新高考数学二轮复习专项训练28 定点、定值问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练28 定点、定值问题（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、定点问题
求解定点问题常用的方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．
二、定值问题
求圆锥曲线中定值问题常用的方法
(1)引出变量法：其解题流程为
eq \x(变量)→eq \x(选择适当的量为变量)
↓
eq \x(函数)→eq \x(把要证明为定值的量表示成上述变量的函数)
↓
eq \x(定值)→eq \x(把得到的函数化简，消去变量得到定值)
(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
一、单选题
1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（ ）
A．B．椭圆过个定点
C．存在实数，使得D．
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 .
6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为 ， .
四、解答题
7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论：
①当四边形为正方形时，点的坐标为
②的取值范围为
③当为等边三角形时，点坐标为
④直线恒过定点
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（ ）
A．6B．C．4D．
4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.
②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.
A．①真②真B．①假②真
C．①真②假D．①假②假
二、多选题
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（ ）
A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
B．若，则的面积为
C．若直线过点，则的最小值为
D．若，则直线恒过定点
6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，则最小值为7
B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则
C．若点，在双曲线的上支，则最小值为
D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条
7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B．为定值4
C．为定值
D．有最小值
8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若的面积为，则点的横坐标为
C．存在点满足D．直线与直线的斜率之积为
三、填空题
9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ．
11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 .
12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ．
四、解答题
13．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点的坐标.
(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.
15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线的右焦点，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题
3．（2023·安徽·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若、、三点共线，则的最小值为
B．若，则的面积为
C．若，则直线过定点
D．若，过的中点作于点，则的最小值为
4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
三、填空题
5．（2023·辽宁大连·三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为 .点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为 .
6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则 ；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为 ．
四、解答题
7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.