新高考数学二轮专题重难点突破训练37 圆锥曲线中的定点、定值问题（十二大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点突破训练37 圆锥曲线中的定点、定值问题（十二大题型）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮专题重难点突破训练31圆锥曲线中的向量与共线问题五大题型原卷版docx、新高考数学二轮专题重难点突破训练31圆锥曲线中的向量与共线问题五大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc176678746" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176678746 \h 2
\l "_Tc176678747" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176678747 \h 3
\l "_Tc176678748" 题型一：面积定值 PAGEREF _Tc176678748 \h 3
\l "_Tc176678749" 题型二：向量数量积定值 PAGEREF _Tc176678749 \h 11
\l "_Tc176678750" 题型三：斜率和定值 PAGEREF _Tc176678750 \h 18
\l "_Tc176678751" 题型四：斜率积定值 PAGEREF _Tc176678751 \h 23
\l "_Tc176678752" 题型五：斜率比定值 PAGEREF _Tc176678752 \h 29
\l "_Tc176678753" 题型六：斜率差定值 PAGEREF _Tc176678753 \h 37
\l "_Tc176678754" 题型七：线段定值 PAGEREF _Tc176678754 \h 44
\l "_Tc176678755" 题型八：坐标定值 PAGEREF _Tc176678755 \h 52
\l "_Tc176678756" 题型九：角度定值 PAGEREF _Tc176678756 \h 57
\l "_Tc176678757" 题型十：直线过定点 PAGEREF _Tc176678757 \h 63
\l "_Tc176678758" 题型十一：动点在定直线上 PAGEREF _Tc176678758 \h 68
\l "_Tc176678759" 题型十二：圆过定点 PAGEREF _Tc176678759 \h 76
\l "_Tc176678760" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176678760 \h 82
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
题型一：面积定值
【典例1-1】如图所示，已知椭圆，A，B是四条直线，所围成的矩形的两个顶点．若M，N是椭圆C上的两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】是，理由如下，
如图所示，由仿射变换得椭圆，变为圆．
点A，B，M，N变换后对应的点分别为，，，，且，．
从而，
∵，∴，即，
于是，故．
即的面积为定值1．
【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.
(1)求的轨迹方程；
(2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
①若，求的值；
②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.
【解析】（1）设垂线段中点坐标为，则抛物线上点坐标为，
代入抛物线方程，则，即，
所以的轨迹方程：.
（2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
设，
则抛物线上过点的切线方程为，
将切线方程与抛物线方程联立，得：
联立，消去，整理得，
所以，
从而有，
所以抛物线上过点的切线方程为，
同理可得抛物线上过点的切线方程分别为，
两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为：
，
则，
同理可得，即，
当时，，故，即，
因此.
②易知，则直线的方程为，
化简得即，
且，
点到直线的距离为：
，
则三角形的面积．
由（2）①知切线的方程为，
，
可知，
点到直线的距离为
，
则外切三角形的面积．
故．
因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2．
【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
【解析】（1）根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值.
此时.
所以，则求椭圆的方程.
（2）如图所示，设，
联立直线与椭圆的方程得，
.
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．
【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.
（i）证明：；
（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设曲线上任意一点坐标为，则由题意可知：
，
故曲线的方程为.
（2）(i)设直线：，Mx1,y1，Nx2,y2，
其中且，
，
故，；
直线：，当时，，故，
同理，为中点，
故；
；（*）
；
故，即，则，
直线的方向向量，，故.
(ii)法一：；（**）
故；，
又，故.
；
；
，
，
由（*）知，由（**）知，
故，
故，则.
法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，，同理，
故，
又，故，
又，
且由（*）知，记直线与轴相交于点，
由可得，即，即，
故；
又为的中点，故，即.
【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.
(1)求动点的轨迹的方程.
(2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）设Px,y，，
由题意可得：，整理得，
故求动点的轨迹方程为.
（2）由题意可知：，且，可得，
显然直线MN的斜率不为0，设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立方程，消去x得，
则，，可得，
则，
整理可得，
则，
因为，则，可得，
整理可得，
所以直线方程为，即直线过定点，
则，
此时，，
所以为定值.
题型二：向量数量积定值
【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
【解析】（1）联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为，
两条对角线长分别为、，则，所以，，
所以，椭圆的方程可表示为，、
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，则，，
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线与轴重合时，则、为椭圆长轴的顶点，不妨设、，
则，，此时；
易知点，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，，
.
综上所述，.
