设，则．因此，．
要证，即证：，
即当时，有，
设函数，则，
所以为上的增函数．注意到，，因此，．
于是，当时，有．
所以成立，．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
(2)，（），
时，递增，时，，递减，
时，，
存在使得，则，令，，
，令，
则，在上单调递增，，，
，，.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
【答案】(1)函数的极小值为1，无极大值；
(2)见解析.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值，
且极小值为；
（2）()，
，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以，则.
又函数在上有2个零点，
所以，解得.
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，
所以，
又，，
两式相减，得，设，
要证，只需证，
即证，即证，
令，则，
设，则，
所以函数在上单调递增，有，
即在上恒成立，所以.
综上，.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，令可得，列表如下：
且当时，，作出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
（2）解：由已知可得，可得，
由可得，要证，即证，
即证，即证，
由题意可知，令，即证，
构造函数，其中，即证，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：.
【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）的定义域为，且，
则，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减.
综上可知：当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是.
（2）由，，，
由于，所以.设，
故：
，
令，则，
由于，故，则在上单调递增，
故，
即：所证不等式成立.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的零点，，求证：.
【答案】（1）最大值为；（2）证明见解析.
【详解】解：
（1）解：当时，
所以．
注意，且当时，，单调递增；
当时，，单调递增减．
所以的最大值为．
（2）证明：由题知，，
即，，
可得．
．
不妨，则上式进一步等价于．
令，则只需证．
设，，
所以在上单调递增，
从而，即，
故原不等式得证．
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【详解】（1）依题意得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又，当且仅当时取“=”，所以．
（2）由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．
当时，令，
得，则，所以其两根为，
由韦达定理得，
又∵，∴，满足条件，
令，则，
∴，∴，
要证只需证，
即证，即证，即，
令，即证，
令，，
则，
所以在单增，，
故结论得证．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，当时，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，所以．因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
（2）因为且，
所以．（*）
因为，，所以，
令得；函数单调递增；
令得，函数单调递减；所以．
令，，则，等号不恒成立，所以函数在上单调递增，
于是由（*）可得，即．
要证，即证，即证．
不妨设，则上式等价于，即．
令，则，
所以，
所以在上单调递减，所以，即，故原命题得证．
即成立.
例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;
(2)当时，存在实数，使得，求证：．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【详解】（1），，，求导得，
当时，，函数在上单调递增，要在上没有零点，而，
则必有，解得，因此；
当时，由得，当，即时，，函数在上单调递减，
于是，即函数在上没有零点，因此；
当，即时，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，解得，因此，
综上得或，
所以实数a的取值范围是或.
（2），由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
不妨令，由得：，
因为函数在上递减，要证，即证，
只证，就证，
令，，求导得，
函数在上单调递减，，即，因此，
所以.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.
【答案】(1)，单调递减；时，单调递增
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
（2），则，
由题意，知有两解，，不妨设，
要证，即证，
①若，则；
②若，由知，在上单调递减，在上单调递增，也有，
综合①②知，，所以只需证（*）.
又，，
∴两式相减，整理得，代入（*）式，
得，即.
令，即证.
令，则，
∴在其定义域上为增函数，∴，∴成立.
（3）由（2）知，，故，，
取，，所以，，
累加，得.
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若函数在上恒成立，求的取值范围；
(2)若是函数的两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则
当时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则.
若函数在上恒成立，则，则的取值范围是.
（2），
是的两个零点，
故，两式相减得.
要证，只需证，
即证，即证，
即证，即证成立，即证成立.
不妨设，则，故只需证，
令，则，设，
则在时恒成立，
则，故，即成立，
则不等式成立.
3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，若函数有两个零点．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)有极小值，无极大值
(2)①证明见详解；②证明见详解
【详解】（1）由题意可得：，
∵在上单调递增，且，
∴当时，，当时，，
即当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
可得有极小值，无极大值.
（2）若函数有两个零点，则，解得，
当时，则，
结合的单调性可知：在，内均只有一个零点，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递增，
①令，则等价于，等价于，等价于，
∵在上单调递增，则，
即，故.
②若函数有两个零点，令，即，
则，可得，
故，
由，则，
∵在上单调递增，则，即，
∴当时恒成立，
又∵在上单调递减，且，
∴，即，
故.
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），在上增函数等价于对恒成立.
即，设，，
，故
（2）由
，由为两个极值点不妨设
则两式相减得
要证明：等价于证明
即两边同除
等价于证明：，设
即，
设，
由（1）可知：当时，恒成立，成立，
即，∴
∴在单调递减，∴
故成立.
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．
【答案】（1）增区间为，；减区间为；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：，
令，得，．
当或时，；当时，．
增区间为，；减区间为；
（2）证明：，是函数的一个零点，不妨设，
则要证，只需证．
由，得，
，是方程的两个实根，
，①
，②，
①②得：，
代入，只需证，不妨设．
，只需证．
，只需证．
设，则等价于．
设，只需证，
又，设，
则，在上单调递增，则．
，从而在上是增函数，
．
综上所述，．
增
极大值
减
0
－
0
+
极小值
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