新高考数学二轮复习专项训练25 圆锥曲线的方程与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专项训练25 圆锥曲线的方程与性质（2份，原卷版+解析版），共8页。
一、圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2ab>0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)．
(2)双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、椭圆、双曲线的性质
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2)).
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)．
②双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
三、抛物线的性质
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq \f(p,2).
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq \f(p,2).
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
3．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ）
A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值
B．当时，
C．有且仅有4个点，使得为直角三角形
D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．设到直线的距离分别为，则
D．若直线的斜率分别为，则
三、填空题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l．若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 ；若过C的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·三模）已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，若的最大值是，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2024·陕西商洛·三模）已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上B．的焦距不相等
C．有公共点D．椭圆比椭圆扁平
10．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大D．M的值越大，椭圆的离心率越小
11．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上
B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等
C．的最小值为
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为D．双曲线C的离心率为
三、填空题
13．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 .
14．（2023·广东深圳·一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
15．（2024·湖南长沙·一模）已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则 .
16．（2023·四川成都·一模）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2021·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
19．（2021·四川·二模）已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．4
5．（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．4B．C．D．
6．（2023·湖北武汉·三模）已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．（2024·天津·一模）已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．或4B．C．或4D．4
二、多选题
10．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线的斜率为
C．为等腰三角形
D．
11．（2024·全国·模拟预测）关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点，过点作轴的垂线，垂足为．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则双曲线的渐近线方程为
B．若点为线段的三等分点，则双曲线的离心率为3
C．若点为线段的三等分点，，则双曲线的方程为
D．若的面积为1，则双曲线的焦距长的最小值为4
13．（2024·广西贺州·一模）“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点作垂直的延长线于H，则
三、填空题
14．（2024·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为 .
15．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
16．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为 ．
17．（2024·江苏·一模）设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
四、解答题
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
19．（2024·吉林白山·一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率．
(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
(2)若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
（ⅰ）求；
（ⅱ）记，求数列的前项和．
22．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为，求证：.