【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
设Px,y，则，，
由题意可得，，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）由（1）可知C：
假设存在常数n，使（常数），
设直线l：，代入C，整理得，
设，
则，
所以
整理化简得：对恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【解析】（1）由题设，，得，
椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，联立，
消去得，其中是直线与椭圆一个交点，
所以，则，代入直线得，故.
又，将代入，得，则.
所以，为定值.
【变式2-4】已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，
（ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值；
（ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程.
【解析】（1）以为圆心，为半径的圆经过点，，即，
，，，，
椭圆的方程为：.
（2）（ⅰ）由（1）得：，可设，，
由得：，即；
由得：，
，，
，，；
在中，由正弦定理得：，
，，
则由得：，
，，即，
，，
，解得：或.
（ⅱ）由题意知：圆方程为：；，；
不妨令位于第一象限，可设，
由（ⅰ）知：，
若直线斜率存在，则，直线，
由得：，，
设，则，
；
当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；
当时，不为定值，不合题意；
若直线斜率不存在，则，，，
此时，则直线，设，
则，，，
则时，，满足题意；
综上所述：点在定直线上.
题型三：斜率和定值
【典例3-1】已知椭圆与双曲线的离心率的平方和为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与椭圆和双曲线分别交于点，，，，在轴上是否存在一点，直线，，，的斜率分别为，，，，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知得，即，∴，∴；
（2）由（1）得椭圆与双曲线，
由已知得直线的斜率不为零，设直线的方程为，
Ax1,y1，Bx2,y2，，，，
将直线与椭圆联立 得，
，，，
.
将直线与双曲线联立 得，
由得，又,
而，，
.
当时，为定值.
故在轴上是存在一点，使得为定值0.
【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
【解析】（1）由题焦距，解得，
由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）是定值.
已知，设，
直线的方程为，即，
代入并整理，得，
，
.
，
三点共线，且与同向，
，
同理可得
，化简得，
，
所以为定值0.
【变式3-1】椭圆：（）的左焦点为，且椭圆经过点，直线（）与交于，两点（异于点）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.
【解析】（1）
由题意得：，则，
故椭圆的方程为；
（2）解法一（常规方法）：设，
联立化简可得：，
由于直线与椭圆交于两点且异于，
所以且，
解得：且，
所以
故直线的斜率和为定值.
解法二（构造齐次式）：由题直线恒过定点
①当直线不过原点时，设直线为，
则，即，有
由得，
则
整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，
则
令，则
②当直线过原点时，设直线的方程为
综上可得：直线的斜率之和为定值1
【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点为，且的方程为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点，和点，，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
【解析】（1）因为的方程为，可知，
可知，所以椭圆的标准方程为.
（2）由可得，
因为点P在直线上，可设点，
由题可知：直线DE的斜率与直线MN的斜率都存在．
所以直线DE的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，
整理可得，
且，则，，
又因为，，
则
，
同理可得，
又因为，则，
可知，则，整理可得，
又因为，则，
所以直线DE的斜率与直线MN的斜率之和为0．
题型四：斜率积定值
【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）不妨设双曲线C的半焦距为，
，
，
解得，
则，
故双曲线C的方程为；
（2）设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，
故为定值，定值为4．
【典例4-2】已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆过点，得，
由，得椭圆半焦距，则长半轴长，
所以的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，
由消去x得，显然，
，直线的方程为，
令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标，
因此
为定值，
所以为定值.
【变式4-1】已知椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点，交椭圆于点，且与的周长之差为.
(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的定义可知的周长为的周长为，
又与的周长之差为，
所以，
又因椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点.
，
联立解得，从而有，
所以，解得，
所以所求椭圆的方程为，椭圆的方程为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
设，则有，
于是.
【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.
【解析】（1）设，因为与的周长之差为，
所以，即，
又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以，
联立方程组，解得，所以，
故双曲线的方程为.
（2）①由（1）知，双曲线的方程为，
设，则，可得，
则.
② 为定值.
理由如下：
由（1）得直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为位于双曲线的左､右两支，所以，即，
可得，
又因为，所以直线的方程为，
根据双曲线的对称性，同理可得，
所以，故为定值.
【变式4-3】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0过点，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，假设存在点，
易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，
联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
则，
且，
因为
，
，
所以当，即时，或
，
故存在定点，使直线与的斜率之积为定值．
题型五：斜率比定值
【典例5-1】设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
【解析】（1）由焦半径公式知：，，
的方程为：.
（2）由（1）知：，
可设直线方程为：，设则
直线方程为：
联立
，将代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直线的方程为：
由得：即，
，
直线的方程为：，
直线恒过定点.
【典例5-2】如图所示，已知点，F是椭圆的左焦点，过F的直线与椭圆交于两点，直线分别与椭圆交于两点．

(1)证明：直线过定点．
(2)证明：直线和直线的斜率之比为定值．
【解析】（1）证明：因为F是椭圆的左焦点，所以，
当直线斜率为0时，直线方程为，则定点在轴上；
当直线斜率不为0时，
经过与的二次曲线可以设为，
设经过四点的二次曲线系为．
因为点F在直线上，所以将代入上式，解得．
从而直线和直线的方程为．
令，得，解得或（与点重合，舍去），
故直线过定点．
（2）证明：设直线和直线的斜率分别为，，
设曲线系方程为，
因为上式等号左边的系数为，y的系数为为互为相反数，
所以上式等号右边也满足该条件，前的系数为，y前的系数为，
于是，即，
所以．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．
(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
【解析】（1）设Px,y，根据题意有，
又因为M在圆上运动，所以，
即，所以点P的轨迹方程为：.
（2）
根据已知条件可知，若直线的斜率不存在，不合题意，
若直线斜率为，直线与直线平行无交点也不合题意，
所以直线的斜率存在设为，直线的方程为，
联立，则有，且，
设，，则，
，，所以
，
对，令，得，所以，
所以，所以为定值.
【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在轴上，延长BM与交于点的取值范围为.
(1)求椭圆、圆的方程;
(2)当直线BM经过点时，求的面积;
(3)记直线AM、AN的斜率分别为，证明:为定值.
【解析】（1）设椭圆的方程为，圆的方程为.
分别是椭圆的上、下顶点，
在圆上，且AB是圆的直径.
点是圆上的动点，且点不在轴上，
，即.
.
又点是圆上的动点，且点不在轴上，
的取值范围为.
的取值范围为，
，解得.
椭圆的离心率为，
，解得.
椭圆的方程为，圆的方程为
（2）由（1）得.
直线BF的方程为，即.
由得．解得或，
的延长线与椭圆交于点，
点的横坐标是.
当直线BM经过点时，
（3）∵点在轴上，点不在轴上，BM的延长线与椭圆交于点，
点不在轴上.
存在，且.
由已知得直线AN的方程为.
由方程组得，解得或.
得点的横坐标是.
当时，.
点的坐标是
的斜率为
又由（1）得，即.
，即为定值.
【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；
(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．
【解析】（1）设是曲线上的任意一点，
因为点，且动点满足直线与直线的斜率之积为，
可得，整理得，其中．
所以曲线的轨迹方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设的方程为，设，
联立方程组，整理得，
则，即，
且
所以，
因为，
所以，
所以，
化简得，即，
所以，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点，记为点．
②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线，
联立方程组，解得，此时直线也过点，
综上，直线过定点．
又由，所以点在以为直径的圆上，
故当为该圆圆心，即点为的中点时，为该圆半径，即，
所以存在定点，使为定值．
（3）设，易得直线的斜率不为0，可设直线
联立方程组，整理得，
则，且，
则，
所以
．
题型六：斜率差定值
【典例6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，D为椭圆C的右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，过点的直线与椭圆C交于A，B两点（A点在B点左侧），直线AM与直线交于点N，设直线NA，NB的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）由题知，，所以，
，
，，
椭圆的方程为：.
（2）证明：①当斜率为时，分别为椭圆的左、右顶点，则，，
，则直线AM：，
令，则，
点为
，
；
②当斜率不为时，设直线的方程为：，Ax1,y1,Bx2,y2，
将直线与椭圆方程联立：消去可得，
令，解得．
由韦达定理可得，所以，
：，令，得，
，
又
，
又，，
，
综上，为定值.
【典例6-2】已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求的方程；
(2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.
【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，
又，所以.
将点的坐标代入C的方程得，解得，
所以，所以C的方程为.
（2）依题意可设PQ：，
由，得,
设，，，则.
，，
则，
而，
所以，
所以是定值，定值为.
【变式6-1】已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．
【解析】（1）由题意得，又，
解得，
∴椭圆M的标准方程为．
（2）方法一：
直线，
依题意可设直线（且），（注：P不为椭圆顶点），
由，则，
所以，
由，
，所以，
由B，P，N三点共线得，即，
得，
所以，
所以为定值．
方法二：
设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：，
又，，直线AB的方程为，
由，解得，所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，∴，
依题意B、P不重合，所以，即，
所以，
∴直线BP的方程为，
令，即，解得，
∴，
∴，
∴为定值．
方法三：
设点，则，，，
由B，P，N三点共线得，
即，
，，
联立，得，
所以
，
所以
.
方法四：
设点，则（且）,
由B，P，N三点共线得，即，
直线，，
联立，得，，
所以，
.
【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，∴双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0时，设，
联立方程组，消得，易得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，可得，
∵，
则
，
即，可得与不垂直，
∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即为定值．
题型七：线段定值
【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆：.
(1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：；
(2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值.
【解析】（1）由题意得,所以，
所以椭圆方程：，
设，，
联立可得，
且，
则，，
，
所以；
（2）设，，，而，，
设，，
则，，
所以，，，，
因为，在椭圆：上，
所以，
所以，，
代入作差可得：.
化简得：，所以，
综上所述，为定值为3.
【典例7-2】如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，半径，
因为线段的中垂线交线段于点，
所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，，
故曲线E的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，
与y轴不相交，不合题意，舍去，
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，
设，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因为直线与y轴的交点为C，所以，
所以，，
，，
又因为，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以为定值，原题得证.
（3）设，显然的斜率存在，，，
设的方程是，
由消去y得，
则，即，
由韦达定理得，
根据已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
则或，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点与M重合，舍去，
故直线经过定点，
又因为，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即，
所以为定值.
【变式7-1】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设是上的两个动点，且以为直径的圆经过点，证明：为定值．
【解析】（1）设，因为点在曲线上，所以，
因为，所以．
代入可得，
即，即的方程为；
（2）因为以为直径的圆经过点，所以，
当为椭圆顶点时，，
当不是椭圆顶点时，可得直线的斜率存在且不等于零，
可设直线的方程为y=kxk≠0，则直线的方程为，
由，得，
所以，
同理可得，，
所以．
综上，为定值．
【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
【解析】（1）由题意可知：动点到定点的距离比到定点的距离大，且，
从而点的轨迹为双曲线的右支．
设双曲线方程为，则，，，
轨迹C的方程为：．
（2）直线l不与y轴垂直，设其方程为，
与联立得：，，
设，，则，，解得．
设，则．
由于在单调递减，则，故．
（3）证明：与联立，得，．
设，，由A，S，N三点共线，得，
解得，同理有．
，
即ST的中点为，故为定值1．
【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.
(1)求曲线的标准方程;
(2)已知是定值，求该定值;
【解析】（1）令且，因为，所以，
整理可得，
所以的标准方程为.
（2）设Px0,y0，，，
设直线和直线的方程分别为，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
则，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
可得，，
又因为，，
所以，
所以，即，
同理可得，，即，
所以.
设，，，
设，则有，
又，
可得，
同理可得，
所以.
题型八：坐标定值
【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.
(1)求的方程；
(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，即，
又，
所以为等边三角形，
所以，所以，
又，所以，则，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）将代入解得，所以，
由（1）可知F21,0，则直线的斜率存在，
设直线，，，，
由得，
由，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以，解得，
所以点的横坐标为定值.
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线y2=2pxp>0的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
(1)求．
(2)若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．
(3)若均不与坐标原点重合，证明：
【解析】（1）由题可知点均在该抛物线上，故设，，
由题意得当时，，
故，所以．
（2）由（1）得该抛物线的方程为，所以F1,0，准线为．
因为直线过点，所以与共线，
由题可知点在该抛物线上，故设，
则，，
所以，
因为，所以．
由题意知直线的斜率均存在且均不为，
易知直线的方程为，即，
令得，同理可得，
所以，
因为，所以，
所以为定值．
（3）由题意知抛物线在三点处的切线的斜率都存在且不为．
设抛物线在点处的切线方程为，
与联立，消去并整理得，
由，解得．
所以抛物线在点处的切线方程为．
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为．
由，解得，所以，
同理可得，，
又，，，
所以．
由两点间的距离公式得，
同理可得，，
所以
，
所以．
【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
(1)求动点的轨迹的方程：
(2)过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．
【解析】（1）设动点，
根据题意，
动点的轨迹的方程为.
（2）易知直线斜率不为0，设方程为，且．
设，，
由
，，
由题意易得
直线方程为①
同理，直线方程为②
由①÷②得
，
点横坐标为定值．
题型九：角度定值
【典例9-1】抛物线：的焦点为，直线的倾斜角为且经过点，直线与抛物线交于两点，.
（1）若，求角；
（2）分别过，作抛物线的切线，，记直线，的交点为，直线的倾斜角为.试探究是否为定值，并说明理由.
【解析】（1）由抛物线的焦点为，可得，
所以抛物线的方程为.
设直线的方程为，代入，消去，
得，设，，则，
所以，
得，，所以，则或.
（2）设直线方程为，，，
将直线的方程代入，消去，得，
则①，②.
由求导，得，
所以直线，的斜率分别为，，
则，的方程分别为③，④，
解③④组成的方程组，结合①，②，得，，即，
因为，所以，所以，所以.
所以为定值.
【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）依题意知：，
解之得：，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由于B，D异于A，故设直线的方程为，
联立得：
设，，则
因为A−2,0，，所以设直线的方程为y=y1x1+2x+2，
联立得：，同理有
因为F1,0，所以，
所以
所以，即.
【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设，，则，，，
故，
，
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为；
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为.
则，即，
得，则，所求曲线方程为；
（3）
①直线斜率存在时，可设直线的方程为，
设Ax1,y1，Bx2,y2
由，得，
所以，，且，
当时，取，，所以直线方程为：，
直线方程与双曲线方程联立可得，解得或，
所以，.
所以，所以，可得；
当时，设的斜率分别为，
，，
所以，
，
所以.
因为在第一象限，所以，所以，所以.
②直线斜率不存在时，可得，
可得，，
所以，同理可得.
综上可得，为定值，得证.
【变式9-2】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【解析】（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
题型十：直线过定点
【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点，且与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
【解析】（1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径，
显然点在圆内，则，
于是，
因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长，半焦距，则短半轴长，
所以轨迹C的方程为.
（2）（i）设，，，由（1）知，，
显然，，而，则，
，又，即，
所以，为定值.
（ii）由消去x得，
，
由（i）得，又，
则
，解得，满足，
因此直线PQ的方程为，
所以直线PQ过定点.
【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E恒过定点，且与直线相切，记圆心E的轨迹为，直线与相交于A，B两点，直线与相交于C，D两点，且，M，N分别为弦的中点，其中A，C均在第一象限，直线与直线的交点为G．
(1)求圆心E的轨迹的方程；
(2)直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．
【解析】（1）设圆E的圆心．因为圆E恒过定点且与直线相切，
即圆心E到点的距离与到直线的距离相等，
即圆心E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以圆心E的轨迹方程为．
（2）直线恒过定点．
解法一：直线的方程为，直线的方程为，
设，，联立，消去x整理得，，
则，则，则，
所以，同理可得．
当时，直线的方程为，
即
．
因为，所以直线的方程，
故当时，，此时过定点；
当时，由，得，此时直线的方程为，同样经过点．
综上，直线恒过定点，该定点为．
解法二：设，，由题可知直线，都恒过定点，
斜率均存在，不为0，且互相垂直，
设直线，，则直线，
联立，去y整理得，
易得，则，则，所以，
同理可得．
若直线的斜率存在，则，
直线，，
则直线恒过定点；
若直线的斜率不存在，则，得，
直线的方程为，则直线恒过定点．
综上，直线恒过定点，该定点为．
【变式10-1】（2024·江西·二模）已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【解析】（1）连接OM，
由题意可得，且M为的中点，又O为的中点，
所以，且|.
因为线段的中垂线与直线相交于点T，
所以，
所以，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
设其方程为（，），则，，，
故曲线C的方程为.
（2）证明：由（1）知
依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，
由，得，
，由，得，
所以，.
则
，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线l的方程为，
直线l过定点；
当时，直线l的方程为，
直线l过定点，不合题意，舍去.
综上所述，直线l过定点.
【变式10-2】在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．

(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．
【解析】（1）由题意得圆圆心，半径为4，过点，
和椭圆外切，切点必为，故，
圆圆心，半径为，过点，
和椭圆外切，切点必为，故，
故椭圆C的方程为；
（2）设，
∵三点共线，又，
则，即（★），
又∵点均在椭圆上，则，可变形为，代入中，
整理可得，结合（★）式得（✰），
★✰式联立解得，
同理可得，
∴直线的方程为，
即，
又，
，
∴直线DE的方程，
故直线DE过定点．
题型十一：动点在定直线上
【典例11-1】已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，．
(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上．
【解析】（1）设，，则．
由两式相减得，即．
所以．
（2）解法一：
由解得所以椭圆的方程为．
将直线的方程代入椭圆的方程，化简整理得．①
由，解得．
由韦达定理，得，．②
设，，
则直线的方程为，③
直线的方程为，④
由③④两式解得
，
即，所以直线与直线的交点在定直线上．
解法二：
设直线（即直线）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为，
则点，，构成椭圆的自极三点形，点一定在点对应的极线上，其方程为，即，
就是说直线与直线的交点在定直线上．
【典例11-2】已知椭圆经过点，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.
(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
【解析】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
（3）设，则，即，
又由，得，
整理得，
再代入得，即，
所以，
同理令，，则，
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上.
【变式11-1】已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【解析】（1）
由题意可知，
因为，所以.
设，则，所以，
又，
所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为.
联立，化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或；
（ii），
直线AD的方程为
直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以，
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.
【变式11-2】已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．
【解析】（1）依题意，点，，解得，椭圆：，
显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为，
由消去并整理得，
，
整理得，解得，切线方程为，由，得，
所以点的坐标是.
（2）设直线的方程为，，线段的中点，
由消去得，
则，，，
直线的方程为，则点，
于是，
，
，因此点在直线上，
所以线段的中点在定直线上.
【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．
【解析】（1）设椭圆C的方程为，
将A、B代入得，解得，
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意得，，
设直线MN的方程为，，，，则．
（i）由题意可得：，即，
所以，
当且仅当，（或，）时等号成立．
（ii）联立方程，消去x得，
由得且，
故，，即
由、S、T三点共线得，即；
由、N、T三点共线得，即；
两式相加得
，
则直线OT斜率为，可得直线OT方程为
由得，即．
故直线OT与直线MN的交点在定直线上．
题型十二：圆过定点
【典例12-1】已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点．
①求、的纵坐标之积；
②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，
解得，．
故椭圆的标准方程为．
（2）①由（1）可知，．
直线的方程为，
联立解得则．
同理可得
故，
设Px0,y0，则．
因为点在椭圆上，所以，所以，
则，
故．
②法一：由①可知，，
设存在定点，则，．
由题意可知，则，
所以恒成立，所以，．
故以为直径的圆过定点，．
法二：由题意可知在轴的两侧，则以为直径的圆与轴有两个交点，
设以为直径的圆与轴的两个交点分别为（在的左侧），
直线与轴的交点为，
则，
因为，所以，
则，即以为直径的圆过定点.
【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）因为点的横坐标分别为，所以，
则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.
当时，，
因为，所以以为直径的圆过原点.
以下证明当时，以为直径的圆过原点.
由，消去，得，
由根与系数的关系，得，
，
所以，所以以为直径的圆过原点.
综上，以为直径的圆过原点.
【变式12-1】已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）因为，
所以．
所以椭圆的方程为．
（2）解法一：设点，直线的方程为，
代入，整理得，
因为是方程的两个相等实根，所以，解得．
所以直线的方程为，
令，得点A的坐标为．
又因为，所以．
所以点A的坐标为．
又直线的方程为，
令，得点的坐标为．
所以以为直径的圆的方程为．
整理得．
令，得，
所以以为直径的圆恒过定点和．
解法二：设点，
根据切线方程可知直线的方程为，所以点A的坐标为．
又直线的方程为，令，得点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
整理得，令，得，
所以以为直径的圆恒过定点和．
【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为.
(1)设的面积分别为，求证：；
(2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
【解析】（1）将代入，得，所以抛物线方程为，
由题意知，设，
由得，，，
所以，
所以
，即.
（2）直线的斜率，
故直线的方程为，令得，
所以点的坐标为，同理，点的坐标为，
设线段的中点为，则
=，
又=
，
所以以为直径的圆为，
即，令得或，
故以为直径的圆过定点和.
1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．
(1)证明是一个双曲线并求其离心率；
(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；
(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）设复数，
则
两边平方得
所以是一个焦点在实轴上，顶点为，渐近线为的双曲线．
其离心率.
（2）由（1）的计算得，，，则直线，
设，则，
，
由得，代入得
所以，原式得证．
（3）由（1）得的两条渐近线，，
由对称性，不妨设，则，
所以，同理得．
联立和：，得，
易知直线，所以点到直线的距离
由（1），所以
而，所以
，故平行四边形的面积为定值．
2．（2024·湖南常德·三模）已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
【解析】（1）由题意可得，
设，则，
∵，∴，
化简得：①，
又Px0,y0在椭圆上，②，
由①②得，
又，∴，
故椭圆C的标准方程；
（2）设直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），
直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），
∴直线的方程为，直线的方程为，
又，∴，
联立，解得，
∴，
联立，解得，
∴，
设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，，
∴，
则，
，
∴四边形面积为：
，
故该四边形的面积为定值.
3．已知一张纸上画有半径为的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线为．
(1)若曲线的焦点在轴上，求其标准方程；
(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且，（为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（1）的条件下，是曲线上异于上顶点、下顶点的任一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值，并求出定值．
【解析】（1）设折痕与的交点为，
由题意知：与关于折痕对称，，
，
曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆，
不妨设，，则，，，
曲线的标准方程为：.
（2）①当直线斜率不存在时，设其方程为：，
则，，
若，则，解得：，
此时圆的方程为：；
②当直线斜率存在时，设其方程为：，，，
由得：，则，即；
，；
，
则，即（满足），
又与圆相切，圆的半径，
圆的方程为：；
综上所述：存在满足题意的圆，圆的方程为.
（3）
由题意知：，，设，
则直线，令，解得：；
直线，令，解得：；
设圆的圆心，半径为，
，，
；
又，，，
即线段的长为定值.
4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，短轴长为，左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的一个动点，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围；
(3)过椭圆的左顶点A作直线轴，M为直线l上的动点，B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点Q．试判断数量积，是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．
【解析】（1）设点，
则，当且仅当时“＝”，．
又，∴，∴，
从而椭圆C的方程为．
（2）∵椭圆，∴，．
∵P为椭圆C上一点，∴，
∴
．
又，∴．
（3）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，
将代入椭圆C的方程中并化简得，
解得，，∴，
从而，．
令，得，所以，．
又，
∴（定值），
（定值），
综上可知，，均为定值．
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i) 若，求直线的斜率；
(ii) 求证：是定值.
【解析】（1）将点和代入双曲线方程得：
，结合，化简得：，解得，
双曲线的方程为．
（2）(i) 设关于原点对称点记为，
则．
因为，所以，
又因为，所以，即，
故三点共线．
又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，
所以．
由题意知，直线斜率一定存在，
设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：
，故，
直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．
由弦长公式得
，
则，且由图可知，即，
代入解得．
(ii) 因为，由相似三角形得，
所以
．
因为．
所以，故为定值．
6．已知椭圆，设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为．问：是否存在两个点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】设动点，则由，
得，即，
∵点在椭圆上，
设分别为直线的斜率，
由题意知，
故，
所以，则点P是椭圆上的点，
所以，所以该椭圆的左右焦点为，，
满足为定值，
因此存在两个定点，，使得为定值，
综上，存在符合题意的点，，坐标为，即椭圆的两个焦点．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）依题意，，解得，
设的焦距为2c，则，
将代入方程，可得，
所以的面积为，
解得，
所以的方程为；
（2）由方程得,
设直线，
与的方程联立可得，
所以，
设直线，令，解得，所以，
同理可得，，
所以
，故
所以，又，所以．
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）因为点在抛物线上，所以，
因为，所以，联立，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由在抛物线上，得，即，
显然，过点的直线斜率不为0，故设直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
由，得，
，或，
，，，
，，
所以
，
故为定值．
9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，则，即，
显然点，依题意，，
解得，由椭圆的焦距是2，得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，因为，则，
由（1）知，则直线的方程为，即，
从而点到直线的距离，
即，即.
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，即，点在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，
故存在定点，使得.
10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线：，圆：，为坐标原点.
(1)若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围；
(2)已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线的距离，
所以，则，
设Ax1,y1，Bx2,y2，，，
则，即，
直线：代入抛物线，得，
因为直线与抛物线交于，两点，
所以，则，
直线：代入圆：，
得，
因为直线与圆于S，T两点，所以，
即，
即，
所以，
由，得，
又，则，
将其代入得，解得；
将其代入得，解得.
综上，的取值范围为0,2.
（2）由题，易知直线，，斜率一定存在，
设，，，
则，
则直线的方程为：，
即，即，
因为圆：的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，则，
平方化简得：，
看成关于，为变量的式子得：，
同理得直线与圆C相切，化简式子后得：，
所以可以同构出直线的方程为：，
所以圆心到直线的距离为：
，
此时圆心到直线的距离为定值，定值为.
11．设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．
【解析】（1）由题意知椭圆，C上的点到的最小距离为1，
P是C上一点，且的周长为6，
设椭圆的焦距为2c，则，解得，
故C的方程为；
（2）证明：由题意知，故直线l的方程为，
设，联立，
得，由于直线l过椭圆焦点，必有，
故，
故，
由题意知直线的方程为，联立，得，
设，则不妨取，
故，
故，即为定值.
12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：是定值.
【解析】（1）圆的圆心为，半径，
因为线段的垂直平分线交直线于点， 则，
，
∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线，
设双曲线方程为，则，，所以，
所以点的轨迹方程为
（2）（ i ） 设 ，，，
若，则，即直线的方程为，显然满足直线与曲线有且仅有一个交点；
若，显然，由题可知，则，，
因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，，
所以，，
，即，
即，
∴直线的方程为，即，
又∵点在上，，则，
即直线的方程为，
将方程联立，得，
，由，可知方程有且仅有一个解，
∴与有且仅有一个交点；
（ii）由 （i ）联立 ，可得，
同理可得，
，
所以是定值.
13．（2024·湖北·模拟预测）已知为抛物线：的焦点，，，是上三个不同的点，直线，，分别与轴交于，，，其中的最小值为4.
(1)求的标准方程；
(2)的重心位于轴上，且，，的横坐标分别为，，，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为直线通过抛物线的焦点，所以线段为抛物线的焦点弦，
如图，设Ax1,y1，，线段的中点，
由抛物线的定义可得，
由平面几何的性质得当且仅当轴时，AB取得最小值为，所以，
所以抛物线的标准方程为.
（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线的方程为.
设Ax1,y1，Bx2,y2，，
由，得，则，
因为的重心位于轴上，所以，
所以，，所以，
，，
因为A，E，C三点共线，所以，
所以，
显然，解得，，同理可得，
又
，
则
，所以为定值1.
14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；
(2)若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
【解析】（1）设点，
依题有，
化简并整理成，
圆心的轨迹的方程为
，，
又，
所以，
所以.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，消并整理成，
在判别式大于零时，，
又，所以，
所以，，
，
所以线段的中点坐标为，
设，
则，消得，
所以的轨迹方程是，
圆过定点，设其方程为，
由，得，
设、、的横坐标分别为，，，
因为、、异于，所以，，都不为零，
故的根为，，，
令，
即有，
所以，
故的重心的横坐标为定值．
15．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）椭圆的焦点为和，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）.
①求证：与的交点的纵坐标为定值；
②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值.
【解析】（1）根据题意可得，，，
则，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①因为直线过点，
可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线，，，
联立方程，消去可得，
则，
由根与系数的关系可得：，，
因为，，
可得直线，直线，
所以
．
即，解得，
所以直线，的交点在直线上.
②设直线与直线，的交点分别为，，
则由（1）可知：直线，直线．
联立和方程，
解得，，
因为，
又因为点到直线的距离，
可得，只需求的最小值．
由弦长公式可得
．
令，则．
可得
，
当且仅当，即时等号成立．
即的最小值为，可得面积的最小值为．
故直线，，围成的三角形面积的最小值为.
16．已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
【解析】（1）因为是弦的中点，
所以，即，
所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
代入，得.
设，，则，是方程的两解，
则，，，
根据根与系数的关系，得，
即.
若，则直线过点，舍去；
所以，即，
直线的方程为，故直线过定点.
当直线斜率不存在时，设直线：，
与曲线的方程联立，可得，，则，解得，
故直线的方程为，恒过点.
综上，直线过定点.
17．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
(1)求栯圆的方程；
(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意可设椭圆的方程为.
因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以且，
所以.所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
令，得，即.
由得.
设，则.
设的中点为，则.
所以.
因为四边形为菱形，
所以为的中点，.
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
令得.所以.
设点的坐标为，则，
即.
所以直线的方程为，即.
所以直线过定点.
18．已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
【解析】（1）设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切,所以.
因为动圆于圆外切,所以,
则,
由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为,
则，故,
所以曲线的方程为.
（2）①当直线斜率存在时,设直线:，
联立，消去可得,
则，化简得.
设，则.
由题意知，因为,
所以,
所以,
所以,
即,
，
即，
即.
因为，所以，即，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，设直线:，且,
则点.
所以 ,解得,
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述, 直线过定点.
19．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
【解析】（1）由题可得：，，又；解得；
故椭圆的方程为：.
（2）设直线与的交点为，根据题意，作图如下：
由题可知，直线的斜率存在，又过点，故设其方程为，
联立，可得，显然其，
设两点坐标为，则；
因为都垂直于轴，故，
则方程为：，方程为：，
联立方程可得：，
故，也即直线与的交点在定直线上.